Theorem 1aryenef 49272

Description: The set of unary (endo)functions and the set of endofunctions are equinumerous. (Contributed by AV, 19-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1aryenef	⊢ (1-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m 𝑋)

Proof of Theorem 1aryenef

Dummy variables 𝑓 ℎ 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7431	. . . . . 6 ⊢ (1-aryF 𝑋) ∈ V
2	1	mptex 7209	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}))) ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}))) ∈ V)
4		eqid 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}))) = (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩})))
5	4	1arymaptf1o 49271	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}))):(1-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m 𝑋))
6		f1oeq1 6796	. . . 4 ⊢ (ℎ = (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}))) → (ℎ:(1-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m 𝑋) ↔ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}))):(1-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m 𝑋)))
7	3, 5, 6	spcedv 3559	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → ∃ℎ ℎ:(1-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m 𝑋))
8		bren 8939	. . 3 ⊢ ((1-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m 𝑋) ↔ ∃ℎ ℎ:(1-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m 𝑋))
9	7, 8	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ V → (1-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m 𝑋))
10		0ex 5259	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
11	10	enref 8968	. . . 4 ⊢ ∅ ≈ ∅
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ∅ ≈ ∅)
13		df-naryf 49254	. . . . 5 ⊢ -aryF = (𝑛 ∈ ℕ0, 𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 ↑m (𝑥 ↑m (0..^𝑛))))
14	13	reldmmpo 7532	. . . 4 ⊢ Rel dom -aryF
15	14	ovprc2 7438	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (1-aryF 𝑋) = ∅)
16		reldmmap 8818	. . . 4 ⊢ Rel dom ↑m
17	16	ovprc1 7437	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝑋 ↑m 𝑋) = ∅)
18	12, 15, 17	3brtr4d 5134	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (1-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m 𝑋))
19	9, 18	pm2.61i 183	1 ⊢ (1-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3  ∃wex 1801   ∈ wcel 2144  Vcvv 3456  ∅c0 4287  {csn 4584  ⟨cop 4590   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  –1-1-onto→wf1o 6522  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398   ↑_m cmap 8810   ≈ cen 8926  0cc0 11075  1c1 11076  ℕ₀cn0 12483  ..^cfzo 13661  -aryF cnaryf 49253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-naryf 49254

This theorem is referenced by:  1aryenefmnd  49273