MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omword Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omword 8584
Description: Weak ordering property of ordinal multiplication. (Contributed by NM, 21-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omword (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โІ ๐ต โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โІ (๐ถ ยทo ๐ต)))

Proof of Theorem omword
StepHypRef Expression
1 omord2 8581 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))
2 3anrot 1098 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†” (๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On))
3 omcan 8583 . . . . 5 (((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” ๐ด = ๐ต))
42, 3sylanbr 581 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” ๐ด = ๐ต))
54bicomd 222 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต)))
61, 5orbi12d 917 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆจ ๐ด = ๐ต) โ†” ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต))))
7 onsseleq 6404 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด โІ ๐ต โ†” (๐ด โˆˆ ๐ต โˆจ ๐ด = ๐ต)))
873adant3 1130 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โІ ๐ต โ†” (๐ด โˆˆ ๐ต โˆจ ๐ด = ๐ต)))
98adantr 480 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โІ ๐ต โ†” (๐ด โˆˆ ๐ต โˆจ ๐ด = ๐ต)))
10 omcl 8550 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ On)
11 omcl 8550 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ On)
1210, 11anim12dan 618 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ On โˆง (๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On)) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ On โˆง (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ On))
1312ancoms 458 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ On โˆง (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ On))
14133impa 1108 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ On โˆง (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ On))
15 onsseleq 6404 . . . 4 (((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ On โˆง (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ On) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โІ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต))))
1614, 15syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โІ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต))))
1716adantr 480 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โІ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต))))
186, 9, 173bitr4d 311 1 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โІ ๐ต โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โІ (๐ถ ยทo ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โІ wss 3944  โˆ…c0 4318  Oncon0 6363  (class class class)co 7414   ยทo comu 8478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-oadd 8484  df-omul 8485
This theorem is referenced by:  omwordi  8585  omeulem2  8597  oeeui  8616
  Copyright terms: Public domain W3C validator