Theorem ply1ascl 22276

Description: The univariate polynomial ring inherits the multivariate ring's scalar function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Proof shortened by Fan Zheng, 26-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1ascl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1ascl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1ascl	⊢ 𝐴 = (algSc‘(1o mPoly 𝑅))

Proof of Theorem ply1ascl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1ascl.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
2		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
3		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(1o mPoly 𝑅)) = (Scalar‘(1o mPoly 𝑅))
4		ply1ascl.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1sca 22269	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
6	5	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
7		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
8		1on 8516	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ On
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ V → 1o ∈ On)
10		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 ∈ V)
11	7, 9, 10	mplsca 22050	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 = (Scalar‘(1o mPoly 𝑅)))
12	11	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(1o mPoly 𝑅))))
13		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
14	4, 7, 13	ply1vsca 22241	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅))
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅)))
16	15	oveqdr 7458	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅))𝑦))
17		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
18	7, 4, 17	ply1mpl1 22275	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘(1o mPoly 𝑅))
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (1r‘𝑃) = (1r‘(1o mPoly 𝑅)))
20		fvexd 6921	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (1r‘𝑃) ∈ V)
21	2, 3, 6, 12, 16, 19, 20	asclpropd 21934	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (algSc‘𝑃) = (algSc‘(1o mPoly 𝑅)))
22		fvprc 6898	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Poly1‘𝑅) = ∅)
23	4, 22	eqtrid 2786	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑃 = ∅)
24		reldmmpl 22025	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mPoly
25	24	ovprc2 7470	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1o mPoly 𝑅) = ∅)
26	23, 25	eqtr4d 2777	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑃 = (1o mPoly 𝑅))
27	26	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (algSc‘𝑃) = (algSc‘(1o mPoly 𝑅)))
28	21, 27	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘(1o mPoly 𝑅))
29	1, 28	eqtri 2762	1 ⊢ 𝐴 = (algSc‘(1o mPoly 𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  Vcvv 3477  ∅c0 4338  Oncon0 6385  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  1_oc1o 8497  Basecbs 17244  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  1_rcur 20198  algSccascl 21889   mPoly cmpl 21943  Poly₁cpl1 22193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-tset 17316  df-ple 17317  df-0g 17487  df-mgp 20152  df-ur 20199  df-ascl 21892  df-psr 21946  df-mpl 21948  df-opsr 21950  df-psr1 22196  df-ply1 22198

This theorem is referenced by:  subrg1ascl  22277  subrg1asclcl  22278  evls1sca  22342  evl1sca  22353  pf1ind  22374  deg1le0  26164