Theorem 0rest 17380

Description: Value of the structure restriction when the topology input is empty. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0rest	⊢ (∅ ↾t 𝐴) = ∅

Proof of Theorem 0rest

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5298	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2		restval 17377	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (∅ ↾t 𝐴) = ran (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)))
3	1, 2	mpan 687	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ↾t 𝐴) = ran (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)))
4		mpt0 6683	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)) = ∅
5	4	rneqi 5927	. . . 4 ⊢ ran (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)) = ran ∅
6		rn0 5916	. . . 4 ⊢ ran ∅ = ∅
7	5, 6	eqtri 2752	. . 3 ⊢ ran (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)) = ∅
8	3, 7	eqtrdi 2780	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ↾t 𝐴) = ∅)
9		relxp 5685	. . . 4 ⊢ Rel (V × V)
10		restfn 17375	. . . . . 6 ⊢ ↾t Fn (V × V)
11	10	fndmi 6644	. . . . 5 ⊢ dom ↾t = (V × V)
12	11	releqi 5768	. . . 4 ⊢ (Rel dom ↾t ↔ Rel (V × V))
13	9, 12	mpbir 230	. . 3 ⊢ Rel dom ↾t
14	13	ovprc2 7442	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (∅ ↾t 𝐴) = ∅)
15	8, 14	pm2.61i 182	1 ⊢ (∅ ↾t 𝐴) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   ∩ cin 3940  ∅c0 4315   ↦ cmpt 5222   × cxp 5665  dom cdm 5667  ran crn 5668  Rel wrel 5672  (class class class)co 7402   ↾_t crest 17371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-rest 17373

This theorem is referenced by:  firest  17383  topnval  17385  resstopn  23034  ussval  24108  bj-rest00  36462