Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtypelem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtypelem6 8704
 Description: Lemma for ordtype 8713. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtypelem.1 𝐹 = recs(𝐺)
ordtypelem.2 𝐶 = {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ ran 𝑗𝑅𝑤}
ordtypelem.3 𝐺 = ( ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑅𝑣))
ordtypelem.5 𝑇 = {𝑥 ∈ On ∣ ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡}
ordtypelem.6 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
ordtypelem.7 (𝜑𝑅 We 𝐴)
ordtypelem.8 (𝜑𝑅 Se 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ordtypelem6 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → (𝑁𝑀 → (𝑂𝑁)𝑅(𝑂𝑀)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝐶   ,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧,𝑀   𝑗,𝑁,𝑢,𝑤   𝑅,,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧   𝐴,,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧   𝑡,𝑂,𝑢,𝑣,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   ,𝐹,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,,𝑗)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑤,𝑡,,𝑗)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,,𝑗)   𝐺(𝑥,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,,𝑗)   𝑁(𝑥,𝑧,𝑣,𝑡,)   𝑂(𝑧,𝑤,,𝑗)

Proof of Theorem ordtypelem6
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6437 . . . . 5 (𝑎 = 𝑁 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑁))
21breq1d 4885 . . . 4 (𝑎 = 𝑁 → ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑀) ↔ (𝐹𝑁)𝑅(𝐹𝑀)))
3 ssrab2 3914 . . . . . . . 8 {𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ∣ ∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣} ⊆ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤}
4 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → 𝑀 ∈ dom 𝑂)
5 ordtypelem.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = recs(𝐺)
6 ordtypelem.2 . . . . . . . . . . . . 13 𝐶 = {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ ran 𝑗𝑅𝑤}
7 ordtypelem.3 . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = ( ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑅𝑣))
8 ordtypelem.5 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = {𝑥 ∈ On ∣ ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡}
9 ordtypelem.6 . . . . . . . . . . . . 13 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
10 ordtypelem.7 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 We 𝐴)
11 ordtypelem.8 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 Se 𝐴)
125, 6, 7, 8, 9, 10, 11ordtypelem4 8702 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑂:(𝑇 ∩ dom 𝐹)⟶𝐴)
1312fdmd 6291 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝑂 = (𝑇 ∩ dom 𝐹))
1413adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → dom 𝑂 = (𝑇 ∩ dom 𝐹))
154, 14eleqtrd 2908 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → 𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹))
165, 6, 7, 8, 9, 10, 11ordtypelem3 8701 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → (𝐹𝑀) ∈ {𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ∣ ∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣})
1715, 16syldan 585 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → (𝐹𝑀) ∈ {𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ∣ ∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣})
183, 17sseldi 3825 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → (𝐹𝑀) ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤})
19 breq2 4879 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = (𝐹𝑀) → (𝑗𝑅𝑤𝑗𝑅(𝐹𝑀)))
2019ralbidv 3195 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝐹𝑀) → (∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤 ↔ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅(𝐹𝑀)))
2120elrab 3585 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑀) ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ↔ ((𝐹𝑀) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅(𝐹𝑀)))
2221simprbi 492 . . . . . . 7 ((𝐹𝑀) ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} → ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅(𝐹𝑀))
2318, 22syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅(𝐹𝑀))
245tfr1a 7761 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 ∧ Lim dom 𝐹)
2524simpli 478 . . . . . . . 8 Fun 𝐹
26 funfn 6157 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹𝐹 Fn dom 𝐹)
2725, 26mpbi 222 . . . . . . 7 𝐹 Fn dom 𝐹
2824simpri 481 . . . . . . . . 9 Lim dom 𝐹
29 limord 6026 . . . . . . . . 9 (Lim dom 𝐹 → Ord dom 𝐹)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . 8 Ord dom 𝐹
31 inss2 4060 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∩ dom 𝐹) ⊆ dom 𝐹
3213, 31syl6eqss 3880 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝑂 ⊆ dom 𝐹)
3332sselda 3827 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → 𝑀 ∈ dom 𝐹)
34 ordelss 5983 . . . . . . . 8 ((Ord dom 𝐹𝑀 ∈ dom 𝐹) → 𝑀 ⊆ dom 𝐹)
3530, 33, 34sylancr 581 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → 𝑀 ⊆ dom 𝐹)
36 breq1 4878 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝐹𝑎) → (𝑗𝑅(𝐹𝑀) ↔ (𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑀)))
3736ralima 6759 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn dom 𝐹𝑀 ⊆ dom 𝐹) → (∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅(𝐹𝑀) ↔ ∀𝑎𝑀 (𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑀)))
3827, 35, 37sylancr 581 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → (∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅(𝐹𝑀) ↔ ∀𝑎𝑀 (𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑀)))
3923, 38mpbid 224 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → ∀𝑎𝑀 (𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑀))
4039adantrr 708 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → ∀𝑎𝑀 (𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑀))
41 simprr 789 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → 𝑁𝑀)
422, 40, 41rspcdva 3532 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → (𝐹𝑁)𝑅(𝐹𝑀))
435, 6, 7, 8, 9, 10, 11ordtypelem1 8699 . . . . . 6 (𝜑𝑂 = (𝐹𝑇))
4443adantr 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → 𝑂 = (𝐹𝑇))
4544fveq1d 6439 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → (𝑂𝑁) = ((𝐹𝑇)‘𝑁))
465, 6, 7, 8, 9, 10, 11ordtypelem2 8700 . . . . . . . 8 (𝜑 → Ord 𝑇)
4746adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → Ord 𝑇)
48 inss1 4059 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝑇
4913, 48syl6eqss 3880 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝑂𝑇)
5049sselda 3827 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → 𝑀𝑇)
5150adantrr 708 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → 𝑀𝑇)
52 ordelss 5983 . . . . . . 7 ((Ord 𝑇𝑀𝑇) → 𝑀𝑇)
5347, 51, 52syl2anc 579 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → 𝑀𝑇)
5453, 41sseldd 3828 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → 𝑁𝑇)
55 fvres 6456 . . . . 5 (𝑁𝑇 → ((𝐹𝑇)‘𝑁) = (𝐹𝑁))
5654, 55syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → ((𝐹𝑇)‘𝑁) = (𝐹𝑁))
5745, 56eqtrd 2861 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → (𝑂𝑁) = (𝐹𝑁))
5844fveq1d 6439 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → (𝑂𝑀) = ((𝐹𝑇)‘𝑀))
59 fvres 6456 . . . . 5 (𝑀𝑇 → ((𝐹𝑇)‘𝑀) = (𝐹𝑀))
6051, 59syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → ((𝐹𝑇)‘𝑀) = (𝐹𝑀))
6158, 60eqtrd 2861 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → (𝑂𝑀) = (𝐹𝑀))
6242, 57, 613brtr4d 4907 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → (𝑂𝑁)𝑅(𝑂𝑀))
6362expr 450 1 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → (𝑁𝑀 → (𝑂𝑁)𝑅(𝑂𝑀)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∀wral 3117  ∃wrex 3118  {crab 3121  Vcvv 3414   ∩ cin 3797   ⊆ wss 3798   class class class wbr 4875   ↦ cmpt 4954   Se wse 5303   We wwe 5304  dom cdm 5346  ran crn 5347   ↾ cres 5348   “ cima 5349  Ord word 5966  Oncon0 5967  Lim wlim 5968  Fun wfun 6121   Fn wfn 6122  ‘cfv 6127  ℩crio 6870  recscrecs 7738  OrdIsocoi 8690 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-oi 8691 This theorem is referenced by:  ordtypelem8  8706
 Copyright terms: Public domain W3C validator