Theorem om2uzlt2i 13876

Description: The mapping 𝐺 (see om2uz0i 13872) preserves order. (Contributed by NM, 4-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	⊢ 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
om2uzlt2i	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzlt2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om2uz.1	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
2		om2uz.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
3	1, 2	om2uzlti 13875	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
4	1, 2	om2uzlti 13875	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴)))
5		fveq2 6826	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴))
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐵 = 𝐴 → (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴)))
7	4, 6	orim12d 966	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) → ((𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴))))
8	7	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) → ((𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴))))
9		nnon 7812	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
10		nnon 7812	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
11		onsseleq 6352	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)))
12		ontri1 6345	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
13	11, 12	bitr3d 281	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
14	9, 10, 13	syl2anr 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
15	1, 2	om2uzuzi 13874	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐺‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
16		eluzelre 12764	. . . . 5 ⊢ ((𝐺‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)
18	1, 2	om2uzuzi 13874	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
19		eluzelre 12764	. . . . 5 ⊢ ((𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ)
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ)
21		leloe 11220	. . . . 5 ⊢ (((𝐺‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝐵) ≤ (𝐺‘𝐴) ↔ ((𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴))))
22		lenlt 11212	. . . . 5 ⊢ (((𝐺‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝐵) ≤ (𝐺‘𝐴) ↔ ¬ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
23	21, 22	bitr3d 281	. . . 4 ⊢ (((𝐺‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ) → (((𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴)) ↔ ¬ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
24	17, 20, 23	syl2anr 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (((𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴)) ↔ ¬ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
25	8, 14, 24	3imtr3d 293	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
26	3, 25	impcon4bid 227	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176   ↾ cres 5625  Oncon0 6311  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ωcom 7806  reccrdg 8338  ℝcr 11027  1c1 11029   + caddc 11031   < clt 11168   ≤ cle 11169  ℤcz 12489  ℤ_≥cuz 12753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754

This theorem is referenced by:  om2uzisoi  13879  unbenlem  16838