MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oprabex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oprabex 7433
Description: Existence of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 19-Oct-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
oprabex.1 𝐴 ∈ V
oprabex.2 𝐵 ∈ V
oprabex.3 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → ∃*𝑧𝜑)
oprabex.4 𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)}
Assertion
Ref Expression
oprabex 𝐹 ∈ V
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem oprabex
StepHypRef Expression
1 oprabex.4 . 2 𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)}
2 oprabex.3 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → ∃*𝑧𝜑)
3 moanimv 2654 . . . . 5 (∃*𝑧((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → ∃*𝑧𝜑))
42, 3mpbir 223 . . . 4 ∃*𝑧((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)
54funoprab 7037 . . 3 Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)}
6 oprabex.1 . . . . 5 𝐴 ∈ V
7 oprabex.2 . . . . 5 𝐵 ∈ V
86, 7xpex 7240 . . . 4 (𝐴 × 𝐵) ∈ V
9 dmoprabss 7019 . . . 4 dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)} ⊆ (𝐴 × 𝐵)
108, 9ssexi 5040 . . 3 dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)} ∈ V
11 funex 6754 . . 3 ((Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)} ∧ dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)} ∈ V) → {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)} ∈ V)
125, 10, 11mp2an 682 . 2 {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)} ∈ V
131, 12eqeltri 2855 1 𝐹 ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  ∃*wmo 2549  Vcvv 3398   × cxp 5353  dom cdm 5355  Fun wfun 6129  {coprab 6923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-oprab 6926
This theorem is referenced by:  oprabex3  7434  joinfval  17387  meetfval  17401
  Copyright terms: Public domain W3C validator