MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1ord3g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1ord3g 9773
Description: Ordering relation for the cumulative hierarchy of sets. Part of Theorem 3.3(i) of [BellMachover] p. 478. (Contributed by NM, 22-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
r1ord3g ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵)))

Proof of Theorem r1ord3g
StepHypRef Expression
1 r1funlim 9760 . . . . . 6 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
21simpri 485 . . . . 5 Lim dom 𝑅1
3 limord 6417 . . . . 5 (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
4 ordsson 7766 . . . . 5 (Ord dom 𝑅1 → dom 𝑅1 ⊆ On)
52, 3, 4mp2b 10 . . . 4 dom 𝑅1 ⊆ On
65sseli 3973 . . 3 (𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 ∈ On)
75sseli 3973 . . 3 (𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ On)
8 onsseleq 6398 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
96, 7, 8syl2an 595 . 2 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
10 r1tr 9770 . . . 4 Tr (𝑅1𝐵)
11 r1ordg 9772 . . . . 5 (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵)))
1211adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵)))
13 trss 5269 . . . 4 (Tr (𝑅1𝐵) → ((𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵) → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵)))
1410, 12, 13mpsylsyld 69 . . 3 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵)))
15 fveq2 6884 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (𝑅1𝐴) = (𝑅1𝐵))
16 eqimss 4035 . . . . 5 ((𝑅1𝐴) = (𝑅1𝐵) → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵))
1715, 16syl 17 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵))
1817a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 = 𝐵 → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵)))
1914, 18jaod 856 . 2 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵)))
209, 19sylbid 239 1 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3943  Tr wtr 5258  dom cdm 5669  Ord word 6356  Oncon0 6357  Lim wlim 6358  Fun wfun 6530  cfv 6536  𝑅1cr1 9756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-r1 9758
This theorem is referenced by:  r1ord3  9776  r1val1  9780  rankr1ag  9796  unwf  9804  rankelb  9818  rankonidlem  9822
  Copyright terms: Public domain W3C validator