MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oprabexd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oprabexd 7303
Description: Existence of an operator abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
oprabexd.1 (𝜑𝐴 ∈ V)
oprabexd.2 (𝜑𝐵 ∈ V)
oprabexd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → ∃*𝑧𝜓)
oprabexd.4 (𝜑𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)})
Assertion
Ref Expression
oprabexd (𝜑𝐹 ∈ V)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem oprabexd
StepHypRef Expression
1 oprabexd.4 . 2 (𝜑𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)})
2 oprabexd.3 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → ∃*𝑧𝜓)
32ex 397 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → ∃*𝑧𝜓))
4 moanimv 2680 . . . . . 6 (∃*𝑧((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓) ↔ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → ∃*𝑧𝜓))
53, 4sylibr 224 . . . . 5 (𝜑 → ∃*𝑧((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓))
65alrimivv 2008 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑦∃*𝑧((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓))
7 funoprabg 6907 . . . 4 (∀𝑥𝑦∃*𝑧((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓) → Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)})
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)})
9 dmoprabss 6890 . . . 4 dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ⊆ (𝐴 × 𝐵)
10 oprabexd.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
11 oprabexd.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
12 xpexg 7108 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
1310, 11, 12syl2anc 567 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
14 ssexg 4939 . . . 4 ((dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ (𝐴 × 𝐵) ∈ V) → dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ∈ V)
159, 13, 14sylancr 569 . . 3 (𝜑 → dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ∈ V)
16 funex 6627 . . 3 ((Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ∧ dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ∈ V) → {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ∈ V)
178, 15, 16syl2anc 567 . 2 (𝜑 → {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ∈ V)
181, 17eqeltrd 2850 1 (𝜑𝐹 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wal 1629   = wceq 1631  wcel 2145  ∃*wmo 2619  Vcvv 3351  wss 3724   × cxp 5248  dom cdm 5250  Fun wfun 6026  {coprab 6795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-oprab 6798
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator