Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtypelem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtypelem5 8960
 Description: Lemma for ordtype 8970. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtypelem.1 𝐹 = recs(𝐺)
ordtypelem.2 𝐶 = {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ ran 𝑗𝑅𝑤}
ordtypelem.3 𝐺 = ( ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑅𝑣))
ordtypelem.5 𝑇 = {𝑥 ∈ On ∣ ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡}
ordtypelem.6 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
ordtypelem.7 (𝜑𝑅 We 𝐴)
ordtypelem.8 (𝜑𝑅 Se 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ordtypelem5 (𝜑 → (Ord dom 𝑂𝑂:dom 𝑂𝐴))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝐶   ,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧,𝑅   𝐴,,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧   𝑡,𝑂,𝑢,𝑣,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   ,𝐹,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,,𝑗)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑤,𝑡,,𝑗)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,,𝑗)   𝐺(𝑥,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,,𝑗)   𝑂(𝑧,𝑤,,𝑗)

Proof of Theorem ordtypelem5
StepHypRef Expression
1 ordtypelem.1 . . . . 5 𝐹 = recs(𝐺)
2 ordtypelem.2 . . . . 5 𝐶 = {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ ran 𝑗𝑅𝑤}
3 ordtypelem.3 . . . . 5 𝐺 = ( ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑅𝑣))
4 ordtypelem.5 . . . . 5 𝑇 = {𝑥 ∈ On ∣ ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡}
5 ordtypelem.6 . . . . 5 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
6 ordtypelem.7 . . . . 5 (𝜑𝑅 We 𝐴)
7 ordtypelem.8 . . . . 5 (𝜑𝑅 Se 𝐴)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ordtypelem2 8957 . . . 4 (𝜑 → Ord 𝑇)
91tfr1a 8004 . . . . . 6 (Fun 𝐹 ∧ Lim dom 𝐹)
109simpri 488 . . . . 5 Lim dom 𝐹
11 limord 6222 . . . . 5 (Lim dom 𝐹 → Ord dom 𝐹)
1210, 11ax-mp 5 . . . 4 Ord dom 𝐹
13 ordin 6193 . . . 4 ((Ord 𝑇 ∧ Ord dom 𝐹) → Ord (𝑇 ∩ dom 𝐹))
148, 12, 13sylancl 588 . . 3 (𝜑 → Ord (𝑇 ∩ dom 𝐹))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7ordtypelem4 8959 . . . . 5 (𝜑𝑂:(𝑇 ∩ dom 𝐹)⟶𝐴)
1615fdmd 6495 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑂 = (𝑇 ∩ dom 𝐹))
17 ordeq 6170 . . . 4 (dom 𝑂 = (𝑇 ∩ dom 𝐹) → (Ord dom 𝑂 ↔ Ord (𝑇 ∩ dom 𝐹)))
1816, 17syl 17 . . 3 (𝜑 → (Ord dom 𝑂 ↔ Ord (𝑇 ∩ dom 𝐹)))
1914, 18mpbird 259 . 2 (𝜑 → Ord dom 𝑂)
2015ffdmd 6509 . 2 (𝜑𝑂:dom 𝑂𝐴)
2119, 20jca 514 1 (𝜑 → (Ord dom 𝑂𝑂:dom 𝑂𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537  ∀wral 3125  ∃wrex 3126  {crab 3129  Vcvv 3470   ∩ cin 3908   class class class wbr 5038   ↦ cmpt 5118   Se wse 5484   We wwe 5485  dom cdm 5527  ran crn 5528   “ cima 5530  Ord word 6162  Oncon0 6163  Lim wlim 6164  Fun wfun 6321  ⟶wf 6323  ℩crio 7086  recscrecs 7981  OrdIsocoi 8947 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4811  df-iun 4893  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7087  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-oi 8948 This theorem is referenced by:  oicl  8967  oif  8968
 Copyright terms: Public domain W3C validator