Theorem 0rest 17472

Description: Value of the structure restriction when the topology input is empty. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0rest	⊢ (∅ ↾t 𝐴) = ∅

Proof of Theorem 0rest

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5262	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2		restval 17469	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (∅ ↾t 𝐴) = ran (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)))
3	1, 2	mpan 702	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ↾t 𝐴) = ran (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)))
4		mpt0 6667	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)) = ∅
5	4	rneqi 5918	. . . 4 ⊢ ran (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)) = ran ∅
6		rn0 5907	. . . 4 ⊢ ran ∅ = ∅
7	5, 6	eqtri 2788	. . 3 ⊢ ran (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)) = ∅
8	3, 7	eqtrdi 2816	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ↾t 𝐴) = ∅)
9		relxp 5670	. . . 4 ⊢ Rel (V × V)
10		restfn 17467	. . . . . 6 ⊢ ↾t Fn (V × V)
11	10	fndmi 6629	. . . . 5 ⊢ dom ↾t = (V × V)
12	11	releqi 5755	. . . 4 ⊢ (Rel dom ↾t ↔ Rel (V × V))
13	9, 12	mpbir 234	. . 3 ⊢ Rel dom ↾t
14	13	ovprc2 7440	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (∅ ↾t 𝐴) = ∅)
15	8, 14	pm2.61i 184	1 ⊢ (∅ ↾t 𝐴) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ∩ cin 3906  ∅c0 4288   ↦ cmpt 5186   × cxp 5650  dom cdm 5652  ran crn 5653  Rel wrel 5657  (class class class)co 7400   ↾_t crest 17463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-rest 17465

This theorem is referenced by:  firest  17475  topnval  17477  resstopn  23304  ussval  24377  bj-rest00  37583