Theorem om2uzlt2i 13983

Description: The mapping 𝐺 (see om2uz0i 13979) preserves order. (Contributed by NM, 4-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	⊢ 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
om2uzlt2i	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzlt2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om2uz.1	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
2		om2uz.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
3	1, 2	om2uzlti 13982	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
4	1, 2	om2uzlti 13982	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴)))
5		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴))
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐵 = 𝐴 → (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴)))
7	4, 6	orim12d 979	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) → ((𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴))))
8	7	ancoms 463	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) → ((𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴))))
9		nnon 7864	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
10		nnon 7864	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
11		onsseleq 6402	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)))
12		ontri1 6395	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
13	11, 12	bitr3d 284	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
14	9, 10, 13	syl2anr 608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
15	1, 2	om2uzuzi 13981	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐺‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
16		eluzelre 12868	. . . . 5 ⊢ ((𝐺‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)
17	15, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)
18	1, 2	om2uzuzi 13981	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
19		eluzelre 12868	. . . . 5 ⊢ ((𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ)
20	18, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ)
21		leloe 11291	. . . . 5 ⊢ (((𝐺‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝐵) ≤ (𝐺‘𝐴) ↔ ((𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴))))
22		lenlt 11283	. . . . 5 ⊢ (((𝐺‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝐵) ≤ (𝐺‘𝐴) ↔ ¬ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
23	21, 22	bitr3d 284	. . . 4 ⊢ (((𝐺‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ) → (((𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴)) ↔ ¬ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
24	17, 20, 23	syl2anr 608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (((𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴)) ↔ ¬ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
25	8, 14, 24	3imtr3d 296	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
26	3, 25	impcon4bid 230	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   ↾ cres 5663  Oncon0 6360  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ωcom 7858  reccrdg 8392  ℝcr 11094  1c1 11096   + caddc 11098   < clt 11238   ≤ cle 11239  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858

This theorem is referenced by:  om2uzisoi  13986  unbenlem  16963