Theorem termolmd 50448

Description: Terminal objects are the object part of limits of the empty diagram. (Contributed by Zhi Wang, 20-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
termolmd	⊢ (TermO‘𝐶) = dom (∅(𝐶 Limit ∅)∅)

Proof of Theorem termolmd

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		termorcl 18043	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (TermO‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
2		vex 3459	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	2	eldm 5890	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) ↔ ∃𝑦 𝑥((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)𝑦)
4		df-br 5110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩))
5		lmdrcl 50429	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) → ⟨∅, ∅⟩ ∈ (∅ Func 𝐶))
6	4, 5	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)𝑦 → ⟨∅, ∅⟩ ∈ (∅ Func 𝐶))
7	6	func1st2nd 49854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)𝑦 → (1st ‘⟨∅, ∅⟩)(∅ Func 𝐶)(2nd ‘⟨∅, ∅⟩))
8	7	funcrcl3 49858	. . . . . 6 ⊢ (𝑥((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)𝑦 → 𝐶 ∈ Cat)
9	8	exlimiv 1960	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 𝑥((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)𝑦 → 𝐶 ∈ Cat)
10	3, 9	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) → 𝐶 ∈ Cat)
11		initocmd 50447	. . . . . 6 ⊢ (InitO‘(oppCat‘𝐶)) = dom (∅((oppCat‘𝐶) Colimit ∅)∅)
12		oppctermo 50014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (TermO‘𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶)))
13	12	eqriv 2760	. . . . . . 7 ⊢ (TermO‘𝐶) = (InitO‘(oppCat‘𝐶))
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (TermO‘𝐶) = (InitO‘(oppCat‘𝐶)))
15		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
16	15	2oppchomf 17775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘(oppCat‘𝐶)))
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘(oppCat‘𝐶))))
18	15	2oppccomf 17776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘(oppCat‘𝐶)))
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘(oppCat‘𝐶))))
20		ral0 4459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑥(Hom ‘∅)𝑦) = (𝑥(Hom ‘(oppCat‘∅))𝑦)
21		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Hom ‘∅) = (Hom ‘∅)
22		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Hom ‘(oppCat‘∅)) = (Hom ‘(oppCat‘∅))
23		base0 17269	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ = (Base‘∅))
25		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (oppCat‘∅) = (oppCat‘∅)
26	25, 23	oppcbas 17769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ = (Base‘(oppCat‘∅))
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ = (Base‘(oppCat‘∅)))
28	21, 22, 24, 27	homfeq 17745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ((Homf ‘∅) = (Homf ‘(oppCat‘∅)) ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑥(Hom ‘∅)𝑦) = (𝑥(Hom ‘(oppCat‘∅))𝑦)))
29	20, 28	mpbiri 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Homf ‘∅) = (Homf ‘(oppCat‘∅)))
30		ral0 4459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ ∅ ∀𝑧 ∈ ∅ ∀𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘∅)𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦(Hom ‘∅)𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘∅)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(oppCat‘∅))𝑧)𝑓)
31		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (comp‘∅) = (comp‘∅)
32		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (comp‘(oppCat‘∅)) = (comp‘(oppCat‘∅))
33	31, 32, 21, 24, 27, 29	comfeq 17757	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ((compf‘∅) = (compf‘(oppCat‘∅)) ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ ∅ ∀𝑧 ∈ ∅ ∀𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘∅)𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦(Hom ‘∅)𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘∅)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(oppCat‘∅))𝑧)𝑓)))
34	30, 33	mpbiri 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (compf‘∅) = (compf‘(oppCat‘∅)))
35		elex 3476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝐶 ∈ V)
36		fvexd 6896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘(oppCat‘𝐶)) ∈ V)
37		0ex 5270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ V
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ ∈ V)
39		fvexd 6896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘∅) ∈ V)
40	17, 19, 29, 34, 35, 36, 38, 39	lmdpropd 50435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝐶 Limit ∅) = ((oppCat‘(oppCat‘𝐶)) Limit (oppCat‘∅)))
41		eqidd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ = ∅)
42		0cat 17740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∅ ∈ Cat
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ ∈ Cat)
44	43, 24, 43	0funcg2 49862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (∅(∅ Func ∅)∅ ↔ (∅ = ∅ ∧ ∅ = ∅)))
45	41, 41, 44	mpbir2and 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅(∅ Func ∅)∅)
46		oppfval 49914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅(∅ Func ∅)∅ → (∅ oppFunc ∅) = ⟨∅, tpos ∅⟩)
47	45, 46	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (∅ oppFunc ∅) = ⟨∅, tpos ∅⟩)
48		tpos0 8248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ tpos ∅ = ∅
49	48	opeq2i 4842	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨∅, tpos ∅⟩ = ⟨∅, ∅⟩
50	47, 49	eqtr2di 2815	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ⟨∅, ∅⟩ = (∅ oppFunc ∅))
51	40, 50	fveq12d 6888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) = (((oppCat‘(oppCat‘𝐶)) Limit (oppCat‘∅))‘(∅ oppFunc ∅)))
52		df-ov 7413	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅((oppCat‘𝐶) Colimit ∅)∅) = (((oppCat‘𝐶) Colimit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)
53		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (oppCat‘(oppCat‘𝐶)) = (oppCat‘(oppCat‘𝐶))
54		df-ov 7413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ oppFunc ∅) = ( oppFunc ‘⟨∅, ∅⟩)
55		fvexd 6896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘𝐶) ∈ V)
56	53, 25, 54, 55, 38	cmddu 50446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (((oppCat‘𝐶) Colimit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) = (((oppCat‘(oppCat‘𝐶)) Limit (oppCat‘∅))‘(∅ oppFunc ∅)))
57	52, 56	eqtrid 2810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (∅((oppCat‘𝐶) Colimit ∅)∅) = (((oppCat‘(oppCat‘𝐶)) Limit (oppCat‘∅))‘(∅ oppFunc ∅)))
58	51, 57	eqtr4d 2801	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) = (∅((oppCat‘𝐶) Colimit ∅)∅))
59	58	dmeqd 5895	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) = dom (∅((oppCat‘𝐶) Colimit ∅)∅))
60	11, 14, 59	3eqtr4a 2824	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (TermO‘𝐶) = dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩))
61	60	eleq2d 2849	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝑥 ∈ (TermO‘𝐶) ↔ 𝑥 ∈ dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)))
62	1, 10, 61	pm5.21nii 381	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (TermO‘𝐶) ↔ 𝑥 ∈ dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩))
63	62	eqriv 2760	. 2 ⊢ (TermO‘𝐶) = dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)
64		df-ov 7413	. . 3 ⊢ (∅(𝐶 Limit ∅)∅) = ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)
65	64	dmeqi 5894	. 2 ⊢ dom (∅(𝐶 Limit ∅)∅) = dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)
66	63, 65	eqtr4i 2789	1 ⊢ (TermO‘𝐶) = dom (∅(𝐶 Limit ∅)∅)

Syntax hints:   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  Vcvv 3455  ∅c0 4286  ⟨cop 4595   class class class wbr 5109  dom cdm 5661  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1^st c1st 7980  2^nd c2nd 7981  tpos ctpos 8217  Basecbs 17264  Hom chom 17316  compcco 17317  Catccat 17715  Hom_f chomf 17717  comp_fccomf 17718  oppCatcoppc 17762   Func cfunc 17906  InitOcinito 18033  TermOctermo 18034   oppFunc coppf 49900   Limit clmd 50421   Colimit ccmd 50422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-hom 17329  df-cco 17330  df-cat 17719  df-cid 17720  df-homf 17721  df-comf 17722  df-oppc 17763  df-sect 17799  df-inv 17800  df-iso 17801  df-cic 17848  df-func 17910  df-idfu 17911  df-cofu 17912  df-full 17958  df-fth 17959  df-nat 17998  df-fuc 17999  df-inito 18036  df-termo 18037  df-setc 18128  df-catc 18151  df-xpc 18223  df-1stf 18224  df-curf 18265  df-diag 18267  df-oppf 49901  df-up 49952  df-thinc 50196  df-termc 50251  df-lmd 50423  df-cmd 50424

This theorem is referenced by: (None)