MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtypelem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtypelem8 9543
Description: Lemma for ordtype 9550. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtypelem.1 𝐹 = recs(𝐺)
ordtypelem.2 𝐢 = {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘— ∈ ran β„Ž 𝑗𝑅𝑀}
ordtypelem.3 𝐺 = (β„Ž ∈ V ↦ (℩𝑣 ∈ 𝐢 βˆ€π‘’ ∈ 𝐢 Β¬ 𝑒𝑅𝑣))
ordtypelem.5 𝑇 = {π‘₯ ∈ On ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ (𝐹 β€œ π‘₯)𝑧𝑅𝑑}
ordtypelem.6 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
ordtypelem.7 (πœ‘ β†’ 𝑅 We 𝐴)
ordtypelem.8 (πœ‘ β†’ 𝑅 Se 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ordtypelem8 (πœ‘ β†’ 𝑂 Isom E , 𝑅 (dom 𝑂, ran 𝑂))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑒,𝐢   β„Ž,𝑗,𝑑,𝑒,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑧,𝑅   𝐴,β„Ž,𝑗,𝑑,𝑒,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑧   𝑑,𝑂,𝑒,𝑣,π‘₯   πœ‘,𝑑,π‘₯   β„Ž,𝐹,𝑗,𝑑,𝑒,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧,𝑀,𝑣,𝑒,β„Ž,𝑗)   𝐢(π‘₯,𝑧,𝑀,𝑑,β„Ž,𝑗)   𝑇(π‘₯,𝑧,𝑀,𝑣,𝑒,𝑑,β„Ž,𝑗)   𝐺(π‘₯,𝑧,𝑀,𝑣,𝑒,𝑑,β„Ž,𝑗)   𝑂(𝑧,𝑀,β„Ž,𝑗)

Proof of Theorem ordtypelem8
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtypelem.1 . . . . . 6 𝐹 = recs(𝐺)
2 ordtypelem.2 . . . . . 6 𝐢 = {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘— ∈ ran β„Ž 𝑗𝑅𝑀}
3 ordtypelem.3 . . . . . 6 𝐺 = (β„Ž ∈ V ↦ (℩𝑣 ∈ 𝐢 βˆ€π‘’ ∈ 𝐢 Β¬ 𝑒𝑅𝑣))
4 ordtypelem.5 . . . . . 6 𝑇 = {π‘₯ ∈ On ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ (𝐹 β€œ π‘₯)𝑧𝑅𝑑}
5 ordtypelem.6 . . . . . 6 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
6 ordtypelem.7 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 We 𝐴)
7 ordtypelem.8 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 Se 𝐴)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ordtypelem4 9539 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑂:(𝑇 ∩ dom 𝐹)⟢𝐴)
98fdmd 6727 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝑂 = (𝑇 ∩ dom 𝐹))
10 inss1 4224 . . . . 5 (𝑇 ∩ dom 𝐹) βŠ† 𝑇
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7ordtypelem2 9537 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Ord 𝑇)
12 ordsson 7780 . . . . . 6 (Ord 𝑇 β†’ 𝑇 βŠ† On)
1311, 12syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† On)
1410, 13sstrid 3985 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∩ dom 𝐹) βŠ† On)
159, 14eqsstrd 4012 . . 3 (πœ‘ β†’ dom 𝑂 βŠ† On)
16 epweon 7772 . . . 4 E We On
17 weso 5664 . . . 4 ( E We On β†’ E Or On)
1816, 17ax-mp 5 . . 3 E Or On
19 soss 5605 . . 3 (dom 𝑂 βŠ† On β†’ ( E Or On β†’ E Or dom 𝑂))
2015, 18, 19mpisyl 21 . 2 (πœ‘ β†’ E Or dom 𝑂)
218frnd 6725 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝑂 βŠ† 𝐴)
22 wess 5660 . . . 4 (ran 𝑂 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑅 We 𝐴 β†’ 𝑅 We ran 𝑂))
2321, 6, 22sylc 65 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 We ran 𝑂)
24 weso 5664 . . 3 (𝑅 We ran 𝑂 β†’ 𝑅 Or ran 𝑂)
25 sopo 5604 . . 3 (𝑅 Or ran 𝑂 β†’ 𝑅 Po ran 𝑂)
2623, 24, 253syl 18 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 Po ran 𝑂)
278ffund 6721 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun 𝑂)
28 funforn 6811 . . 3 (Fun 𝑂 ↔ 𝑂:dom 𝑂–ontoβ†’ran 𝑂)
2927, 28sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑂:dom 𝑂–ontoβ†’ran 𝑂)
30 epel 5580 . . . . 5 (π‘Ž E 𝑏 ↔ π‘Ž ∈ 𝑏)
311, 2, 3, 4, 5, 6, 7ordtypelem6 9541 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ dom 𝑂) β†’ (π‘Ž ∈ 𝑏 β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž)𝑅(π‘‚β€˜π‘)))
3230, 31biimtrid 241 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ dom 𝑂) β†’ (π‘Ž E 𝑏 β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž)𝑅(π‘‚β€˜π‘)))
3332ralrimiva 3136 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ dom 𝑂(π‘Ž E 𝑏 β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž)𝑅(π‘‚β€˜π‘)))
3433ralrimivw 3140 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘‚βˆ€π‘ ∈ dom 𝑂(π‘Ž E 𝑏 β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž)𝑅(π‘‚β€˜π‘)))
35 soisoi 7329 . 2 ((( E Or dom 𝑂 ∧ 𝑅 Po ran 𝑂) ∧ (𝑂:dom 𝑂–ontoβ†’ran 𝑂 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘‚βˆ€π‘ ∈ dom 𝑂(π‘Ž E 𝑏 β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž)𝑅(π‘‚β€˜π‘)))) β†’ 𝑂 Isom E , 𝑅 (dom 𝑂, ran 𝑂))
3620, 26, 29, 34, 35syl22anc 837 1 (πœ‘ β†’ 𝑂 Isom E , 𝑅 (dom 𝑂, ran 𝑂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  {crab 3419  Vcvv 3463   ∩ cin 3940   βŠ† wss 3941   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227   E cep 5576   Po wpo 5583   Or wor 5584   Se wse 5626   We wwe 5627  dom cdm 5673  ran crn 5674   β€œ cima 5676  Ord word 6364  Oncon0 6365  Fun wfun 6537  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543   Isom wiso 6544  β„©crio 7368  recscrecs 8384  OrdIsocoi 9527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-oi 9528
This theorem is referenced by:  ordtypelem9  9544  ordtypelem10  9545  oiiso2  9549
  Copyright terms: Public domain W3C validator