Theorem ordtypelem5 9560

Description: Lemma for ordtype 9570. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordtypelem.1	⊢ 𝐹 = recs(𝐺)
ordtypelem.2	⊢ 𝐶 = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ ran ℎ 𝑗𝑅𝑤}
ordtypelem.3	⊢ 𝐺 = (ℎ ∈ V ↦ (℩𝑣 ∈ 𝐶 ∀𝑢 ∈ 𝐶 ¬ 𝑢𝑅𝑣))
ordtypelem.5	⊢ 𝑇 = {𝑥 ∈ On ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑧𝑅𝑡}
ordtypelem.6	⊢ 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
ordtypelem.7	⊢ (𝜑 → 𝑅 We 𝐴)
ordtypelem.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 Se 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ordtypelem5	⊢ (𝜑 → (Ord dom 𝑂 ∧ 𝑂:dom 𝑂⟶𝐴))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝐶   ℎ,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧,𝑅   𝐴,ℎ,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧   𝑡,𝑂,𝑢,𝑣,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   ℎ,𝐹,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,ℎ,𝑗)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑤,𝑡,ℎ,𝑗)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,ℎ,𝑗)   𝐺(𝑥,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,ℎ,𝑗)   𝑂(𝑧,𝑤,ℎ,𝑗)

Proof of Theorem ordtypelem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtypelem.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = recs(𝐺)
2		ordtypelem.2	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ ran ℎ 𝑗𝑅𝑤}
3		ordtypelem.3	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (ℎ ∈ V ↦ (℩𝑣 ∈ 𝐶 ∀𝑢 ∈ 𝐶 ¬ 𝑢𝑅𝑣))
4		ordtypelem.5	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = {𝑥 ∈ On ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑧𝑅𝑡}
5		ordtypelem.6	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
6		ordtypelem.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 We 𝐴)
7		ordtypelem.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Se 𝐴)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ordtypelem2 9557	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ord 𝑇)
9	1	tfr1a 8433	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 ∧ Lim dom 𝐹)
10	9	simpri 485	. . . . 5 ⊢ Lim dom 𝐹
11		limord 6446	. . . . 5 ⊢ (Lim dom 𝐹 → Ord dom 𝐹)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Ord dom 𝐹
13		ordin 6416	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝑇 ∧ Ord dom 𝐹) → Ord (𝑇 ∩ dom 𝐹))
14	8, 12, 13	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → Ord (𝑇 ∩ dom 𝐹))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ordtypelem4 9559	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂:(𝑇 ∩ dom 𝐹)⟶𝐴)
16	15	fdmd 6747	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 = (𝑇 ∩ dom 𝐹))
17		ordeq 6393	. . . 4 ⊢ (dom 𝑂 = (𝑇 ∩ dom 𝐹) → (Ord dom 𝑂 ↔ Ord (𝑇 ∩ dom 𝐹)))
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Ord dom 𝑂 ↔ Ord (𝑇 ∩ dom 𝐹)))
19	14, 18	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → Ord dom 𝑂)
20	15	ffdmd 6767	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂:dom 𝑂⟶𝐴)
21	19, 20	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (Ord dom 𝑂 ∧ 𝑂:dom 𝑂⟶𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478   ∩ cin 3962   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Se wse 5639   We wwe 5640  dom cdm 5689  ran crn 5690   “ cima 5692  Ord word 6385  Oncon0 6386  Lim wlim 6387  Fun wfun 6557  ⟶wf 6559  ℩crio 7387  recscrecs 8409  OrdIsocoi 9547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-oi 9548

This theorem is referenced by:  oicl  9567  oif  9568