MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1ord3g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1ord3g 9293
Description: Ordering relation for the cumulative hierarchy of sets. Part of Theorem 3.3(i) of [BellMachover] p. 478. (Contributed by NM, 22-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
r1ord3g ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵)))

Proof of Theorem r1ord3g
StepHypRef Expression
1 r1funlim 9280 . . . . . 6 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
21simpri 489 . . . . 5 Lim dom 𝑅1
3 limord 6241 . . . . 5 (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
4 ordsson 7535 . . . . 5 (Ord dom 𝑅1 → dom 𝑅1 ⊆ On)
52, 3, 4mp2b 10 . . . 4 dom 𝑅1 ⊆ On
65sseli 3883 . . 3 (𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 ∈ On)
75sseli 3883 . . 3 (𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ On)
8 onsseleq 6223 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
96, 7, 8syl2an 599 . 2 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
10 r1tr 9290 . . . 4 Tr (𝑅1𝐵)
11 r1ordg 9292 . . . . 5 (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵)))
1211adantl 485 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵)))
13 trss 5155 . . . 4 (Tr (𝑅1𝐵) → ((𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵) → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵)))
1410, 12, 13mpsylsyld 69 . . 3 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵)))
15 fveq2 6686 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (𝑅1𝐴) = (𝑅1𝐵))
16 eqimss 3943 . . . . 5 ((𝑅1𝐴) = (𝑅1𝐵) → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵))
1715, 16syl 17 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵))
1817a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 = 𝐵 → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵)))
1914, 18jaod 858 . 2 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵)))
209, 19sylbid 243 1 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 846   = wceq 1542  wcel 2114  wss 3853  Tr wtr 5146  dom cdm 5535  Ord word 6181  Oncon0 6182  Lim wlim 6183  Fun wfun 6343  cfv 6349  𝑅1cr1 9276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-om 7612  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-r1 9278
This theorem is referenced by:  r1ord3  9296  r1val1  9300  rankr1ag  9316  unwf  9324  rankelb  9338  rankonidlem  9342
  Copyright terms: Public domain W3C validator