MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtypelem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtypelem8 9519
Description: Lemma for ordtype 9526. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtypelem.1 𝐹 = recs(𝐺)
ordtypelem.2 𝐢 = {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘— ∈ ran β„Ž 𝑗𝑅𝑀}
ordtypelem.3 𝐺 = (β„Ž ∈ V ↦ (℩𝑣 ∈ 𝐢 βˆ€π‘’ ∈ 𝐢 Β¬ 𝑒𝑅𝑣))
ordtypelem.5 𝑇 = {π‘₯ ∈ On ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ (𝐹 β€œ π‘₯)𝑧𝑅𝑑}
ordtypelem.6 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
ordtypelem.7 (πœ‘ β†’ 𝑅 We 𝐴)
ordtypelem.8 (πœ‘ β†’ 𝑅 Se 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ordtypelem8 (πœ‘ β†’ 𝑂 Isom E , 𝑅 (dom 𝑂, ran 𝑂))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑒,𝐢   β„Ž,𝑗,𝑑,𝑒,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑧,𝑅   𝐴,β„Ž,𝑗,𝑑,𝑒,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑧   𝑑,𝑂,𝑒,𝑣,π‘₯   πœ‘,𝑑,π‘₯   β„Ž,𝐹,𝑗,𝑑,𝑒,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧,𝑀,𝑣,𝑒,β„Ž,𝑗)   𝐢(π‘₯,𝑧,𝑀,𝑑,β„Ž,𝑗)   𝑇(π‘₯,𝑧,𝑀,𝑣,𝑒,𝑑,β„Ž,𝑗)   𝐺(π‘₯,𝑧,𝑀,𝑣,𝑒,𝑑,β„Ž,𝑗)   𝑂(𝑧,𝑀,β„Ž,𝑗)

Proof of Theorem ordtypelem8
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtypelem.1 . . . . . 6 𝐹 = recs(𝐺)
2 ordtypelem.2 . . . . . 6 𝐢 = {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘— ∈ ran β„Ž 𝑗𝑅𝑀}
3 ordtypelem.3 . . . . . 6 𝐺 = (β„Ž ∈ V ↦ (℩𝑣 ∈ 𝐢 βˆ€π‘’ ∈ 𝐢 Β¬ 𝑒𝑅𝑣))
4 ordtypelem.5 . . . . . 6 𝑇 = {π‘₯ ∈ On ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ (𝐹 β€œ π‘₯)𝑧𝑅𝑑}
5 ordtypelem.6 . . . . . 6 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
6 ordtypelem.7 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 We 𝐴)
7 ordtypelem.8 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 Se 𝐴)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ordtypelem4 9515 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑂:(𝑇 ∩ dom 𝐹)⟢𝐴)
98fdmd 6728 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝑂 = (𝑇 ∩ dom 𝐹))
10 inss1 4228 . . . . 5 (𝑇 ∩ dom 𝐹) βŠ† 𝑇
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7ordtypelem2 9513 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Ord 𝑇)
12 ordsson 7769 . . . . . 6 (Ord 𝑇 β†’ 𝑇 βŠ† On)
1311, 12syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† On)
1410, 13sstrid 3993 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∩ dom 𝐹) βŠ† On)
159, 14eqsstrd 4020 . . 3 (πœ‘ β†’ dom 𝑂 βŠ† On)
16 epweon 7761 . . . 4 E We On
17 weso 5667 . . . 4 ( E We On β†’ E Or On)
1816, 17ax-mp 5 . . 3 E Or On
19 soss 5608 . . 3 (dom 𝑂 βŠ† On β†’ ( E Or On β†’ E Or dom 𝑂))
2015, 18, 19mpisyl 21 . 2 (πœ‘ β†’ E Or dom 𝑂)
218frnd 6725 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝑂 βŠ† 𝐴)
22 wess 5663 . . . 4 (ran 𝑂 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑅 We 𝐴 β†’ 𝑅 We ran 𝑂))
2321, 6, 22sylc 65 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 We ran 𝑂)
24 weso 5667 . . 3 (𝑅 We ran 𝑂 β†’ 𝑅 Or ran 𝑂)
25 sopo 5607 . . 3 (𝑅 Or ran 𝑂 β†’ 𝑅 Po ran 𝑂)
2623, 24, 253syl 18 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 Po ran 𝑂)
278ffund 6721 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun 𝑂)
28 funforn 6812 . . 3 (Fun 𝑂 ↔ 𝑂:dom 𝑂–ontoβ†’ran 𝑂)
2927, 28sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑂:dom 𝑂–ontoβ†’ran 𝑂)
30 epel 5583 . . . . 5 (π‘Ž E 𝑏 ↔ π‘Ž ∈ 𝑏)
311, 2, 3, 4, 5, 6, 7ordtypelem6 9517 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ dom 𝑂) β†’ (π‘Ž ∈ 𝑏 β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž)𝑅(π‘‚β€˜π‘)))
3230, 31biimtrid 241 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ dom 𝑂) β†’ (π‘Ž E 𝑏 β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž)𝑅(π‘‚β€˜π‘)))
3332ralrimiva 3146 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ dom 𝑂(π‘Ž E 𝑏 β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž)𝑅(π‘‚β€˜π‘)))
3433ralrimivw 3150 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘‚βˆ€π‘ ∈ dom 𝑂(π‘Ž E 𝑏 β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž)𝑅(π‘‚β€˜π‘)))
35 soisoi 7324 . 2 ((( E Or dom 𝑂 ∧ 𝑅 Po ran 𝑂) ∧ (𝑂:dom 𝑂–ontoβ†’ran 𝑂 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘‚βˆ€π‘ ∈ dom 𝑂(π‘Ž E 𝑏 β†’ (π‘‚β€˜π‘Ž)𝑅(π‘‚β€˜π‘)))) β†’ 𝑂 Isom E , 𝑅 (dom 𝑂, ran 𝑂))
3620, 26, 29, 34, 35syl22anc 837 1 (πœ‘ β†’ 𝑂 Isom E , 𝑅 (dom 𝑂, ran 𝑂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   E cep 5579   Po wpo 5586   Or wor 5587   Se wse 5629   We wwe 5630  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679  Ord word 6363  Oncon0 6364  Fun wfun 6537  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543   Isom wiso 6544  β„©crio 7363  recscrecs 8369  OrdIsocoi 9503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-oi 9504
This theorem is referenced by:  ordtypelem9  9520  ordtypelem10  9521  oiiso2  9525
  Copyright terms: Public domain W3C validator