Theorem r1ord3g 9809

Description: Ordering relation for the cumulative hierarchy of sets. Part of Theorem 3.3(i) of [BellMachover] p. 478. (Contributed by NM, 22-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
r1ord3g	⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑅1‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘𝐵)))

Proof of Theorem r1ord3g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1funlim 9796	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
2	1	simpri 484	. . . . 5 ⊢ Lim dom 𝑅1
3		limord 6431	. . . . 5 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
4		ordsson 7786	. . . . 5 ⊢ (Ord dom 𝑅1 → dom 𝑅1 ⊆ On)
5	2, 3, 4	mp2b 10	. . . 4 ⊢ dom 𝑅1 ⊆ On
6	5	sseli 3972	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → 𝐴 ∈ On)
7	5	sseli 3972	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → 𝐵 ∈ On)
8		onsseleq 6412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
9	6, 7, 8	syl2an 594	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
10		r1tr 9806	. . . 4 ⊢ Tr (𝑅1‘𝐵)
11		r1ordg 9808	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑅1‘𝐴) ∈ (𝑅1‘𝐵)))
12	11	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑅1‘𝐴) ∈ (𝑅1‘𝐵)))
13		trss 5277	. . . 4 ⊢ (Tr (𝑅1‘𝐵) → ((𝑅1‘𝐴) ∈ (𝑅1‘𝐵) → (𝑅1‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘𝐵)))
14	10, 12, 13	mpsylsyld 69	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑅1‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘𝐵)))
15		fveq2 6896	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑅1‘𝐴) = (𝑅1‘𝐵))
16		eqimss 4035	. . . . 5 ⊢ ((𝑅1‘𝐴) = (𝑅1‘𝐵) → (𝑅1‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘𝐵))
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑅1‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘𝐵))
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 = 𝐵 → (𝑅1‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘𝐵)))
19	14, 18	jaod 857	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) → (𝑅1‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘𝐵)))
20	9, 19	sylbid 239	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑅1‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3944  Tr wtr 5266  dom cdm 5678  Ord word 6370  Oncon0 6371  Lim wlim 6372  Fun wfun 6543  ‘cfv 6549  𝑅₁cr1 9792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-r1 9794

This theorem is referenced by:  r1ord3  9812  r1val1  9816  rankr1ag  9832  unwf  9840  rankelb  9854  rankonidlem  9858