MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oprabexd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oprabexd 7980
Description: Existence of an operator abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by AV, 9-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
oprabexd.1 (𝜑𝐴𝑉)
oprabexd.2 (𝜑𝐵𝑊)
oprabexd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → ∃*𝑧𝜓)
oprabexd.4 (𝜑𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)})
Assertion
Ref Expression
oprabexd (𝜑𝐹 ∈ V)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem oprabexd
StepHypRef Expression
1 oprabexd.4 . 2 (𝜑𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)})
2 oprabexd.3 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → ∃*𝑧𝜓)
32ex 411 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → ∃*𝑧𝜓))
4 moanimv 2607 . . . . . 6 (∃*𝑧((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓) ↔ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → ∃*𝑧𝜓))
53, 4sylibr 233 . . . . 5 (𝜑 → ∃*𝑧((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓))
65alrimivv 1923 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑦∃*𝑧((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓))
7 funoprabg 7541 . . . 4 (∀𝑥𝑦∃*𝑧((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓) → Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)})
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)})
9 dmoprabss 7523 . . . 4 dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ⊆ (𝐴 × 𝐵)
10 oprabexd.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
11 oprabexd.2 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑊)
1210, 11xpexd 7754 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
13 ssexg 5324 . . . 4 ((dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ (𝐴 × 𝐵) ∈ V) → dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ∈ V)
149, 12, 13sylancr 585 . . 3 (𝜑 → dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ∈ V)
15 funex 7231 . . 3 ((Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ∧ dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ∈ V) → {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ∈ V)
168, 14, 15syl2anc 582 . 2 (𝜑 → {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ∈ V)
171, 16eqeltrd 2825 1 (𝜑𝐹 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wal 1531   = wceq 1533  wcel 2098  ∃*wmo 2526  Vcvv 3461  wss 3944   × cxp 5676  dom cdm 5678  Fun wfun 6543  {coprab 7420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-oprab 7423
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator