Theorem r1ord3g 9739

Description: Ordering relation for the cumulative hierarchy of sets. Part of Theorem 3.3(i) of [BellMachover] p. 478. (Contributed by NM, 22-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
r1ord3g	⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑅1‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘𝐵)))

Proof of Theorem r1ord3g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1funlim 9726	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
2	1	simpri 489	. . . . 5 ⊢ Lim dom 𝑅1
3		limord 6409	. . . . 5 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
4		ordsson 7768	. . . . 5 ⊢ (Ord dom 𝑅1 → dom 𝑅1 ⊆ On)
5	2, 3, 4	mp2b 10	. . . 4 ⊢ dom 𝑅1 ⊆ On
6	5	sseli 3934	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → 𝐴 ∈ On)
7	5	sseli 3934	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → 𝐵 ∈ On)
8		onsseleq 6389	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
9	6, 7, 8	syl2an 605	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
10		r1tr 9736	. . . 4 ⊢ Tr (𝑅1‘𝐵)
11		r1ordg 9738	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑅1‘𝐴) ∈ (𝑅1‘𝐵)))
12	11	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑅1‘𝐴) ∈ (𝑅1‘𝐵)))
13		trss 5219	. . . 4 ⊢ (Tr (𝑅1‘𝐵) → ((𝑅1‘𝐴) ∈ (𝑅1‘𝐵) → (𝑅1‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘𝐵)))
14	10, 12, 13	mpsylsyld 69	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑅1‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘𝐵)))
15		fveq2 6869	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑅1‘𝐴) = (𝑅1‘𝐵))
16		eqimss 3996	. . . . 5 ⊢ ((𝑅1‘𝐴) = (𝑅1‘𝐵) → (𝑅1‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘𝐵))
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑅1‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘𝐵))
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 = 𝐵 → (𝑅1‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘𝐵)))
19	14, 18	jaod 870	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) → (𝑅1‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘𝐵)))
20	9, 19	sylbid 242	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑅1‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3906  Tr wtr 5209  dom cdm 5649  Ord word 6347  Oncon0 6348  Lim wlim 6349  Fun wfun 6517  ‘cfv 6523  𝑅₁cr1 9722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-r1 9724

This theorem is referenced by:  r1ord3  9742  r1val1  9746  rankr1ag  9762  unwf  9770  rankelb  9784  rankonidlem  9788