MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1ord3g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1ord3g 9723
Description: Ordering relation for the cumulative hierarchy of sets. Part of Theorem 3.3(i) of [BellMachover] p. 478. (Contributed by NM, 22-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
r1ord3g ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵)))

Proof of Theorem r1ord3g
StepHypRef Expression
1 r1funlim 9710 . . . . . 6 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
21simpri 487 . . . . 5 Lim dom 𝑅1
3 limord 6381 . . . . 5 (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
4 ordsson 7721 . . . . 5 (Ord dom 𝑅1 → dom 𝑅1 ⊆ On)
52, 3, 4mp2b 10 . . . 4 dom 𝑅1 ⊆ On
65sseli 3944 . . 3 (𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 ∈ On)
75sseli 3944 . . 3 (𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ On)
8 onsseleq 6362 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
96, 7, 8syl2an 597 . 2 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
10 r1tr 9720 . . . 4 Tr (𝑅1𝐵)
11 r1ordg 9722 . . . . 5 (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵)))
1211adantl 483 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵)))
13 trss 5237 . . . 4 (Tr (𝑅1𝐵) → ((𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵) → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵)))
1410, 12, 13mpsylsyld 69 . . 3 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵)))
15 fveq2 6846 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (𝑅1𝐴) = (𝑅1𝐵))
16 eqimss 4004 . . . . 5 ((𝑅1𝐴) = (𝑅1𝐵) → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵))
1715, 16syl 17 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵))
1817a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 = 𝐵 → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵)))
1914, 18jaod 858 . 2 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵)))
209, 19sylbid 239 1 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3914  Tr wtr 5226  dom cdm 5637  Ord word 6320  Oncon0 6321  Lim wlim 6322  Fun wfun 6494  cfv 6500  𝑅1cr1 9706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-r1 9708
This theorem is referenced by:  r1ord3  9726  r1val1  9730  rankr1ag  9746  unwf  9754  rankelb  9768  rankonidlem  9772
  Copyright terms: Public domain W3C validator