MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omword Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omword 8565
Description: Weak ordering property of ordinal multiplication. (Contributed by NM, 21-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omword (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โІ ๐ต โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โІ (๐ถ ยทo ๐ต)))

Proof of Theorem omword
StepHypRef Expression
1 omord2 8562 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))
2 3anrot 1097 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†” (๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On))
3 omcan 8564 . . . . 5 (((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” ๐ด = ๐ต))
42, 3sylanbr 581 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” ๐ด = ๐ต))
54bicomd 222 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต)))
61, 5orbi12d 915 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆจ ๐ด = ๐ต) โ†” ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต))))
7 onsseleq 6395 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด โІ ๐ต โ†” (๐ด โˆˆ ๐ต โˆจ ๐ด = ๐ต)))
873adant3 1129 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โІ ๐ต โ†” (๐ด โˆˆ ๐ต โˆจ ๐ด = ๐ต)))
98adantr 480 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โІ ๐ต โ†” (๐ด โˆˆ ๐ต โˆจ ๐ด = ๐ต)))
10 omcl 8531 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ On)
11 omcl 8531 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ On)
1210, 11anim12dan 618 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ On โˆง (๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On)) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ On โˆง (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ On))
1312ancoms 458 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ On โˆง (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ On))
14133impa 1107 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ On โˆง (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ On))
15 onsseleq 6395 . . . 4 (((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ On โˆง (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ On) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โІ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต))))
1614, 15syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โІ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต))))
1716adantr 480 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โІ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต))))
186, 9, 173bitr4d 311 1 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โІ ๐ต โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โІ (๐ถ ยทo ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โІ wss 3940  โˆ…c0 4314  Oncon0 6354  (class class class)co 7401   ยทo comu 8459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-oadd 8465  df-omul 8466
This theorem is referenced by:  omwordi  8566  omeulem2  8578  oeeui  8597
  Copyright terms: Public domain W3C validator