Theorem 0rest 17371

Description: Value of the structure restriction when the topology input is empty. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0rest	⊢ (∅ ↾t 𝐴) = ∅

Proof of Theorem 0rest

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5306	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2		restval 17368	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (∅ ↾t 𝐴) = ran (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)))
3	1, 2	mpan 688	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ↾t 𝐴) = ran (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)))
4		mpt0 6689	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)) = ∅
5	4	rneqi 5934	. . . 4 ⊢ ran (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)) = ran ∅
6		rn0 5923	. . . 4 ⊢ ran ∅ = ∅
7	5, 6	eqtri 2760	. . 3 ⊢ ran (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)) = ∅
8	3, 7	eqtrdi 2788	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ↾t 𝐴) = ∅)
9		relxp 5693	. . . 4 ⊢ Rel (V × V)
10		restfn 17366	. . . . . 6 ⊢ ↾t Fn (V × V)
11	10	fndmi 6650	. . . . 5 ⊢ dom ↾t = (V × V)
12	11	releqi 5775	. . . 4 ⊢ (Rel dom ↾t ↔ Rel (V × V))
13	9, 12	mpbir 230	. . 3 ⊢ Rel dom ↾t
14	13	ovprc2 7445	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (∅ ↾t 𝐴) = ∅)
15	8, 14	pm2.61i 182	1 ⊢ (∅ ↾t 𝐴) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∩ cin 3946  ∅c0 4321   ↦ cmpt 5230   × cxp 5673  dom cdm 5675  ran crn 5676  Rel wrel 5680  (class class class)co 7405   ↾_t crest 17362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-rest 17364

This theorem is referenced by:  firest  17374  topnval  17376  resstopn  22681  ussval  23755  bj-rest00  35950