Theorem termolmd 49638

Description: Terminal objects are the object part of limits of the empty diagram. (Contributed by Zhi Wang, 20-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
termolmd	⊢ (TermO‘𝐶) = dom (∅(𝐶 Limit ∅)∅)

Proof of Theorem termolmd

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		termorcl 17959	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (TermO‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
2		vex 3454	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	2	eldm 5866	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) ↔ ∃𝑦 𝑥((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)𝑦)
4		df-br 5110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩))
5		lmdrcl 49619	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) → ⟨∅, ∅⟩ ∈ (∅ Func 𝐶))
6	4, 5	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)𝑦 → ⟨∅, ∅⟩ ∈ (∅ Func 𝐶))
7	6	func1st2nd 49053	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)𝑦 → (1st ‘⟨∅, ∅⟩)(∅ Func 𝐶)(2nd ‘⟨∅, ∅⟩))
8	7	funcrcl3 49057	. . . . . 6 ⊢ (𝑥((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)𝑦 → 𝐶 ∈ Cat)
9	8	exlimiv 1930	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 𝑥((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)𝑦 → 𝐶 ∈ Cat)
10	3, 9	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) → 𝐶 ∈ Cat)
11		initocmd 49637	. . . . . 6 ⊢ (InitO‘(oppCat‘𝐶)) = dom (∅((oppCat‘𝐶) Colimit ∅)∅)
12		oppctermo 49207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (TermO‘𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶)))
13	12	eqriv 2727	. . . . . . 7 ⊢ (TermO‘𝐶) = (InitO‘(oppCat‘𝐶))
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (TermO‘𝐶) = (InitO‘(oppCat‘𝐶)))
15		eqid 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
16	15	2oppchomf 17691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘(oppCat‘𝐶)))
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘(oppCat‘𝐶))))
18	15	2oppccomf 17692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘(oppCat‘𝐶)))
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘(oppCat‘𝐶))))
20		ral0 4478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑥(Hom ‘∅)𝑦) = (𝑥(Hom ‘(oppCat‘∅))𝑦)
21		eqid 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Hom ‘∅) = (Hom ‘∅)
22		eqid 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Hom ‘(oppCat‘∅)) = (Hom ‘(oppCat‘∅))
23		base0 17190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ = (Base‘∅))
25		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (oppCat‘∅) = (oppCat‘∅)
26	25, 23	oppcbas 17685	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ = (Base‘(oppCat‘∅))
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ = (Base‘(oppCat‘∅)))
28	21, 22, 24, 27	homfeq 17661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ((Homf ‘∅) = (Homf ‘(oppCat‘∅)) ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑥(Hom ‘∅)𝑦) = (𝑥(Hom ‘(oppCat‘∅))𝑦)))
29	20, 28	mpbiri 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Homf ‘∅) = (Homf ‘(oppCat‘∅)))
30		ral0 4478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ ∅ ∀𝑧 ∈ ∅ ∀𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘∅)𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦(Hom ‘∅)𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘∅)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(oppCat‘∅))𝑧)𝑓)
31		eqid 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (comp‘∅) = (comp‘∅)
32		eqid 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (comp‘(oppCat‘∅)) = (comp‘(oppCat‘∅))
33	31, 32, 21, 24, 27, 29	comfeq 17673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ((compf‘∅) = (compf‘(oppCat‘∅)) ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ ∅ ∀𝑧 ∈ ∅ ∀𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘∅)𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦(Hom ‘∅)𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘∅)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(oppCat‘∅))𝑧)𝑓)))
34	30, 33	mpbiri 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (compf‘∅) = (compf‘(oppCat‘∅)))
35		elex 3471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝐶 ∈ V)
36		fvexd 6875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘(oppCat‘𝐶)) ∈ V)
37		0ex 5264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ V
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ ∈ V)
39		fvexd 6875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘∅) ∈ V)
40	17, 19, 29, 34, 35, 36, 38, 39	lmdpropd 49625	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝐶 Limit ∅) = ((oppCat‘(oppCat‘𝐶)) Limit (oppCat‘∅)))
41		eqidd 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ = ∅)
42		0cat 17656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∅ ∈ Cat
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ ∈ Cat)
44	43, 24, 43	0funcg2 49061	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (∅(∅ Func ∅)∅ ↔ (∅ = ∅ ∧ ∅ = ∅)))
45	41, 41, 44	mpbir2and 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅(∅ Func ∅)∅)
46		oppfval 49113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅(∅ Func ∅)∅ → (∅oppFunc∅) = ⟨∅, tpos ∅⟩)
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (∅oppFunc∅) = ⟨∅, tpos ∅⟩)
48		tpos0 8237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ tpos ∅ = ∅
49	48	opeq2i 4843	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨∅, tpos ∅⟩ = ⟨∅, ∅⟩
50	47, 49	eqtr2di 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ⟨∅, ∅⟩ = (∅oppFunc∅))
51	40, 50	fveq12d 6867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) = (((oppCat‘(oppCat‘𝐶)) Limit (oppCat‘∅))‘(∅oppFunc∅)))
52		df-ov 7392	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅((oppCat‘𝐶) Colimit ∅)∅) = (((oppCat‘𝐶) Colimit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)
53		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (oppCat‘(oppCat‘𝐶)) = (oppCat‘(oppCat‘𝐶))
54		df-ov 7392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅oppFunc∅) = (oppFunc‘⟨∅, ∅⟩)
55		fvexd 6875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘𝐶) ∈ V)
56	53, 25, 54, 55, 38	cmddu 49636	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (((oppCat‘𝐶) Colimit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) = (((oppCat‘(oppCat‘𝐶)) Limit (oppCat‘∅))‘(∅oppFunc∅)))
57	52, 56	eqtrid 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (∅((oppCat‘𝐶) Colimit ∅)∅) = (((oppCat‘(oppCat‘𝐶)) Limit (oppCat‘∅))‘(∅oppFunc∅)))
58	51, 57	eqtr4d 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) = (∅((oppCat‘𝐶) Colimit ∅)∅))
59	58	dmeqd 5871	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) = dom (∅((oppCat‘𝐶) Colimit ∅)∅))
60	11, 14, 59	3eqtr4a 2791	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (TermO‘𝐶) = dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩))
61	60	eleq2d 2815	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝑥 ∈ (TermO‘𝐶) ↔ 𝑥 ∈ dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)))
62	1, 10, 61	pm5.21nii 378	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (TermO‘𝐶) ↔ 𝑥 ∈ dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩))
63	62	eqriv 2727	. 2 ⊢ (TermO‘𝐶) = dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)
64		df-ov 7392	. . 3 ⊢ (∅(𝐶 Limit ∅)∅) = ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)
65	64	dmeqi 5870	. 2 ⊢ dom (∅(𝐶 Limit ∅)∅) = dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)
66	63, 65	eqtr4i 2756	1 ⊢ (TermO‘𝐶) = dom (∅(𝐶 Limit ∅)∅)

Syntax hints:   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  Vcvv 3450  ∅c0 4298  ⟨cop 4597   class class class wbr 5109  dom cdm 5640  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  1^st c1st 7968  2^nd c2nd 7969  tpos ctpos 8206  Basecbs 17185  Hom chom 17237  compcco 17238  Catccat 17631  Hom_f chomf 17633  comp_fccomf 17634  oppCatcoppc 17678   Func cfunc 17822  InitOcinito 17949  TermOctermo 17950  oppFunccoppf 49099   Limit clmd 49611   Colimit ccmd 49612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-er 8673  df-map 8803  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-fz 13475  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-hom 17250  df-cco 17251  df-cat 17635  df-cid 17636  df-homf 17637  df-comf 17638  df-oppc 17679  df-sect 17715  df-inv 17716  df-iso 17717  df-cic 17764  df-func 17826  df-idfu 17827  df-cofu 17828  df-full 17874  df-fth 17875  df-nat 17914  df-fuc 17915  df-inito 17952  df-termo 17953  df-setc 18044  df-catc 18067  df-xpc 18139  df-1stf 18140  df-curf 18181  df-diag 18183  df-oppf 49100  df-up 49147  df-thinc 49387  df-termc 49442  df-lmd 49613  df-cmd 49614

This theorem is referenced by: (None)