Theorem 1aryenef 45525

Description: The set of unary (endo)functions and the set of endofunctions are equinumerous. (Contributed by AV, 19-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1aryenef	⊢ (1-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m 𝑋)

Proof of Theorem 1aryenef

Dummy variables 𝑓 ℎ 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7203	. . . . . 6 ⊢ (1-aryF 𝑋) ∈ V
2	1	mptex 6996	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}))) ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}))) ∈ V)
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}))) = (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩})))
5	4	1arymaptf1o 45524	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}))):(1-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m 𝑋))
6		f1oeq1 6606	. . . 4 ⊢ (ℎ = (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}))) → (ℎ:(1-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m 𝑋) ↔ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}))):(1-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m 𝑋)))
7	3, 5, 6	spcedv 3502	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → ∃ℎ ℎ:(1-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m 𝑋))
8		bren 8564	. . 3 ⊢ ((1-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m 𝑋) ↔ ∃ℎ ℎ:(1-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m 𝑋))
9	7, 8	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ V → (1-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m 𝑋))
10		0ex 5175	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
11	10	enref 8588	. . . 4 ⊢ ∅ ≈ ∅
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ∅ ≈ ∅)
13		df-naryf 45507	. . . . 5 ⊢ -aryF = (𝑛 ∈ ℕ0, 𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 ↑m (𝑥 ↑m (0..^𝑛))))
14	13	reldmmpo 7300	. . . 4 ⊢ Rel dom -aryF
15	14	ovprc2 7210	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (1-aryF 𝑋) = ∅)
16		reldmmap 8446	. . . 4 ⊢ Rel dom ↑m
17	16	ovprc1 7209	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝑋 ↑m 𝑋) = ∅)
18	12, 15, 17	3brtr4d 5062	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (1-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m 𝑋))
19	9, 18	pm2.61i 185	1 ⊢ (1-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3  ∃wex 1786   ∈ wcel 2114  Vcvv 3398  ∅c0 4211  {csn 4516  ⟨cop 4522   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  –1-1-onto→wf1o 6338  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170   ↑_m cmap 8437   ≈ cen 8552  0cc0 10615  1c1 10616  ℕ₀cn0 11976  ..^cfzo 13124  -aryF cnaryf 45506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-naryf 45507

This theorem is referenced by:  1aryenefmnd  45526