MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtypelem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtypelem6 8667
Description: Lemma for ordtype 8676. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtypelem.1 𝐹 = recs(𝐺)
ordtypelem.2 𝐶 = {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ ran 𝑗𝑅𝑤}
ordtypelem.3 𝐺 = ( ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑅𝑣))
ordtypelem.5 𝑇 = {𝑥 ∈ On ∣ ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡}
ordtypelem.6 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
ordtypelem.7 (𝜑𝑅 We 𝐴)
ordtypelem.8 (𝜑𝑅 Se 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ordtypelem6 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → (𝑁𝑀 → (𝑂𝑁)𝑅(𝑂𝑀)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝐶   ,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧,𝑀   𝑗,𝑁,𝑢,𝑤   𝑅,,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧   𝐴,,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧   𝑡,𝑂,𝑢,𝑣,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   ,𝐹,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,,𝑗)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑤,𝑡,,𝑗)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,,𝑗)   𝐺(𝑥,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,,𝑗)   𝑁(𝑥,𝑧,𝑣,𝑡,)   𝑂(𝑧,𝑤,,𝑗)

Proof of Theorem ordtypelem6
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6408 . . . . 5 (𝑎 = 𝑁 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑁))
21breq1d 4854 . . . 4 (𝑎 = 𝑁 → ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑀) ↔ (𝐹𝑁)𝑅(𝐹𝑀)))
3 ssrab2 3884 . . . . . . . 8 {𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ∣ ∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣} ⊆ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤}
4 simpr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → 𝑀 ∈ dom 𝑂)
5 ordtypelem.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = recs(𝐺)
6 ordtypelem.2 . . . . . . . . . . . . 13 𝐶 = {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ ran 𝑗𝑅𝑤}
7 ordtypelem.3 . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = ( ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑅𝑣))
8 ordtypelem.5 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = {𝑥 ∈ On ∣ ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡}
9 ordtypelem.6 . . . . . . . . . . . . 13 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
10 ordtypelem.7 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 We 𝐴)
11 ordtypelem.8 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 Se 𝐴)
125, 6, 7, 8, 9, 10, 11ordtypelem4 8665 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑂:(𝑇 ∩ dom 𝐹)⟶𝐴)
1312fdmd 6265 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝑂 = (𝑇 ∩ dom 𝐹))
1413adantr 468 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → dom 𝑂 = (𝑇 ∩ dom 𝐹))
154, 14eleqtrd 2887 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → 𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹))
165, 6, 7, 8, 9, 10, 11ordtypelem3 8664 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → (𝐹𝑀) ∈ {𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ∣ ∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣})
1715, 16syldan 581 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → (𝐹𝑀) ∈ {𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ∣ ∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣})
183, 17sseldi 3796 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → (𝐹𝑀) ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤})
19 breq2 4848 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = (𝐹𝑀) → (𝑗𝑅𝑤𝑗𝑅(𝐹𝑀)))
2019ralbidv 3174 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝐹𝑀) → (∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤 ↔ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅(𝐹𝑀)))
2120elrab 3559 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑀) ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ↔ ((𝐹𝑀) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅(𝐹𝑀)))
2221simprbi 486 . . . . . . 7 ((𝐹𝑀) ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} → ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅(𝐹𝑀))
2318, 22syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅(𝐹𝑀))
245tfr1a 7726 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 ∧ Lim dom 𝐹)
2524simpli 472 . . . . . . . 8 Fun 𝐹
26 funfn 6131 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹𝐹 Fn dom 𝐹)
2725, 26mpbi 221 . . . . . . 7 𝐹 Fn dom 𝐹
2824simpri 475 . . . . . . . . 9 Lim dom 𝐹
29 limord 5997 . . . . . . . . 9 (Lim dom 𝐹 → Ord dom 𝐹)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . 8 Ord dom 𝐹
31 inss2 4030 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∩ dom 𝐹) ⊆ dom 𝐹
3213, 31syl6eqss 3852 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝑂 ⊆ dom 𝐹)
3332sselda 3798 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → 𝑀 ∈ dom 𝐹)
34 ordelss 5952 . . . . . . . 8 ((Ord dom 𝐹𝑀 ∈ dom 𝐹) → 𝑀 ⊆ dom 𝐹)
3530, 33, 34sylancr 577 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → 𝑀 ⊆ dom 𝐹)
36 breq1 4847 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝐹𝑎) → (𝑗𝑅(𝐹𝑀) ↔ (𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑀)))
3736ralima 6723 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn dom 𝐹𝑀 ⊆ dom 𝐹) → (∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅(𝐹𝑀) ↔ ∀𝑎𝑀 (𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑀)))
3827, 35, 37sylancr 577 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → (∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅(𝐹𝑀) ↔ ∀𝑎𝑀 (𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑀)))
3923, 38mpbid 223 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → ∀𝑎𝑀 (𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑀))
4039adantrr 699 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → ∀𝑎𝑀 (𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑀))
41 simprr 780 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → 𝑁𝑀)
422, 40, 41rspcdva 3508 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → (𝐹𝑁)𝑅(𝐹𝑀))
435, 6, 7, 8, 9, 10, 11ordtypelem1 8662 . . . . . 6 (𝜑𝑂 = (𝐹𝑇))
4443adantr 468 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → 𝑂 = (𝐹𝑇))
4544fveq1d 6410 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → (𝑂𝑁) = ((𝐹𝑇)‘𝑁))
465, 6, 7, 8, 9, 10, 11ordtypelem2 8663 . . . . . . . 8 (𝜑 → Ord 𝑇)
4746adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → Ord 𝑇)
48 inss1 4029 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝑇
4913, 48syl6eqss 3852 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝑂𝑇)
5049sselda 3798 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → 𝑀𝑇)
5150adantrr 699 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → 𝑀𝑇)
52 ordelss 5952 . . . . . . 7 ((Ord 𝑇𝑀𝑇) → 𝑀𝑇)
5347, 51, 52syl2anc 575 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → 𝑀𝑇)
5453, 41sseldd 3799 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → 𝑁𝑇)
55 fvres 6427 . . . . 5 (𝑁𝑇 → ((𝐹𝑇)‘𝑁) = (𝐹𝑁))
5654, 55syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → ((𝐹𝑇)‘𝑁) = (𝐹𝑁))
5745, 56eqtrd 2840 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → (𝑂𝑁) = (𝐹𝑁))
5844fveq1d 6410 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → (𝑂𝑀) = ((𝐹𝑇)‘𝑀))
59 fvres 6427 . . . . 5 (𝑀𝑇 → ((𝐹𝑇)‘𝑀) = (𝐹𝑀))
6051, 59syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → ((𝐹𝑇)‘𝑀) = (𝐹𝑀))
6158, 60eqtrd 2840 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → (𝑂𝑀) = (𝐹𝑀))
6242, 57, 613brtr4d 4876 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → (𝑂𝑁)𝑅(𝑂𝑀))
6362expr 446 1 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → (𝑁𝑀 → (𝑂𝑁)𝑅(𝑂𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2156  wral 3096  wrex 3097  {crab 3100  Vcvv 3391  cin 3768  wss 3769   class class class wbr 4844  cmpt 4923   Se wse 5268   We wwe 5269  dom cdm 5311  ran crn 5312  cres 5313  cima 5314  Ord word 5935  Oncon0 5936  Lim wlim 5937  Fun wfun 6095   Fn wfn 6096  cfv 6101  crio 6834  recscrecs 7703  OrdIsocoi 8653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-oi 8654
This theorem is referenced by:  ordtypelem8  8669
  Copyright terms: Public domain W3C validator