MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oprabexd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oprabexd 7999
Description: Existence of an operator abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by AV, 9-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
oprabexd.1 (𝜑𝐴𝑉)
oprabexd.2 (𝜑𝐵𝑊)
oprabexd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → ∃*𝑧𝜓)
oprabexd.4 (𝜑𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)})
Assertion
Ref Expression
oprabexd (𝜑𝐹 ∈ V)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem oprabexd
StepHypRef Expression
1 oprabexd.4 . 2 (𝜑𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)})
2 oprabexd.3 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → ∃*𝑧𝜓)
32ex 412 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → ∃*𝑧𝜓))
4 moanimv 2617 . . . . . 6 (∃*𝑧((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓) ↔ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → ∃*𝑧𝜓))
53, 4sylibr 234 . . . . 5 (𝜑 → ∃*𝑧((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓))
65alrimivv 1926 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑦∃*𝑧((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓))
7 funoprabg 7554 . . . 4 (∀𝑥𝑦∃*𝑧((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓) → Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)})
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)})
9 dmoprabss 7536 . . . 4 dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ⊆ (𝐴 × 𝐵)
10 oprabexd.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
11 oprabexd.2 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑊)
1210, 11xpexd 7770 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
13 ssexg 5329 . . . 4 ((dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ (𝐴 × 𝐵) ∈ V) → dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ∈ V)
149, 12, 13sylancr 587 . . 3 (𝜑 → dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ∈ V)
15 funex 7239 . . 3 ((Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ∧ dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ∈ V) → {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ∈ V)
168, 14, 15syl2anc 584 . 2 (𝜑 → {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜓)} ∈ V)
171, 16eqeltrd 2839 1 (𝜑𝐹 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wal 1535   = wceq 1537  wcel 2106  ∃*wmo 2536  Vcvv 3478  wss 3963   × cxp 5687  dom cdm 5689  Fun wfun 6557  {coprab 7432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-oprab 7435
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator