Theorem ranval 49356

Description: Value of the set of right Kan extensions. (Contributed by Zhi Wang, 4-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lanval.r	⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
lanval.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
lanval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
lanval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶 Func 𝐸))
ranval.k	⊢ (𝜑 → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) = ⟨𝐽, 𝐾⟩)
ranval.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝑅)
ranval.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ranval	⊢ (𝜑 → (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩Ran𝐸)𝑋) = (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂UP𝑃)𝑋))

Proof of Theorem ranval

Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lanval.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
2		lanval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
3		lanval.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
4	3	func1st2nd 48936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))
5	4	funcrcl2 48937	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6	4	funcrcl3 48938	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
7		lanval.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶 Func 𝐸))
8	7	func1st2nd 48936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝑋)(𝐶 Func 𝐸)(2nd ‘𝑋))
9	8	funcrcl3 48938	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
10		ranval.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝑅)
11		ranval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝑆)
12	1, 2, 5, 6, 9, 10, 11	ranfval 49352	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩Ran𝐸) = (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷), 𝑥 ∈ (𝐶 Func 𝐸) ↦ ((oppFunc‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝑓))(𝑂UP𝑃)𝑥)))
13		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑥 = 𝑋)) → 𝑓 = 𝐹)
14	13	oveq2d 7416	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑥 = 𝑋)) → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝑓) = (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹))
15		ranval.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) = ⟨𝐽, 𝐾⟩)
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑥 = 𝑋)) → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) = ⟨𝐽, 𝐾⟩)
17	14, 16	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑥 = 𝑋)) → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝑓) = ⟨𝐽, 𝐾⟩)
18	17	fveq2d 6877	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑥 = 𝑋)) → (oppFunc‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝑓)) = (oppFunc‘⟨𝐽, 𝐾⟩))
19		df-ov 7403	. . . . . 6 ⊢ (𝐽oppFunc𝐾) = (oppFunc‘⟨𝐽, 𝐾⟩)
20	1, 9, 2, 3, 15	prcoffunca2 49160	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽(𝑅 Func 𝑆)𝐾)
21		oppfval 48952	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽(𝑅 Func 𝑆)𝐾 → (𝐽oppFunc𝐾) = ⟨𝐽, tpos 𝐾⟩)
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽oppFunc𝐾) = ⟨𝐽, tpos 𝐾⟩)
23	19, 22	eqtr3id 2783	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (oppFunc‘⟨𝐽, 𝐾⟩) = ⟨𝐽, tpos 𝐾⟩)
24	23	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑥 = 𝑋)) → (oppFunc‘⟨𝐽, 𝐾⟩) = ⟨𝐽, tpos 𝐾⟩)
25	18, 24	eqtrd 2769	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑥 = 𝑋)) → (oppFunc‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝑓)) = ⟨𝐽, tpos 𝐾⟩)
26		simprr 772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑥 = 𝑋)) → 𝑥 = 𝑋)
27	25, 26	oveq12d 7418	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑥 = 𝑋)) → ((oppFunc‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝑓))(𝑂UP𝑃)𝑥) = (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂UP𝑃)𝑋))
28		ovexd 7435	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂UP𝑃)𝑋) ∈ V)
29	12, 27, 3, 7, 28	ovmpod 7554	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩Ran𝐸)𝑋) = (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂UP𝑃)𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3457  ⟨cop 4605   class class class wbr 5117  ‘cfv 6528  (class class class)co 7400  1^st c1st 7981  2^nd c2nd 7982  tpos ctpos 8219  Catccat 17663  oppCatcoppc 17710   Func cfunc 17854   FuncCat cfuc 17945  oppFunccoppf 48950  UPcup 48974   −∘_F cprcof 49147  Rancran 49344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5247  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724  ax-cnex 11178  ax-resscn 11179  ax-1cn 11180  ax-icn 11181  ax-addcl 11182  ax-addrcl 11183  ax-mulcl 11184  ax-mulrcl 11185  ax-mulcom 11186  ax-addass 11187  ax-mulass 11188  ax-distr 11189  ax-i2m1 11190  ax-1ne0 11191  ax-1rid 11192  ax-rnegex 11193  ax-rrecex 11194  ax-cnre 11195  ax-pre-lttri 11196  ax-pre-lttrn 11197  ax-pre-ltadd 11198  ax-pre-mulgt0 11199

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-uni 4882  df-iun 4967  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-tr 5228  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6288  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7857  df-1st 7983  df-2nd 7984  df-tpos 8220  df-frecs 8275  df-wrecs 8306  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8475  df-er 8714  df-map 8837  df-ixp 8907  df-en 8955  df-dom 8956  df-sdom 8957  df-fin 8958  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12234  df-2 12296  df-3 12297  df-4 12298  df-5 12299  df-6 12300  df-7 12301  df-8 12302  df-9 12303  df-n0 12495  df-z 12582  df-dec 12702  df-uz 12846  df-fz 13515  df-struct 17153  df-slot 17188  df-ndx 17200  df-base 17216  df-hom 17282  df-cco 17283  df-cat 17667  df-cid 17668  df-func 17858  df-cofu 17860  df-nat 17946  df-fuc 17947  df-xpc 18171  df-curf 18213  df-oppf 48951  df-swapf 49040  df-fuco 49091  df-prcof 49148  df-ran 49346

This theorem is referenced by:  relran  49360  isran  49364  ranval2  49366