Theorem om2uzlt2i 13127

Description: The mapping 𝐺 (see om2uz0i 13123) preserves order. (Contributed by NM, 4-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	⊢ 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
om2uzlt2i	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzlt2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om2uz.1	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
2		om2uz.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
3	1, 2	om2uzlti 13126	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
4	1, 2	om2uzlti 13126	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴)))
5		fveq2 6493	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴))
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐵 = 𝐴 → (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴)))
7	4, 6	orim12d 947	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) → ((𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴))))
8	7	ancoms 451	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) → ((𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴))))
9		nnon 7396	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
10		nnon 7396	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
11		onsseleq 6064	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)))
12		ontri1 6057	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
13	11, 12	bitr3d 273	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
14	9, 10, 13	syl2anr 587	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
15	1, 2	om2uzuzi 13125	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐺‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
16		eluzelre 12062	. . . . 5 ⊢ ((𝐺‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)
18	1, 2	om2uzuzi 13125	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
19		eluzelre 12062	. . . . 5 ⊢ ((𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ)
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ)
21		leloe 10519	. . . . 5 ⊢ (((𝐺‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝐵) ≤ (𝐺‘𝐴) ↔ ((𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴))))
22		lenlt 10511	. . . . 5 ⊢ (((𝐺‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝐵) ≤ (𝐺‘𝐴) ↔ ¬ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
23	21, 22	bitr3d 273	. . . 4 ⊢ (((𝐺‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ) → (((𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴)) ↔ ¬ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
24	17, 20, 23	syl2anr 587	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (((𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴)) ↔ ¬ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
25	8, 14, 24	3imtr3d 285	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
26	3, 25	impcon4bid 219	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∨ wo 833   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  Vcvv 3409   ⊆ wss 3825   class class class wbr 4923   ↦ cmpt 5002   ↾ cres 5402  Oncon0 6023  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  ωcom 7390  reccrdg 7842  ℝcr 10326  1c1 10328   + caddc 10330   < clt 10466   ≤ cle 10467  ℤcz 11786  ℤ_≥cuz 12051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052

This theorem is referenced by:  om2uzisoi  13130  unbenlem  16090