Theorem ranval 50241

Description: Value of the set of right Kan extensions. (Contributed by Zhi Wang, 4-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lanval.r	⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
lanval.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
lanval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
lanval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶 Func 𝐸))
ranval.k	⊢ (𝜑 → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) = ⟨𝐽, 𝐾⟩)
ranval.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝑅)
ranval.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ranval	⊢ (𝜑 → (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Ran 𝐸)𝑋) = (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑋))

Proof of Theorem ranval

Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lanval.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
2		lanval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
3		lanval.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
4	3	func1st2nd 49697	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))
5	4	funcrcl2 49700	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6	4	funcrcl3 49701	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
7		lanval.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶 Func 𝐸))
8	7	func1st2nd 49697	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝑋)(𝐶 Func 𝐸)(2nd ‘𝑋))
9	8	funcrcl3 49701	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
10		ranval.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝑅)
11		ranval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝑆)
12	1, 2, 5, 6, 9, 10, 11	ranfval 50235	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ Ran 𝐸) = (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷), 𝑥 ∈ (𝐶 Func 𝐸) ↦ (( oppFunc ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝑓))(𝑂 UP 𝑃)𝑥)))
13		simprl 780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑥 = 𝑋)) → 𝑓 = 𝐹)
14	13	oveq2d 7412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑥 = 𝑋)) → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝑓) = (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹))
15		ranval.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) = ⟨𝐽, 𝐾⟩)
16	15	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑥 = 𝑋)) → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) = ⟨𝐽, 𝐾⟩)
17	14, 16	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑥 = 𝑋)) → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝑓) = ⟨𝐽, 𝐾⟩)
18	17	fveq2d 6871	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑥 = 𝑋)) → ( oppFunc ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝑓)) = ( oppFunc ‘⟨𝐽, 𝐾⟩))
19		df-ov 7399	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 oppFunc 𝐾) = ( oppFunc ‘⟨𝐽, 𝐾⟩)
20	1, 9, 2, 3, 15	prcoffunca2 50008	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽(𝑅 Func 𝑆)𝐾)
21		oppfval 49757	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽(𝑅 Func 𝑆)𝐾 → (𝐽 oppFunc 𝐾) = ⟨𝐽, tpos 𝐾⟩)
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 oppFunc 𝐾) = ⟨𝐽, tpos 𝐾⟩)
23	19, 22	eqtr3id 2811	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘⟨𝐽, 𝐾⟩) = ⟨𝐽, tpos 𝐾⟩)
24	23	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑥 = 𝑋)) → ( oppFunc ‘⟨𝐽, 𝐾⟩) = ⟨𝐽, tpos 𝐾⟩)
25	18, 24	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑥 = 𝑋)) → ( oppFunc ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝑓)) = ⟨𝐽, tpos 𝐾⟩)
26		simprr 782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑥 = 𝑋)) → 𝑥 = 𝑋)
27	25, 26	oveq12d 7414	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑥 = 𝑋)) → (( oppFunc ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝑓))(𝑂 UP 𝑃)𝑥) = (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑋))
28		ovexd 7431	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑋) ∈ V)
29	12, 27, 3, 7, 28	ovmpod 7548	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Ran 𝐸)𝑋) = (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  1^st c1st 7968  2^nd c2nd 7969  tpos ctpos 8205  Catccat 17696  oppCatcoppc 17743   Func cfunc 17887   FuncCat cfuc 17978   oppFunc coppf 49743   UP cup 49794   −∘_F cprcof 49994   Ran cran 50227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-fz 13513  df-struct 17183  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-hom 17310  df-cco 17311  df-cat 17700  df-cid 17701  df-func 17891  df-cofu 17893  df-nat 17979  df-fuc 17980  df-xpc 18204  df-curf 18246  df-oppf 49744  df-swapf 49881  df-fuco 49938  df-prcof 49995  df-ran 50229

This theorem is referenced by:  relran  50245  isran  50249  ranval2  50251