MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om2uzlt2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem om2uzlt2i 13948
Description: The mapping 𝐺 (see om2uz0i 13944) preserves order. (Contributed by NM, 4-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
om2uzlt2i ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzlt2i
StepHypRef Expression
1 om2uz.1 . . 3 𝐶 ∈ ℤ
2 om2uz.2 . . 3 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
31, 2om2uzlti 13947 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
41, 2om2uzlti 13947 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐵𝐴 → (𝐺𝐵) < (𝐺𝐴)))
5 fveq2 6892 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐴 → (𝐺𝐵) = (𝐺𝐴))
65a1i 11 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐵 = 𝐴 → (𝐺𝐵) = (𝐺𝐴)))
74, 6orim12d 962 . . . 4 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝐵𝐴𝐵 = 𝐴) → ((𝐺𝐵) < (𝐺𝐴) ∨ (𝐺𝐵) = (𝐺𝐴))))
87ancoms 457 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐵𝐴𝐵 = 𝐴) → ((𝐺𝐵) < (𝐺𝐴) ∨ (𝐺𝐵) = (𝐺𝐴))))
9 nnon 7874 . . . 4 (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
10 nnon 7874 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
11 onsseleq 6405 . . . . 5 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴)))
12 ontri1 6398 . . . . 5 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
1311, 12bitr3d 280 . . . 4 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((𝐵𝐴𝐵 = 𝐴) ↔ ¬ 𝐴𝐵))
149, 10, 13syl2anr 595 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐵𝐴𝐵 = 𝐴) ↔ ¬ 𝐴𝐵))
151, 2om2uzuzi 13946 . . . . 5 (𝐵 ∈ ω → (𝐺𝐵) ∈ (ℤ𝐶))
16 eluzelre 12863 . . . . 5 ((𝐺𝐵) ∈ (ℤ𝐶) → (𝐺𝐵) ∈ ℝ)
1715, 16syl 17 . . . 4 (𝐵 ∈ ω → (𝐺𝐵) ∈ ℝ)
181, 2om2uzuzi 13946 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → (𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶))
19 eluzelre 12863 . . . . 5 ((𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶) → (𝐺𝐴) ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (𝐺𝐴) ∈ ℝ)
21 leloe 11330 . . . . 5 (((𝐺𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐺𝐵) ≤ (𝐺𝐴) ↔ ((𝐺𝐵) < (𝐺𝐴) ∨ (𝐺𝐵) = (𝐺𝐴))))
22 lenlt 11322 . . . . 5 (((𝐺𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐺𝐵) ≤ (𝐺𝐴) ↔ ¬ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
2321, 22bitr3d 280 . . . 4 (((𝐺𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝐴) ∈ ℝ) → (((𝐺𝐵) < (𝐺𝐴) ∨ (𝐺𝐵) = (𝐺𝐴)) ↔ ¬ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
2417, 20, 23syl2anr 595 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (((𝐺𝐵) < (𝐺𝐴) ∨ (𝐺𝐵) = (𝐺𝐴)) ↔ ¬ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
258, 14, 243imtr3d 292 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (¬ 𝐴𝐵 → ¬ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
263, 25impcon4bid 226 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3463  wss 3939   class class class wbr 5143  cmpt 5226  cres 5674  Oncon0 6364  cfv 6543  (class class class)co 7416  ωcom 7868  reccrdg 8428  cr 11137  1c1 11139   + caddc 11141   < clt 11278  cle 11279  cz 12588  cuz 12852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853
This theorem is referenced by:  om2uzisoi  13951  unbenlem  16876
  Copyright terms: Public domain W3C validator