Theorem ressbasssOLD 17333

Description: Obsolete version of ressbas 17329 as of 25-Feb-2025. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbasssOLD	⊢ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem ressbasssOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbas.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
2		ressbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	1, 2	ressbas 17329	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
4		inss2 4183	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
5	3, 4	eqsstrrdi 3976	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵)
6		reldmress 17325	. . . . . 6 ⊢ Rel dom ↾s
7	6	ovprc2 7454	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝐴) = ∅)
8	1, 7	eqtrid 2807	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝑅 = ∅)
9	8	fveq2d 6883	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘∅))
10		base0 17307	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
11		0ss 4350	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝐵
12	10, 11	eqsstrri 3978	. . 3 ⊢ (Base‘∅) ⊆ 𝐵
13	9, 12	eqsstrdi 3975	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵)
14	5, 13	pm2.61i 184	1 ⊢ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17302   ↾_s cress 17323

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-1cn 11183  ax-addcl 11185

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-nn 12259  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324

This theorem is used by: (None)