Theorem r1ord3g 8892

Description: Ordering relation for the cumulative hierarchy of sets. Part of Theorem 3.3(i) of [BellMachover] p. 478. (Contributed by NM, 22-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
r1ord3g	⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑅1‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘𝐵)))

Proof of Theorem r1ord3g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1funlim 8879	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
2	1	simpri 480	. . . . 5 ⊢ Lim dom 𝑅1
3		limord 6000	. . . . 5 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
4		ordsson 7223	. . . . 5 ⊢ (Ord dom 𝑅1 → dom 𝑅1 ⊆ On)
5	2, 3, 4	mp2b 10	. . . 4 ⊢ dom 𝑅1 ⊆ On
6	5	sseli 3794	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → 𝐴 ∈ On)
7	5	sseli 3794	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → 𝐵 ∈ On)
8		onsseleq 5982	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
9	6, 7, 8	syl2an 590	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
10		r1ordg 8891	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑅1‘𝐴) ∈ (𝑅1‘𝐵)))
11	10	adantl 474	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑅1‘𝐴) ∈ (𝑅1‘𝐵)))
12		r1tr 8889	. . . . 5 ⊢ Tr (𝑅1‘𝐵)
13		trss 4954	. . . . 5 ⊢ (Tr (𝑅1‘𝐵) → ((𝑅1‘𝐴) ∈ (𝑅1‘𝐵) → (𝑅1‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘𝐵)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝑅1‘𝐴) ∈ (𝑅1‘𝐵) → (𝑅1‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘𝐵))
15	11, 14	syl6 35	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑅1‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘𝐵)))
16		fveq2 6411	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑅1‘𝐴) = (𝑅1‘𝐵))
17		eqimss 3853	. . . . 5 ⊢ ((𝑅1‘𝐴) = (𝑅1‘𝐵) → (𝑅1‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘𝐵))
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑅1‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘𝐵))
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 = 𝐵 → (𝑅1‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘𝐵)))
20	15, 19	jaod 886	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) → (𝑅1‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘𝐵)))
21	9, 20	sylbid 232	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑅1‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   ∨ wo 874   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ⊆ wss 3769  Tr wtr 4945  dom cdm 5312  Ord word 5940  Oncon0 5941  Lim wlim 5942  Fun wfun 6095  ‘cfv 6101  𝑅₁cr1 8875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-r1 8877

This theorem is referenced by:  r1ord3  8895  r1val1  8899  rankr1ag  8915  unwf  8923  rankelb  8937  rankonidlem  8941