MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oprabex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oprabex 7910
Description: Existence of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 19-Oct-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
oprabex.1 𝐴 ∈ V
oprabex.2 𝐵 ∈ V
oprabex.3 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → ∃*𝑧𝜑)
oprabex.4 𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)}
Assertion
Ref Expression
oprabex 𝐹 ∈ V
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem oprabex
StepHypRef Expression
1 oprabex.4 . 2 𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)}
2 oprabex.3 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → ∃*𝑧𝜑)
3 moanimv 2616 . . . . 5 (∃*𝑧((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → ∃*𝑧𝜑))
42, 3mpbir 230 . . . 4 ∃*𝑧((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)
54funoprab 7479 . . 3 Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)}
6 oprabex.1 . . . . 5 𝐴 ∈ V
7 oprabex.2 . . . . 5 𝐵 ∈ V
86, 7xpex 7688 . . . 4 (𝐴 × 𝐵) ∈ V
9 dmoprabss 7460 . . . 4 dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)} ⊆ (𝐴 × 𝐵)
108, 9ssexi 5280 . . 3 dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)} ∈ V
11 funex 7170 . . 3 ((Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)} ∧ dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)} ∈ V) → {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)} ∈ V)
125, 10, 11mp2an 691 . 2 {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)} ∈ V
131, 12eqeltri 2830 1 𝐹 ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  ∃*wmo 2533  Vcvv 3444   × cxp 5632  dom cdm 5634  Fun wfun 6491  {coprab 7359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-oprab 7362
This theorem is referenced by:  oprabex3  7911  joinfval  18267  meetfval  18281
  Copyright terms: Public domain W3C validator