Theorem 1aryenef 49079

Description: The set of unary (endo)functions and the set of endofunctions are equinumerous. (Contributed by AV, 19-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1aryenef	⊢ (1-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m 𝑋)

Proof of Theorem 1aryenef

Dummy variables 𝑓 ℎ 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7391	. . . . . 6 ⊢ (1-aryF 𝑋) ∈ V
2	1	mptex 7169	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}))) ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}))) ∈ V)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}))) = (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩})))
5	4	1arymaptf1o 49078	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}))):(1-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m 𝑋))
6		f1oeq1 6760	. . . 4 ⊢ (ℎ = (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}))) → (ℎ:(1-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m 𝑋) ↔ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}))):(1-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m 𝑋)))
7	3, 5, 6	spcedv 3541	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → ∃ℎ ℎ:(1-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m 𝑋))
8		bren 8894	. . 3 ⊢ ((1-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m 𝑋) ↔ ∃ℎ ℎ:(1-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m 𝑋))
9	7, 8	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ V → (1-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m 𝑋))
10		0ex 5242	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
11	10	enref 8923	. . . 4 ⊢ ∅ ≈ ∅
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ∅ ≈ ∅)
13		df-naryf 49061	. . . . 5 ⊢ -aryF = (𝑛 ∈ ℕ0, 𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 ↑m (𝑥 ↑m (0..^𝑛))))
14	13	reldmmpo 7492	. . . 4 ⊢ Rel dom -aryF
15	14	ovprc2 7398	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (1-aryF 𝑋) = ∅)
16		reldmmap 8773	. . . 4 ⊢ Rel dom ↑m
17	16	ovprc1 7397	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝑋 ↑m 𝑋) = ∅)
18	12, 15, 17	3brtr4d 5118	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (1-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m 𝑋))
19	9, 18	pm2.61i 182	1 ⊢ (1-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ∅c0 4274  {csn 4568  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  –1-1-onto→wf1o 6489  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8764   ≈ cen 8881  0cc0 11027  1c1 11028  ℕ₀cn0 12402  ..^cfzo 13571  -aryF cnaryf 49060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-naryf 49061

This theorem is referenced by:  1aryenefmnd  49080