MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtypelem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtypelem5 9556
Description: Lemma for ordtype 9566. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtypelem.1 𝐹 = recs(𝐺)
ordtypelem.2 𝐶 = {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ ran 𝑗𝑅𝑤}
ordtypelem.3 𝐺 = ( ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑅𝑣))
ordtypelem.5 𝑇 = {𝑥 ∈ On ∣ ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡}
ordtypelem.6 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
ordtypelem.7 (𝜑𝑅 We 𝐴)
ordtypelem.8 (𝜑𝑅 Se 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ordtypelem5 (𝜑 → (Ord dom 𝑂𝑂:dom 𝑂𝐴))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝐶   ,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧,𝑅   𝐴,,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧   𝑡,𝑂,𝑢,𝑣,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   ,𝐹,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,,𝑗)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑤,𝑡,,𝑗)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,,𝑗)   𝐺(𝑥,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,,𝑗)   𝑂(𝑧,𝑤,,𝑗)

Proof of Theorem ordtypelem5
StepHypRef Expression
1 ordtypelem.1 . . . . 5 𝐹 = recs(𝐺)
2 ordtypelem.2 . . . . 5 𝐶 = {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ ran 𝑗𝑅𝑤}
3 ordtypelem.3 . . . . 5 𝐺 = ( ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑅𝑣))
4 ordtypelem.5 . . . . 5 𝑇 = {𝑥 ∈ On ∣ ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡}
5 ordtypelem.6 . . . . 5 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
6 ordtypelem.7 . . . . 5 (𝜑𝑅 We 𝐴)
7 ordtypelem.8 . . . . 5 (𝜑𝑅 Se 𝐴)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ordtypelem2 9553 . . . 4 (𝜑 → Ord 𝑇)
91tfr1a 8414 . . . . . 6 (Fun 𝐹 ∧ Lim dom 𝐹)
109simpri 484 . . . . 5 Lim dom 𝐹
11 limord 6426 . . . . 5 (Lim dom 𝐹 → Ord dom 𝐹)
1210, 11ax-mp 5 . . . 4 Ord dom 𝐹
13 ordin 6396 . . . 4 ((Ord 𝑇 ∧ Ord dom 𝐹) → Ord (𝑇 ∩ dom 𝐹))
148, 12, 13sylancl 584 . . 3 (𝜑 → Ord (𝑇 ∩ dom 𝐹))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7ordtypelem4 9555 . . . . 5 (𝜑𝑂:(𝑇 ∩ dom 𝐹)⟶𝐴)
1615fdmd 6728 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑂 = (𝑇 ∩ dom 𝐹))
17 ordeq 6373 . . . 4 (dom 𝑂 = (𝑇 ∩ dom 𝐹) → (Ord dom 𝑂 ↔ Ord (𝑇 ∩ dom 𝐹)))
1816, 17syl 17 . . 3 (𝜑 → (Ord dom 𝑂 ↔ Ord (𝑇 ∩ dom 𝐹)))
1914, 18mpbird 256 . 2 (𝜑 → Ord dom 𝑂)
2015ffdmd 6749 . 2 (𝜑𝑂:dom 𝑂𝐴)
2119, 20jca 510 1 (𝜑 → (Ord dom 𝑂𝑂:dom 𝑂𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wral 3051  wrex 3060  {crab 3420  Vcvv 3463  cin 3946   class class class wbr 5144  cmpt 5227   Se wse 5626   We wwe 5627  dom cdm 5673  ran crn 5674  cima 5676  Ord word 6365  Oncon0 6366  Lim wlim 6367  Fun wfun 6538  wf 6540  crio 7369  recscrecs 8390  OrdIsocoi 9543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pr 5424  ax-un 7736
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-oi 9544
This theorem is referenced by:  oicl  9563  oif  9564
  Copyright terms: Public domain W3C validator