MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neii2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem neii2 22834
Description: Property of a neighborhood. (Contributed by NM, 12-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
neii2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐽 (𝑆 βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐽   𝑔,𝑁   𝑆,𝑔
Proof of Theorem neii2
StepHypRef Expression
1 eqid 2730 . . 3 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
21neiss2 22827 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
31isnei 22829 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑁 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†) ↔ (𝑁 βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ βˆƒπ‘” ∈ 𝐽 (𝑆 βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑁))))
4 simpr 483 . . . 4 ((𝑁 βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ βˆƒπ‘” ∈ 𝐽 (𝑆 βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑁)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐽 (𝑆 βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑁))
53, 4syl6bi 252 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑁 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐽 (𝑆 βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑁)))
65impancom 450 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ (𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽 β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐽 (𝑆 βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑁)))
72, 6mpd 15 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐽 (𝑆 βŠ† 𝑔 ∧ 𝑔 βŠ† 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3068   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4909  β€˜cfv 6544  Topctop 22617  neicnei 22823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-top 22618  df-nei 22824
This theorem is referenced by:  neiss  22835  ssnei  22836  ssnei2  22842  innei  22851  opnneiid  22852  neissex  22853  cnpnei  22990  hausnei2  23079  nlly2i  23202  neitx  23333  cnextcn  23793  utopreg  23979  neibastop2  35551  opnneilv  47630
  Copyright terms: Public domain W3C validator