Theorem 1aryenef 49150

Description: The set of unary (endo)functions and the set of endofunctions are equinumerous. (Contributed by AV, 19-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1aryenef	⊢ (1-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m 𝑋)

Proof of Theorem 1aryenef

Dummy variables 𝑓 ℎ 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7393	. . . . . 6 ⊢ (1-aryF 𝑋) ∈ V
2	1	mptex 7171	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}))) ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}))) ∈ V)
4		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}))) = (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩})))
5	4	1arymaptf1o 49149	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}))):(1-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m 𝑋))
6		f1oeq1 6759	. . . 4 ⊢ (ℎ = (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}))) → (ℎ:(1-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m 𝑋) ↔ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}))):(1-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m 𝑋)))
7	3, 5, 6	spcedv 3538	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → ∃ℎ ℎ:(1-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m 𝑋))
8		bren 8897	. . 3 ⊢ ((1-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m 𝑋) ↔ ∃ℎ ℎ:(1-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m 𝑋))
9	7, 8	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ V → (1-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m 𝑋))
10		0ex 5232	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
11	10	enref 8926	. . . 4 ⊢ ∅ ≈ ∅
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ∅ ≈ ∅)
13		df-naryf 49132	. . . . 5 ⊢ -aryF = (𝑛 ∈ ℕ0, 𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 ↑m (𝑥 ↑m (0..^𝑛))))
14	13	reldmmpo 7494	. . . 4 ⊢ Rel dom -aryF
15	14	ovprc2 7400	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (1-aryF 𝑋) = ∅)
16		reldmmap 8776	. . . 4 ⊢ Rel dom ↑m
17	16	ovprc1 7399	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝑋 ↑m 𝑋) = ∅)
18	12, 15, 17	3brtr4d 5107	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (1-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m 𝑋))
19	9, 18	pm2.61i 183	1 ⊢ (1-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3  ∃wex 1787   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433  ∅c0 4264  {csn 4558  ⟨cop 4564   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5156  –1-1-onto→wf1o 6488  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8767   ≈ cen 8884  0cc0 11033  1c1 11034  ℕ₀cn0 12432  ..^cfzo 13603  -aryF cnaryf 49131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-naryf 49132

This theorem is referenced by:  1aryenefmnd  49151