MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oprabexd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oprabexd 7961
Description: Existence of an operator abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by AV, 9-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
oprabexd.1 (𝜑𝐴𝑉)
oprabexd.2 (𝜑𝐵𝑊)
oprabexd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → ∃*𝑧𝜓)
oprabexd.4 (𝜑𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)})
Assertion
Ref Expression
oprabexd (𝜑𝐹 ∈ V)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem oprabexd
StepHypRef Expression
1 oprabexd.4 . 2 (𝜑𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)})
2 oprabexd.3 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → ∃*𝑧𝜓)
32ex 412 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → ∃*𝑧𝜓))
4 moanimv 2609 . . . . . 6 (∃*𝑧((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓) ↔ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → ∃*𝑧𝜓))
53, 4sylibr 233 . . . . 5 (𝜑 → ∃*𝑧((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓))
65alrimivv 1923 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑦∃*𝑧((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓))
7 funoprabg 7525 . . . 4 (∀𝑥𝑦∃*𝑧((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓) → Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)})
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)})
9 dmoprabss 7507 . . . 4 dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ⊆ (𝐴 × 𝐵)
10 oprabexd.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
11 oprabexd.2 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑊)
1210, 11xpexd 7735 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
13 ssexg 5316 . . . 4 ((dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ (𝐴 × 𝐵) ∈ V) → dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ∈ V)
149, 12, 13sylancr 586 . . 3 (𝜑 → dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ∈ V)
15 funex 7216 . . 3 ((Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ∧ dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ∈ V) → {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ∈ V)
168, 14, 15syl2anc 583 . 2 (𝜑 → {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ∈ V)
171, 16eqeltrd 2827 1 (𝜑𝐹 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wal 1531   = wceq 1533  wcel 2098  ∃*wmo 2526  Vcvv 3468  wss 3943   × cxp 5667  dom cdm 5669  Fun wfun 6531  {coprab 7406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-oprab 7409
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator