Theorem termolmd 50328

Description: Terminal objects are the object part of limits of the empty diagram. (Contributed by Zhi Wang, 20-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
termolmd	⊢ (TermO‘𝐶) = dom (∅(𝐶 Limit ∅)∅)

Proof of Theorem termolmd

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		termorcl 18044	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (TermO‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
2		vex 3467	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	2	eldm 5888	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) ↔ ∃𝑦 𝑥((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)𝑦)
4		df-br 5111	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩))
5		lmdrcl 50309	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) → ⟨∅, ∅⟩ ∈ (∅ Func 𝐶))
6	4, 5	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)𝑦 → ⟨∅, ∅⟩ ∈ (∅ Func 𝐶))
7	6	func1st2nd 49734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)𝑦 → (1st ‘⟨∅, ∅⟩)(∅ Func 𝐶)(2nd ‘⟨∅, ∅⟩))
8	7	funcrcl3 49738	. . . . . 6 ⊢ (𝑥((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)𝑦 → 𝐶 ∈ Cat)
9	8	exlimiv 1957	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 𝑥((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)𝑦 → 𝐶 ∈ Cat)
10	3, 9	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) → 𝐶 ∈ Cat)
11		initocmd 50327	. . . . . 6 ⊢ (InitO‘(oppCat‘𝐶)) = dom (∅((oppCat‘𝐶) Colimit ∅)∅)
12		oppctermo 49894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (TermO‘𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶)))
13	12	eqriv 2766	. . . . . . 7 ⊢ (TermO‘𝐶) = (InitO‘(oppCat‘𝐶))
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (TermO‘𝐶) = (InitO‘(oppCat‘𝐶)))
15		eqid 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
16	15	2oppchomf 17776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘(oppCat‘𝐶)))
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘(oppCat‘𝐶))))
18	15	2oppccomf 17777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘(oppCat‘𝐶)))
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘(oppCat‘𝐶))))
20		ral0 4461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑥(Hom ‘∅)𝑦) = (𝑥(Hom ‘(oppCat‘∅))𝑦)
21		eqid 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Hom ‘∅) = (Hom ‘∅)
22		eqid 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Hom ‘(oppCat‘∅)) = (Hom ‘(oppCat‘∅))
23		base0 17270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ = (Base‘∅))
25		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (oppCat‘∅) = (oppCat‘∅)
26	25, 23	oppcbas 17770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ = (Base‘(oppCat‘∅))
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ = (Base‘(oppCat‘∅)))
28	21, 22, 24, 27	homfeq 17746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ((Homf ‘∅) = (Homf ‘(oppCat‘∅)) ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑥(Hom ‘∅)𝑦) = (𝑥(Hom ‘(oppCat‘∅))𝑦)))
29	20, 28	mpbiri 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Homf ‘∅) = (Homf ‘(oppCat‘∅)))
30		ral0 4461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ ∅ ∀𝑧 ∈ ∅ ∀𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘∅)𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦(Hom ‘∅)𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘∅)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(oppCat‘∅))𝑧)𝑓)
31		eqid 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (comp‘∅) = (comp‘∅)
32		eqid 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (comp‘(oppCat‘∅)) = (comp‘(oppCat‘∅))
33	31, 32, 21, 24, 27, 29	comfeq 17758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ((compf‘∅) = (compf‘(oppCat‘∅)) ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ ∅ ∀𝑧 ∈ ∅ ∀𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘∅)𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦(Hom ‘∅)𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘∅)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(oppCat‘∅))𝑧)𝑓)))
34	30, 33	mpbiri 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (compf‘∅) = (compf‘(oppCat‘∅)))
35		elex 3484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝐶 ∈ V)
36		fvexd 6894	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘(oppCat‘𝐶)) ∈ V)
37		0ex 5269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ V
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ ∈ V)
39		fvexd 6894	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘∅) ∈ V)
40	17, 19, 29, 34, 35, 36, 38, 39	lmdpropd 50315	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝐶 Limit ∅) = ((oppCat‘(oppCat‘𝐶)) Limit (oppCat‘∅)))
41		eqidd 2770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ = ∅)
42		0cat 17741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∅ ∈ Cat
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ ∈ Cat)
44	43, 24, 43	0funcg2 49742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (∅(∅ Func ∅)∅ ↔ (∅ = ∅ ∧ ∅ = ∅)))
45	41, 41, 44	mpbir2and 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅(∅ Func ∅)∅)
46		oppfval 49794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅(∅ Func ∅)∅ → (∅ oppFunc ∅) = ⟨∅, tpos ∅⟩)
47	45, 46	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (∅ oppFunc ∅) = ⟨∅, tpos ∅⟩)
48		tpos0 8248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ tpos ∅ = ∅
49	48	opeq2i 4843	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨∅, tpos ∅⟩ = ⟨∅, ∅⟩
50	47, 49	eqtr2di 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ⟨∅, ∅⟩ = (∅ oppFunc ∅))
51	40, 50	fveq12d 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) = (((oppCat‘(oppCat‘𝐶)) Limit (oppCat‘∅))‘(∅ oppFunc ∅)))
52		df-ov 7411	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅((oppCat‘𝐶) Colimit ∅)∅) = (((oppCat‘𝐶) Colimit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)
53		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (oppCat‘(oppCat‘𝐶)) = (oppCat‘(oppCat‘𝐶))
54		df-ov 7411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ oppFunc ∅) = ( oppFunc ‘⟨∅, ∅⟩)
55		fvexd 6894	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘𝐶) ∈ V)
56	53, 25, 54, 55, 38	cmddu 50326	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (((oppCat‘𝐶) Colimit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) = (((oppCat‘(oppCat‘𝐶)) Limit (oppCat‘∅))‘(∅ oppFunc ∅)))
57	52, 56	eqtrid 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (∅((oppCat‘𝐶) Colimit ∅)∅) = (((oppCat‘(oppCat‘𝐶)) Limit (oppCat‘∅))‘(∅ oppFunc ∅)))
58	51, 57	eqtr4d 2807	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) = (∅((oppCat‘𝐶) Colimit ∅)∅))
59	58	dmeqd 5893	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) = dom (∅((oppCat‘𝐶) Colimit ∅)∅))
60	11, 14, 59	3eqtr4a 2830	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (TermO‘𝐶) = dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩))
61	60	eleq2d 2855	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝑥 ∈ (TermO‘𝐶) ↔ 𝑥 ∈ dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)))
62	1, 10, 61	pm5.21nii 381	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (TermO‘𝐶) ↔ 𝑥 ∈ dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩))
63	62	eqriv 2766	. 2 ⊢ (TermO‘𝐶) = dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)
64		df-ov 7411	. . 3 ⊢ (∅(𝐶 Limit ∅)∅) = ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)
65	64	dmeqi 5892	. 2 ⊢ dom (∅(𝐶 Limit ∅)∅) = dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)
66	63, 65	eqtr4i 2795	1 ⊢ (TermO‘𝐶) = dom (∅(𝐶 Limit ∅)∅)

Syntax hints:   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  Vcvv 3463  ∅c0 4294  ⟨cop 4597   class class class wbr 5110  dom cdm 5659  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  1^st c1st 7980  2^nd c2nd 7981  tpos ctpos 8217  Basecbs 17265  Hom chom 17317  compcco 17318  Catccat 17716  Hom_f chomf 17718  comp_fccomf 17719  oppCatcoppc 17763   Func cfunc 17907  InitOcinito 18034  TermOctermo 18035   oppFunc coppf 49780   Limit clmd 50301   Colimit ccmd 50302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-hom 17330  df-cco 17331  df-cat 17720  df-cid 17721  df-homf 17722  df-comf 17723  df-oppc 17764  df-sect 17800  df-inv 17801  df-iso 17802  df-cic 17849  df-func 17911  df-idfu 17912  df-cofu 17913  df-full 17959  df-fth 17960  df-nat 17999  df-fuc 18000  df-inito 18037  df-termo 18038  df-setc 18129  df-catc 18152  df-xpc 18224  df-1stf 18225  df-curf 18266  df-diag 18268  df-oppf 49781  df-up 49832  df-thinc 50076  df-termc 50131  df-lmd 50303  df-cmd 50304

This theorem is referenced by: (None)