MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtypelem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtypelem5 8587
Description: Lemma for ordtype 8597. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtypelem.1 𝐹 = recs(𝐺)
ordtypelem.2 𝐶 = {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ ran 𝑗𝑅𝑤}
ordtypelem.3 𝐺 = ( ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑅𝑣))
ordtypelem.5 𝑇 = {𝑥 ∈ On ∣ ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡}
ordtypelem.6 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
ordtypelem.7 (𝜑𝑅 We 𝐴)
ordtypelem.8 (𝜑𝑅 Se 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ordtypelem5 (𝜑 → (Ord dom 𝑂𝑂:dom 𝑂𝐴))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝐶   ,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧,𝑅   𝐴,,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧   𝑡,𝑂,𝑢,𝑣,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   ,𝐹,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,,𝑗)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑤,𝑡,,𝑗)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,,𝑗)   𝐺(𝑥,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,,𝑗)   𝑂(𝑧,𝑤,,𝑗)

Proof of Theorem ordtypelem5
StepHypRef Expression
1 ordtypelem.1 . . . . 5 𝐹 = recs(𝐺)
2 ordtypelem.2 . . . . 5 𝐶 = {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ ran 𝑗𝑅𝑤}
3 ordtypelem.3 . . . . 5 𝐺 = ( ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑅𝑣))
4 ordtypelem.5 . . . . 5 𝑇 = {𝑥 ∈ On ∣ ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡}
5 ordtypelem.6 . . . . 5 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
6 ordtypelem.7 . . . . 5 (𝜑𝑅 We 𝐴)
7 ordtypelem.8 . . . . 5 (𝜑𝑅 Se 𝐴)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ordtypelem2 8584 . . . 4 (𝜑 → Ord 𝑇)
91tfr1a 7647 . . . . . 6 (Fun 𝐹 ∧ Lim dom 𝐹)
109simpri 473 . . . . 5 Lim dom 𝐹
11 limord 5926 . . . . 5 (Lim dom 𝐹 → Ord dom 𝐹)
1210, 11ax-mp 5 . . . 4 Ord dom 𝐹
13 ordin 5895 . . . 4 ((Ord 𝑇 ∧ Ord dom 𝐹) → Ord (𝑇 ∩ dom 𝐹))
148, 12, 13sylancl 574 . . 3 (𝜑 → Ord (𝑇 ∩ dom 𝐹))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7ordtypelem4 8586 . . . . 5 (𝜑𝑂:(𝑇 ∩ dom 𝐹)⟶𝐴)
1615fdmd 6193 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑂 = (𝑇 ∩ dom 𝐹))
17 ordeq 5872 . . . 4 (dom 𝑂 = (𝑇 ∩ dom 𝐹) → (Ord dom 𝑂 ↔ Ord (𝑇 ∩ dom 𝐹)))
1816, 17syl 17 . . 3 (𝜑 → (Ord dom 𝑂 ↔ Ord (𝑇 ∩ dom 𝐹)))
1914, 18mpbird 247 . 2 (𝜑 → Ord dom 𝑂)
2016feq2d 6170 . . 3 (𝜑 → (𝑂:dom 𝑂𝐴𝑂:(𝑇 ∩ dom 𝐹)⟶𝐴))
2115, 20mpbird 247 . 2 (𝜑𝑂:dom 𝑂𝐴)
2219, 21jca 501 1 (𝜑 → (Ord dom 𝑂𝑂:dom 𝑂𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wral 3061  wrex 3062  {crab 3065  Vcvv 3351  cin 3722   class class class wbr 4787  cmpt 4864   Se wse 5207   We wwe 5208  dom cdm 5250  ran crn 5251  cima 5253  Ord word 5864  Oncon0 5865  Lim wlim 5866  Fun wfun 6024  wf 6026  crio 6756  recscrecs 7624  OrdIsocoi 8574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-oi 8575
This theorem is referenced by:  oicl  8594  oif  8595
  Copyright terms: Public domain W3C validator