MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtypelem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtypelem6 9564
Description: Lemma for ordtype 9573. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtypelem.1 𝐹 = recs(𝐺)
ordtypelem.2 𝐶 = {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ ran 𝑗𝑅𝑤}
ordtypelem.3 𝐺 = ( ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑅𝑣))
ordtypelem.5 𝑇 = {𝑥 ∈ On ∣ ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡}
ordtypelem.6 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
ordtypelem.7 (𝜑𝑅 We 𝐴)
ordtypelem.8 (𝜑𝑅 Se 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ordtypelem6 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → (𝑁𝑀 → (𝑂𝑁)𝑅(𝑂𝑀)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝐶   ,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧,𝑀   𝑗,𝑁,𝑢,𝑤   𝑅,,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧   𝐴,,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧   𝑡,𝑂,𝑢,𝑣,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   ,𝐹,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,,𝑗)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑤,𝑡,,𝑗)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,,𝑗)   𝐺(𝑥,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,,𝑗)   𝑁(𝑥,𝑧,𝑣,𝑡,)   𝑂(𝑧,𝑤,,𝑗)

Proof of Theorem ordtypelem6
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6905 . . . . 5 (𝑎 = 𝑁 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑁))
21breq1d 5152 . . . 4 (𝑎 = 𝑁 → ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑀) ↔ (𝐹𝑁)𝑅(𝐹𝑀)))
3 ssrab2 4079 . . . . . . . 8 {𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ∣ ∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣} ⊆ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤}
4 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → 𝑀 ∈ dom 𝑂)
5 ordtypelem.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = recs(𝐺)
6 ordtypelem.2 . . . . . . . . . . . . 13 𝐶 = {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ ran 𝑗𝑅𝑤}
7 ordtypelem.3 . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = ( ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑅𝑣))
8 ordtypelem.5 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = {𝑥 ∈ On ∣ ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡}
9 ordtypelem.6 . . . . . . . . . . . . 13 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
10 ordtypelem.7 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 We 𝐴)
11 ordtypelem.8 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 Se 𝐴)
125, 6, 7, 8, 9, 10, 11ordtypelem4 9562 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑂:(𝑇 ∩ dom 𝐹)⟶𝐴)
1312fdmd 6745 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝑂 = (𝑇 ∩ dom 𝐹))
1413adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → dom 𝑂 = (𝑇 ∩ dom 𝐹))
154, 14eleqtrd 2842 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → 𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹))
165, 6, 7, 8, 9, 10, 11ordtypelem3 9561 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → (𝐹𝑀) ∈ {𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ∣ ∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣})
1715, 16syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → (𝐹𝑀) ∈ {𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ∣ ∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣})
183, 17sselid 3980 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → (𝐹𝑀) ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤})
19 breq2 5146 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = (𝐹𝑀) → (𝑗𝑅𝑤𝑗𝑅(𝐹𝑀)))
2019ralbidv 3177 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝐹𝑀) → (∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤 ↔ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅(𝐹𝑀)))
2120elrab 3691 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑀) ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ↔ ((𝐹𝑀) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅(𝐹𝑀)))
2221simprbi 496 . . . . . . 7 ((𝐹𝑀) ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} → ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅(𝐹𝑀))
2318, 22syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅(𝐹𝑀))
245tfr1a 8435 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 ∧ Lim dom 𝐹)
2524simpli 483 . . . . . . . 8 Fun 𝐹
26 funfn 6595 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹𝐹 Fn dom 𝐹)
2725, 26mpbi 230 . . . . . . 7 𝐹 Fn dom 𝐹
2824simpri 485 . . . . . . . . 9 Lim dom 𝐹
29 limord 6443 . . . . . . . . 9 (Lim dom 𝐹 → Ord dom 𝐹)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . 8 Ord dom 𝐹
31 inss2 4237 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∩ dom 𝐹) ⊆ dom 𝐹
3213, 31eqsstrdi 4027 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝑂 ⊆ dom 𝐹)
3332sselda 3982 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → 𝑀 ∈ dom 𝐹)
34 ordelss 6399 . . . . . . . 8 ((Ord dom 𝐹𝑀 ∈ dom 𝐹) → 𝑀 ⊆ dom 𝐹)
3530, 33, 34sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → 𝑀 ⊆ dom 𝐹)
36 breq1 5145 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝐹𝑎) → (𝑗𝑅(𝐹𝑀) ↔ (𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑀)))
3736ralima 7258 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn dom 𝐹𝑀 ⊆ dom 𝐹) → (∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅(𝐹𝑀) ↔ ∀𝑎𝑀 (𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑀)))
3827, 35, 37sylancr 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → (∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅(𝐹𝑀) ↔ ∀𝑎𝑀 (𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑀)))
3923, 38mpbid 232 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → ∀𝑎𝑀 (𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑀))
4039adantrr 717 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → ∀𝑎𝑀 (𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑀))
41 simprr 772 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → 𝑁𝑀)
422, 40, 41rspcdva 3622 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → (𝐹𝑁)𝑅(𝐹𝑀))
435, 6, 7, 8, 9, 10, 11ordtypelem1 9559 . . . . . 6 (𝜑𝑂 = (𝐹𝑇))
4443adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → 𝑂 = (𝐹𝑇))
4544fveq1d 6907 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → (𝑂𝑁) = ((𝐹𝑇)‘𝑁))
465, 6, 7, 8, 9, 10, 11ordtypelem2 9560 . . . . . . 7 (𝜑 → Ord 𝑇)
47 inss1 4236 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝑇
4813, 47eqsstrdi 4027 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝑂𝑇)
4948sselda 3982 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → 𝑀𝑇)
5049adantrr 717 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → 𝑀𝑇)
51 ordelss 6399 . . . . . . 7 ((Ord 𝑇𝑀𝑇) → 𝑀𝑇)
5246, 50, 51syl2an2r 685 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → 𝑀𝑇)
5352, 41sseldd 3983 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → 𝑁𝑇)
5453fvresd 6925 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → ((𝐹𝑇)‘𝑁) = (𝐹𝑁))
5545, 54eqtrd 2776 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → (𝑂𝑁) = (𝐹𝑁))
5644fveq1d 6907 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → (𝑂𝑀) = ((𝐹𝑇)‘𝑀))
5750fvresd 6925 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → ((𝐹𝑇)‘𝑀) = (𝐹𝑀))
5856, 57eqtrd 2776 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → (𝑂𝑀) = (𝐹𝑀))
5942, 55, 583brtr4d 5174 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ dom 𝑂𝑁𝑀)) → (𝑂𝑁)𝑅(𝑂𝑀))
6059expr 456 1 ((𝜑𝑀 ∈ dom 𝑂) → (𝑁𝑀 → (𝑂𝑁)𝑅(𝑂𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  wrex 3069  {crab 3435  Vcvv 3479  cin 3949  wss 3950   class class class wbr 5142  cmpt 5224   Se wse 5634   We wwe 5635  dom cdm 5684  ran crn 5685  cres 5686  cima 5687  Ord word 6382  Oncon0 6383  Lim wlim 6384  Fun wfun 6554   Fn wfn 6555  cfv 6560  crio 7388  recscrecs 8411  OrdIsocoi 9550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-oi 9551
This theorem is referenced by:  ordtypelem8  9566
  Copyright terms: Public domain W3C validator