Theorem ressbasssOLD 17151

Description: Obsolete version of ressbas 17147 as of 25-Feb-2025. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbasssOLD	⊢ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem ressbasssOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbas.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
2		ressbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	1, 2	ressbas 17147	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
4		inss2 4189	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
5	3, 4	eqsstrrdi 3981	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵)
6		reldmress 17143	. . . . . 6 ⊢ Rel dom ↾s
7	6	ovprc2 7389	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝐴) = ∅)
8	1, 7	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝑅 = ∅)
9	8	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘∅))
10		base0 17125	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
11		0ss 4351	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝐵
12	10, 11	eqsstrri 3983	. . 3 ⊢ (Base‘∅) ⊆ 𝐵
13	9, 12	eqsstrdi 3980	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵)
14	5, 13	pm2.61i 182	1 ⊢ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-1cn 11067  ax-addcl 11069

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-nn 12129  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142

This theorem is referenced by: (None)