Theorem om2uzlt2i 13922

Description: The mapping 𝐺 (see om2uz0i 13918) preserves order. (Contributed by NM, 4-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	⊢ 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
om2uzlt2i	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzlt2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om2uz.1	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
2		om2uz.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
3	1, 2	om2uzlti 13921	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
4	1, 2	om2uzlti 13921	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴)))
5		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴))
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐵 = 𝐴 → (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴)))
7	4, 6	orim12d 961	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) → ((𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴))))
8	7	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) → ((𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴))))
9		nnon 7858	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
10		nnon 7858	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
11		onsseleq 6399	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)))
12		ontri1 6392	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
13	11, 12	bitr3d 281	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
14	9, 10, 13	syl2anr 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
15	1, 2	om2uzuzi 13920	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐺‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
16		eluzelre 12837	. . . . 5 ⊢ ((𝐺‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)
18	1, 2	om2uzuzi 13920	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
19		eluzelre 12837	. . . . 5 ⊢ ((𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ)
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ)
21		leloe 11304	. . . . 5 ⊢ (((𝐺‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝐵) ≤ (𝐺‘𝐴) ↔ ((𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴))))
22		lenlt 11296	. . . . 5 ⊢ (((𝐺‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝐵) ≤ (𝐺‘𝐴) ↔ ¬ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
23	21, 22	bitr3d 281	. . . 4 ⊢ (((𝐺‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ) → (((𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴)) ↔ ¬ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
24	17, 20, 23	syl2anr 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (((𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴)) ↔ ¬ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
25	8, 14, 24	3imtr3d 293	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
26	3, 25	impcon4bid 226	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ⊆ wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   ↾ cres 5671  Oncon0 6358  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ωcom 7852  reccrdg 8410  ℝcr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≤ cle 11253  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827

This theorem is referenced by:  om2uzisoi  13925  unbenlem  16850