Theorem termolmd 49675

Description: Terminal objects are the object part of limits of the empty diagram. (Contributed by Zhi Wang, 20-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
termolmd	⊢ (TermO‘𝐶) = dom (∅(𝐶 Limit ∅)∅)

Proof of Theorem termolmd

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		termorcl 17917	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (TermO‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
2		vex 3442	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	2	eldm 5847	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) ↔ ∃𝑦 𝑥((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)𝑦)
4		df-br 5096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩))
5		lmdrcl 49656	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) → ⟨∅, ∅⟩ ∈ (∅ Func 𝐶))
6	4, 5	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)𝑦 → ⟨∅, ∅⟩ ∈ (∅ Func 𝐶))
7	6	func1st2nd 49081	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)𝑦 → (1st ‘⟨∅, ∅⟩)(∅ Func 𝐶)(2nd ‘⟨∅, ∅⟩))
8	7	funcrcl3 49085	. . . . . 6 ⊢ (𝑥((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)𝑦 → 𝐶 ∈ Cat)
9	8	exlimiv 1930	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 𝑥((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)𝑦 → 𝐶 ∈ Cat)
10	3, 9	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) → 𝐶 ∈ Cat)
11		initocmd 49674	. . . . . 6 ⊢ (InitO‘(oppCat‘𝐶)) = dom (∅((oppCat‘𝐶) Colimit ∅)∅)
12		oppctermo 49241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (TermO‘𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶)))
13	12	eqriv 2726	. . . . . . 7 ⊢ (TermO‘𝐶) = (InitO‘(oppCat‘𝐶))
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (TermO‘𝐶) = (InitO‘(oppCat‘𝐶)))
15		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
16	15	2oppchomf 17649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘(oppCat‘𝐶)))
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘(oppCat‘𝐶))))
18	15	2oppccomf 17650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘(oppCat‘𝐶)))
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘(oppCat‘𝐶))))
20		ral0 4466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑥(Hom ‘∅)𝑦) = (𝑥(Hom ‘(oppCat‘∅))𝑦)
21		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Hom ‘∅) = (Hom ‘∅)
22		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Hom ‘(oppCat‘∅)) = (Hom ‘(oppCat‘∅))
23		base0 17144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ = (Base‘∅))
25		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (oppCat‘∅) = (oppCat‘∅)
26	25, 23	oppcbas 17643	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ = (Base‘(oppCat‘∅))
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ = (Base‘(oppCat‘∅)))
28	21, 22, 24, 27	homfeq 17619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ((Homf ‘∅) = (Homf ‘(oppCat‘∅)) ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑥(Hom ‘∅)𝑦) = (𝑥(Hom ‘(oppCat‘∅))𝑦)))
29	20, 28	mpbiri 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Homf ‘∅) = (Homf ‘(oppCat‘∅)))
30		ral0 4466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ ∅ ∀𝑧 ∈ ∅ ∀𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘∅)𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦(Hom ‘∅)𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘∅)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(oppCat‘∅))𝑧)𝑓)
31		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (comp‘∅) = (comp‘∅)
32		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (comp‘(oppCat‘∅)) = (comp‘(oppCat‘∅))
33	31, 32, 21, 24, 27, 29	comfeq 17631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ((compf‘∅) = (compf‘(oppCat‘∅)) ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ ∅ ∀𝑧 ∈ ∅ ∀𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘∅)𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦(Hom ‘∅)𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘∅)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(oppCat‘∅))𝑧)𝑓)))
34	30, 33	mpbiri 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (compf‘∅) = (compf‘(oppCat‘∅)))
35		elex 3459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝐶 ∈ V)
36		fvexd 6841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘(oppCat‘𝐶)) ∈ V)
37		0ex 5249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ V
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ ∈ V)
39		fvexd 6841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘∅) ∈ V)
40	17, 19, 29, 34, 35, 36, 38, 39	lmdpropd 49662	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝐶 Limit ∅) = ((oppCat‘(oppCat‘𝐶)) Limit (oppCat‘∅)))
41		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ = ∅)
42		0cat 17614	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∅ ∈ Cat
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ ∈ Cat)
44	43, 24, 43	0funcg2 49089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (∅(∅ Func ∅)∅ ↔ (∅ = ∅ ∧ ∅ = ∅)))
45	41, 41, 44	mpbir2and 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅(∅ Func ∅)∅)
46		oppfval 49141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅(∅ Func ∅)∅ → (∅ oppFunc ∅) = ⟨∅, tpos ∅⟩)
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (∅ oppFunc ∅) = ⟨∅, tpos ∅⟩)
48		tpos0 8196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ tpos ∅ = ∅
49	48	opeq2i 4831	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨∅, tpos ∅⟩ = ⟨∅, ∅⟩
50	47, 49	eqtr2di 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ⟨∅, ∅⟩ = (∅ oppFunc ∅))
51	40, 50	fveq12d 6833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) = (((oppCat‘(oppCat‘𝐶)) Limit (oppCat‘∅))‘(∅ oppFunc ∅)))
52		df-ov 7356	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅((oppCat‘𝐶) Colimit ∅)∅) = (((oppCat‘𝐶) Colimit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)
53		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (oppCat‘(oppCat‘𝐶)) = (oppCat‘(oppCat‘𝐶))
54		df-ov 7356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ oppFunc ∅) = ( oppFunc ‘⟨∅, ∅⟩)
55		fvexd 6841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘𝐶) ∈ V)
56	53, 25, 54, 55, 38	cmddu 49673	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (((oppCat‘𝐶) Colimit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) = (((oppCat‘(oppCat‘𝐶)) Limit (oppCat‘∅))‘(∅ oppFunc ∅)))
57	52, 56	eqtrid 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (∅((oppCat‘𝐶) Colimit ∅)∅) = (((oppCat‘(oppCat‘𝐶)) Limit (oppCat‘∅))‘(∅ oppFunc ∅)))
58	51, 57	eqtr4d 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) = (∅((oppCat‘𝐶) Colimit ∅)∅))
59	58	dmeqd 5852	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) = dom (∅((oppCat‘𝐶) Colimit ∅)∅))
60	11, 14, 59	3eqtr4a 2790	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (TermO‘𝐶) = dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩))
61	60	eleq2d 2814	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝑥 ∈ (TermO‘𝐶) ↔ 𝑥 ∈ dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)))
62	1, 10, 61	pm5.21nii 378	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (TermO‘𝐶) ↔ 𝑥 ∈ dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩))
63	62	eqriv 2726	. 2 ⊢ (TermO‘𝐶) = dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)
64		df-ov 7356	. . 3 ⊢ (∅(𝐶 Limit ∅)∅) = ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)
65	64	dmeqi 5851	. 2 ⊢ dom (∅(𝐶 Limit ∅)∅) = dom ((𝐶 Limit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)
66	63, 65	eqtr4i 2755	1 ⊢ (TermO‘𝐶) = dom (∅(𝐶 Limit ∅)∅)

Syntax hints:   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3438  ∅c0 4286  ⟨cop 4585   class class class wbr 5095  dom cdm 5623  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  1^st c1st 7929  2^nd c2nd 7930  tpos ctpos 8165  Basecbs 17139  Hom chom 17191  compcco 17192  Catccat 17589  Hom_f chomf 17591  comp_fccomf 17592  oppCatcoppc 17636   Func cfunc 17780  InitOcinito 17907  TermOctermo 17908   oppFunc coppf 49127   Limit clmd 49648   Colimit ccmd 49649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-fz 13430  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-hom 17204  df-cco 17205  df-cat 17593  df-cid 17594  df-homf 17595  df-comf 17596  df-oppc 17637  df-sect 17673  df-inv 17674  df-iso 17675  df-cic 17722  df-func 17784  df-idfu 17785  df-cofu 17786  df-full 17832  df-fth 17833  df-nat 17872  df-fuc 17873  df-inito 17910  df-termo 17911  df-setc 18002  df-catc 18025  df-xpc 18097  df-1stf 18098  df-curf 18139  df-diag 18141  df-oppf 49128  df-up 49179  df-thinc 49423  df-termc 49478  df-lmd 49650  df-cmd 49651

This theorem is referenced by: (None)