Theorem termolmd 49702

Description: Terminal objects are the object part of limits of the empty diagram. (Contributed by Zhi Wang, 20-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
termolmd	⊢ (TermO‘𝐶) = dom (∅(𝐶 Limit ∅)∅)

Proof of Theorem termolmd

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		termorcl 17893	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (TermO‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
2		vex 3440	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	2	eldm 5835	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) ↔ ∃𝑦 𝑥((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)𝑦)
4		df-br 5087	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩))
5		lmdrcl 49683	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) → ⟨∅, ∅⟩ ∈ (∅ Func 𝐶))
6	4, 5	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)𝑦 → ⟨∅, ∅⟩ ∈ (∅ Func 𝐶))
7	6	func1st2nd 49108	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)𝑦 → (1st ‘⟨∅, ∅⟩)(∅ Func 𝐶)(2nd ‘⟨∅, ∅⟩))
8	7	funcrcl3 49112	. . . . . 6 ⊢ (𝑥((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)𝑦 → 𝐶 ∈ Cat)
9	8	exlimiv 1931	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 𝑥((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)𝑦 → 𝐶 ∈ Cat)
10	3, 9	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) → 𝐶 ∈ Cat)
11		initocmd 49701	. . . . . 6 ⊢ (InitO‘(oppCat‘𝐶)) = dom (∅((oppCat‘𝐶) Colimit ∅)∅)
12		oppctermo 49268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (TermO‘𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶)))
13	12	eqriv 2728	. . . . . . 7 ⊢ (TermO‘𝐶) = (InitO‘(oppCat‘𝐶))
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (TermO‘𝐶) = (InitO‘(oppCat‘𝐶)))
15		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
16	15	2oppchomf 17625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘(oppCat‘𝐶)))
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘(oppCat‘𝐶))))
18	15	2oppccomf 17626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘(oppCat‘𝐶)))
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘(oppCat‘𝐶))))
20		ral0 4458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑥(Hom ‘∅)𝑦) = (𝑥(Hom ‘(oppCat‘∅))𝑦)
21		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Hom ‘∅) = (Hom ‘∅)
22		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Hom ‘(oppCat‘∅)) = (Hom ‘(oppCat‘∅))
23		base0 17120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ = (Base‘∅))
25		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (oppCat‘∅) = (oppCat‘∅)
26	25, 23	oppcbas 17619	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ = (Base‘(oppCat‘∅))
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ = (Base‘(oppCat‘∅)))
28	21, 22, 24, 27	homfeq 17595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ((Homf ‘∅) = (Homf ‘(oppCat‘∅)) ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑥(Hom ‘∅)𝑦) = (𝑥(Hom ‘(oppCat‘∅))𝑦)))
29	20, 28	mpbiri 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Homf ‘∅) = (Homf ‘(oppCat‘∅)))
30		ral0 4458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ ∅ ∀𝑧 ∈ ∅ ∀𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘∅)𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦(Hom ‘∅)𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘∅)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(oppCat‘∅))𝑧)𝑓)
31		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (comp‘∅) = (comp‘∅)
32		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (comp‘(oppCat‘∅)) = (comp‘(oppCat‘∅))
33	31, 32, 21, 24, 27, 29	comfeq 17607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ((compf‘∅) = (compf‘(oppCat‘∅)) ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ ∅ ∀𝑧 ∈ ∅ ∀𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘∅)𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦(Hom ‘∅)𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘∅)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(oppCat‘∅))𝑧)𝑓)))
34	30, 33	mpbiri 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (compf‘∅) = (compf‘(oppCat‘∅)))
35		elex 3457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝐶 ∈ V)
36		fvexd 6832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘(oppCat‘𝐶)) ∈ V)
37		0ex 5240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ V
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ ∈ V)
39		fvexd 6832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘∅) ∈ V)
40	17, 19, 29, 34, 35, 36, 38, 39	lmdpropd 49689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝐶 Limit ∅) = ((oppCat‘(oppCat‘𝐶)) Limit (oppCat‘∅)))
41		eqidd 2732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ = ∅)
42		0cat 17590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∅ ∈ Cat
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ ∈ Cat)
44	43, 24, 43	0funcg2 49116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (∅(∅ Func ∅)∅ ↔ (∅ = ∅ ∧ ∅ = ∅)))
45	41, 41, 44	mpbir2and 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅(∅ Func ∅)∅)
46		oppfval 49168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅(∅ Func ∅)∅ → (∅ oppFunc ∅) = ⟨∅, tpos ∅⟩)
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (∅ oppFunc ∅) = ⟨∅, tpos ∅⟩)
48		tpos0 8181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ tpos ∅ = ∅
49	48	opeq2i 4824	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨∅, tpos ∅⟩ = ⟨∅, ∅⟩
50	47, 49	eqtr2di 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ⟨∅, ∅⟩ = (∅ oppFunc ∅))
51	40, 50	fveq12d 6824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) = (((oppCat‘(oppCat‘𝐶)) Limit (oppCat‘∅))‘(∅ oppFunc ∅)))
52		df-ov 7344	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅((oppCat‘𝐶) Colimit ∅)∅) = (((oppCat‘𝐶) Colimit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)
53		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (oppCat‘(oppCat‘𝐶)) = (oppCat‘(oppCat‘𝐶))
54		df-ov 7344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ oppFunc ∅) = ( oppFunc ‘⟨∅, ∅⟩)
55		fvexd 6832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘𝐶) ∈ V)
56	53, 25, 54, 55, 38	cmddu 49700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (((oppCat‘𝐶) Colimit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) = (((oppCat‘(oppCat‘𝐶)) Limit (oppCat‘∅))‘(∅ oppFunc ∅)))
57	52, 56	eqtrid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (∅((oppCat‘𝐶) Colimit ∅)∅) = (((oppCat‘(oppCat‘𝐶)) Limit (oppCat‘∅))‘(∅ oppFunc ∅)))
58	51, 57	eqtr4d 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) = (∅((oppCat‘𝐶) Colimit ∅)∅))
59	58	dmeqd 5840	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) = dom (∅((oppCat‘𝐶) Colimit ∅)∅))
60	11, 14, 59	3eqtr4a 2792	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (TermO‘𝐶) = dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩))
61	60	eleq2d 2817	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝑥 ∈ (TermO‘𝐶) ↔ 𝑥 ∈ dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)))
62	1, 10, 61	pm5.21nii 378	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (TermO‘𝐶) ↔ 𝑥 ∈ dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩))
63	62	eqriv 2728	. 2 ⊢ (TermO‘𝐶) = dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)
64		df-ov 7344	. . 3 ⊢ (∅(𝐶 Limit ∅)∅) = ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)
65	64	dmeqi 5839	. 2 ⊢ dom (∅(𝐶 Limit ∅)∅) = dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)
66	63, 65	eqtr4i 2757	1 ⊢ (TermO‘𝐶) = dom (∅(𝐶 Limit ∅)∅)

Syntax hints:   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  Vcvv 3436  ∅c0 4278  ⟨cop 4577   class class class wbr 5086  dom cdm 5611  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  1^st c1st 7914  2^nd c2nd 7915  tpos ctpos 8150  Basecbs 17115  Hom chom 17167  compcco 17168  Catccat 17565  Hom_f chomf 17567  comp_fccomf 17568  oppCatcoppc 17612   Func cfunc 17756  InitOcinito 17883  TermOctermo 17884   oppFunc coppf 49154   Limit clmd 49675   Colimit ccmd 49676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-ot 4580  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-fz 13403  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-hom 17180  df-cco 17181  df-cat 17569  df-cid 17570  df-homf 17571  df-comf 17572  df-oppc 17613  df-sect 17649  df-inv 17650  df-iso 17651  df-cic 17698  df-func 17760  df-idfu 17761  df-cofu 17762  df-full 17808  df-fth 17809  df-nat 17848  df-fuc 17849  df-inito 17886  df-termo 17887  df-setc 17978  df-catc 18001  df-xpc 18073  df-1stf 18074  df-curf 18115  df-diag 18117  df-oppf 49155  df-up 49206  df-thinc 49450  df-termc 49505  df-lmd 49677  df-cmd 49678

This theorem is referenced by: (None)