Theorem ordtypelem5 9408

Description: Lemma for ordtype 9418. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordtypelem.1	⊢ 𝐹 = recs(𝐺)
ordtypelem.2	⊢ 𝐶 = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ ran ℎ 𝑗𝑅𝑤}
ordtypelem.3	⊢ 𝐺 = (ℎ ∈ V ↦ (℩𝑣 ∈ 𝐶 ∀𝑢 ∈ 𝐶 ¬ 𝑢𝑅𝑣))
ordtypelem.5	⊢ 𝑇 = {𝑥 ∈ On ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑧𝑅𝑡}
ordtypelem.6	⊢ 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
ordtypelem.7	⊢ (𝜑 → 𝑅 We 𝐴)
ordtypelem.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 Se 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ordtypelem5	⊢ (𝜑 → (Ord dom 𝑂 ∧ 𝑂:dom 𝑂⟶𝐴))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝐶   ℎ,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧,𝑅   𝐴,ℎ,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧   𝑡,𝑂,𝑢,𝑣,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   ℎ,𝐹,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,ℎ,𝑗)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑤,𝑡,ℎ,𝑗)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,ℎ,𝑗)   𝐺(𝑥,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,ℎ,𝑗)   𝑂(𝑧,𝑤,ℎ,𝑗)

Proof of Theorem ordtypelem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtypelem.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = recs(𝐺)
2		ordtypelem.2	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ ran ℎ 𝑗𝑅𝑤}
3		ordtypelem.3	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (ℎ ∈ V ↦ (℩𝑣 ∈ 𝐶 ∀𝑢 ∈ 𝐶 ¬ 𝑢𝑅𝑣))
4		ordtypelem.5	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = {𝑥 ∈ On ∣ ∃𝑡 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑧𝑅𝑡}
5		ordtypelem.6	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
6		ordtypelem.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 We 𝐴)
7		ordtypelem.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Se 𝐴)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ordtypelem2 9405	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ord 𝑇)
9	1	tfr1a 8313	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 ∧ Lim dom 𝐹)
10	9	simpri 485	. . . . 5 ⊢ Lim dom 𝐹
11		limord 6367	. . . . 5 ⊢ (Lim dom 𝐹 → Ord dom 𝐹)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Ord dom 𝐹
13		ordin 6336	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝑇 ∧ Ord dom 𝐹) → Ord (𝑇 ∩ dom 𝐹))
14	8, 12, 13	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → Ord (𝑇 ∩ dom 𝐹))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ordtypelem4 9407	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂:(𝑇 ∩ dom 𝐹)⟶𝐴)
16	15	fdmd 6661	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 = (𝑇 ∩ dom 𝐹))
17		ordeq 6313	. . . 4 ⊢ (dom 𝑂 = (𝑇 ∩ dom 𝐹) → (Ord dom 𝑂 ↔ Ord (𝑇 ∩ dom 𝐹)))
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Ord dom 𝑂 ↔ Ord (𝑇 ∩ dom 𝐹)))
19	14, 18	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → Ord dom 𝑂)
20	15	ffdmd 6681	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂:dom 𝑂⟶𝐴)
21	19, 20	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (Ord dom 𝑂 ∧ 𝑂:dom 𝑂⟶𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  {crab 3395  Vcvv 3436   ∩ cin 3901   class class class wbr 5091   ↦ cmpt 5172   Se wse 5567   We wwe 5568  dom cdm 5616  ran crn 5617   “ cima 5619  Ord word 6305  Oncon0 6306  Lim wlim 6307  Fun wfun 6475  ⟶wf 6477  ℩crio 7302  recscrecs 8290  OrdIsocoi 9395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-oi 9396

This theorem is referenced by:  oicl  9415  oif  9416