Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1aryenef Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1aryenef 45525
Description: The set of unary (endo)functions and the set of endofunctions are equinumerous. (Contributed by AV, 19-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
1aryenef (1-aryF 𝑋) ≈ (𝑋m 𝑋)

Proof of Theorem 1aryenef
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7203 . . . . . 6 (1-aryF 𝑋) ∈ V
21mptex 6996 . . . . 5 (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}))) ∈ V
32a1i 11 . . . 4 (𝑋 ∈ V → (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}))) ∈ V)
4 eqid 2738 . . . . 5 (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}))) = (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩})))
541arymaptf1o 45524 . . . 4 (𝑋 ∈ V → (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}))):(1-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋m 𝑋))
6 f1oeq1 6606 . . . 4 ( = (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}))) → (:(1-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋m 𝑋) ↔ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}))):(1-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋m 𝑋)))
73, 5, 6spcedv 3502 . . 3 (𝑋 ∈ V → ∃ :(1-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋m 𝑋))
8 bren 8564 . . 3 ((1-aryF 𝑋) ≈ (𝑋m 𝑋) ↔ ∃ :(1-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋m 𝑋))
97, 8sylibr 237 . 2 (𝑋 ∈ V → (1-aryF 𝑋) ≈ (𝑋m 𝑋))
10 0ex 5175 . . . . 5 ∅ ∈ V
1110enref 8588 . . . 4 ∅ ≈ ∅
1211a1i 11 . . 3 𝑋 ∈ V → ∅ ≈ ∅)
13 df-naryf 45507 . . . . 5 -aryF = (𝑛 ∈ ℕ0, 𝑥 ∈ V ↦ (𝑥m (𝑥m (0..^𝑛))))
1413reldmmpo 7300 . . . 4 Rel dom -aryF
1514ovprc2 7210 . . 3 𝑋 ∈ V → (1-aryF 𝑋) = ∅)
16 reldmmap 8446 . . . 4 Rel dom ↑m
1716ovprc1 7209 . . 3 𝑋 ∈ V → (𝑋m 𝑋) = ∅)
1812, 15, 173brtr4d 5062 . 2 𝑋 ∈ V → (1-aryF 𝑋) ≈ (𝑋m 𝑋))
199, 18pm2.61i 185 1 (1-aryF 𝑋) ≈ (𝑋m 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wex 1786  wcel 2114  Vcvv 3398  c0 4211  {csn 4516  cop 4522   class class class wbr 5030  cmpt 5110  1-1-ontowf1o 6338  cfv 6339  (class class class)co 7170  m cmap 8437  cen 8552  0cc0 10615  1c1 10616  0cn0 11976  ..^cfzo 13124  -aryF cnaryf 45506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-naryf 45507
This theorem is referenced by:  1aryenefmnd  45526
  Copyright terms: Public domain W3C validator