Theorem 0rest 17605

Description: Value of the structure restriction when the topology input is empty. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0rest	⊢ (∅ ↾t 𝐴) = ∅

Proof of Theorem 0rest

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5260	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2		restval 17602	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (∅ ↾t 𝐴) = ran (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)))
3	1, 2	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ↾t 𝐴) = ran (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)))
4		mpt0 6681	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)) = ∅
5	4	rneqi 5918	. . . 4 ⊢ ran (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)) = ran ∅
6		rn0 5907	. . . 4 ⊢ ran ∅ = ∅
7	5, 6	eqtri 2783	. . 3 ⊢ ran (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)) = ∅
8	3, 7	eqtrdi 2811	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ↾t 𝐴) = ∅)
9		relxp 5668	. . . 4 ⊢ Rel (V × V)
10		restfn 17600	. . . . . 6 ⊢ ↾t Fn (V × V)
11	10	fndmi 6643	. . . . 5 ⊢ dom ↾t = (V × V)
12	11	releqi 5753	. . . 4 ⊢ (Rel dom ↾t ↔ Rel (V × V))
13	9, 12	mpbir 234	. . 3 ⊢ Rel dom ↾t
14	13	ovprc2 7460	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (∅ ↾t 𝐴) = ∅)
15	8, 14	pm2.61i 184	1 ⊢ (∅ ↾t 𝐴) = ∅

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ∩ cin 4089  ∅c0 4278   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648  dom cdm 5650  ran crn 5651  Rel wrel 5655  (class class class)co 7420   ↾_t crest 17596

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-rest 17598

This theorem is used by:  firest  17608  topnval  17610  resstopn  23509  ussval  24583  bj-rest00  38094