Theorem 1aryenef 49109

Description: The set of unary (endo)functions and the set of endofunctions are equinumerous. (Contributed by AV, 19-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1aryenef	⊢ (1-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m 𝑋)

Proof of Theorem 1aryenef

Dummy variables 𝑓 ℎ 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7389	. . . . . 6 ⊢ (1-aryF 𝑋) ∈ V
2	1	mptex 7167	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}))) ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}))) ∈ V)
4		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}))) = (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩})))
5	4	1arymaptf1o 49108	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}))):(1-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m 𝑋))
6		f1oeq1 6757	. . . 4 ⊢ (ℎ = (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}))) → (ℎ:(1-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m 𝑋) ↔ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}))):(1-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m 𝑋)))
7	3, 5, 6	spcedv 3538	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → ∃ℎ ℎ:(1-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m 𝑋))
8		bren 8892	. . 3 ⊢ ((1-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m 𝑋) ↔ ∃ℎ ℎ:(1-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m 𝑋))
9	7, 8	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ V → (1-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m 𝑋))
10		0ex 5231	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
11	10	enref 8921	. . . 4 ⊢ ∅ ≈ ∅
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ∅ ≈ ∅)
13		df-naryf 49091	. . . . 5 ⊢ -aryF = (𝑛 ∈ ℕ0, 𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 ↑m (𝑥 ↑m (0..^𝑛))))
14	13	reldmmpo 7490	. . . 4 ⊢ Rel dom -aryF
15	14	ovprc2 7396	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (1-aryF 𝑋) = ∅)
16		reldmmap 8771	. . . 4 ⊢ Rel dom ↑m
17	16	ovprc1 7395	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝑋 ↑m 𝑋) = ∅)
18	12, 15, 17	3brtr4d 5106	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (1-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m 𝑋))
19	9, 18	pm2.61i 182	1 ⊢ (1-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  Vcvv 3427  ∅c0 4263  {csn 4557  ⟨cop 4563   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5155  –1-1-onto→wf1o 6486  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8762   ≈ cen 8879  0cc0 11027  1c1 11028  ℕ₀cn0 12426  ..^cfzo 13597  -aryF cnaryf 49090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-map 8764  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-naryf 49091

This theorem is referenced by:  1aryenefmnd  49110