MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neii2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem neii2 21720
Description: Property of a neighborhood. (Contributed by NM, 12-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
neii2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐽   𝑔,𝑁   𝑆,𝑔

Proof of Theorem neii2
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . 3 𝐽 = 𝐽
21neiss2 21713 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆 𝐽)
31isnei 21715 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁 𝐽 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
4 simpr 488 . . . 4 ((𝑁 𝐽 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁)) → ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))
53, 4syl6bi 256 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁)))
65impancom 455 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → (𝑆 𝐽 → ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁)))
72, 6mpd 15 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2115  wrex 3134  wss 3919   cuni 4824  cfv 6343  Topctop 21505  neicnei 21709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-top 21506  df-nei 21710
This theorem is referenced by:  neiss  21721  ssnei  21722  ssnei2  21728  innei  21737  opnneiid  21738  neissex  21739  cnpnei  21876  hausnei2  21965  nlly2i  22088  neitx  22219  cnextcn  22679  utopreg  22865  neibastop2  33770
  Copyright terms: Public domain W3C validator