MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressbasssOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressbasssOLD 17223
Description: Obsolete proof of ressbas 17218 as of 25-Feb-2025. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbas.r 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
ressbas.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ressbasssOLD (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem ressbasssOLD
StepHypRef Expression
1 ressbas.r . . . 4 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
2 ressbas.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
31, 2ressbas 17218 . . 3 (𝐴 ∈ V → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
4 inss2 4228 . . 3 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵
53, 4eqsstrrdi 4032 . 2 (𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵)
6 reldmress 17214 . . . . . 6 Rel dom ↾s
76ovprc2 7459 . . . . 5 𝐴 ∈ V → (𝑊s 𝐴) = ∅)
81, 7eqtrid 2777 . . . 4 𝐴 ∈ V → 𝑅 = ∅)
98fveq2d 6900 . . 3 𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘∅))
10 base0 17188 . . . 4 ∅ = (Base‘∅)
11 0ss 4398 . . . 4 ∅ ⊆ 𝐵
1210, 11eqsstrri 4012 . . 3 (Base‘∅) ⊆ 𝐵
139, 12eqsstrdi 4031 . 2 𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵)
145, 13pm2.61i 182 1 (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3461  cin 3943  wss 3944  c0 4322  cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  s cress 17212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-1cn 11198  ax-addcl 11200
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-nn 12246  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator