Theorem 0rest 17399

Description: Value of the structure restriction when the topology input is empty. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0rest	⊢ (∅ ↾t 𝐴) = ∅

Proof of Theorem 0rest

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5265	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2		restval 17396	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (∅ ↾t 𝐴) = ran (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)))
3	1, 2	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ↾t 𝐴) = ran (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)))
4		mpt0 6663	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)) = ∅
5	4	rneqi 5904	. . . 4 ⊢ ran (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)) = ran ∅
6		rn0 5892	. . . 4 ⊢ ran ∅ = ∅
7	5, 6	eqtri 2753	. . 3 ⊢ ran (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)) = ∅
8	3, 7	eqtrdi 2781	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ↾t 𝐴) = ∅)
9		relxp 5659	. . . 4 ⊢ Rel (V × V)
10		restfn 17394	. . . . . 6 ⊢ ↾t Fn (V × V)
11	10	fndmi 6625	. . . . 5 ⊢ dom ↾t = (V × V)
12	11	releqi 5743	. . . 4 ⊢ (Rel dom ↾t ↔ Rel (V × V))
13	9, 12	mpbir 231	. . 3 ⊢ Rel dom ↾t
14	13	ovprc2 7430	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (∅ ↾t 𝐴) = ∅)
15	8, 14	pm2.61i 182	1 ⊢ (∅ ↾t 𝐴) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ∩ cin 3916  ∅c0 4299   ↦ cmpt 5191   × cxp 5639  dom cdm 5641  ran crn 5642  Rel wrel 5646  (class class class)co 7390   ↾_t crest 17390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-rest 17392

This theorem is referenced by:  firest  17402  topnval  17404  resstopn  23080  ussval  24154  bj-rest00  37076