Theorem ply1ascl 22290

Description: The univariate polynomial ring inherits the multivariate ring's scalar function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Proof shortened by Fan Zheng, 26-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1ascl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1ascl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1ascl	⊢ 𝐴 = (algSc‘(1o mPoly 𝑅))

Proof of Theorem ply1ascl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1ascl.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
2		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
3		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(1o mPoly 𝑅)) = (Scalar‘(1o mPoly 𝑅))
4		ply1ascl.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1sca 22283	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
6	5	fveq2d 6856	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
7		eqid 2752	. . . . . 6 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
8		1on 8434	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ On
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ V → 1o ∈ On)
10		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 ∈ V)
11	7, 9, 10	mplsca 22033	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 = (Scalar‘(1o mPoly 𝑅)))
12	11	fveq2d 6856	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(1o mPoly 𝑅))))
13		eqid 2752	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
14	4, 7, 13	ply1vsca 22255	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅))
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅)))
16	15	oveqdr 7409	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅))𝑦))
17		eqid 2752	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
18	7, 4, 17	ply1mpl1 22289	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘(1o mPoly 𝑅))
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (1r‘𝑃) = (1r‘(1o mPoly 𝑅)))
20		fvexd 6867	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (1r‘𝑃) ∈ V)
21	2, 3, 6, 12, 16, 19, 20	asclpropd 21918	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (algSc‘𝑃) = (algSc‘(1o mPoly 𝑅)))
22		fvprc 6844	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Poly1‘𝑅) = ∅)
23	4, 22	eqtrid 2799	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑃 = ∅)
24		reldmmpl 22008	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mPoly
25	24	ovprc2 7421	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1o mPoly 𝑅) = ∅)
26	23, 25	eqtr4d 2790	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑃 = (1o mPoly 𝑅))
27	26	fveq2d 6856	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (algSc‘𝑃) = (algSc‘(1o mPoly 𝑅)))
28	21, 27	pm2.61i 183	. 2 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘(1o mPoly 𝑅))
29	1, 28	eqtri 2775	1 ⊢ 𝐴 = (algSc‘(1o mPoly 𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  Vcvv 3444  ∅c0 4276  Oncon0 6331  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  1_oc1o 8414  Basecbs 17217  Scalarcsca 17261   ·_𝑠 cvsca 17262  1_rcur 20199  algSccascl 21873   mPoly cmpl 21927  Poly₁cpl1 22208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-of 7645  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-supp 8125  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-er 8662  df-map 8794  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-fsupp 9294  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-z 12555  df-dec 12675  df-uz 12826  df-fz 13499  df-struct 17155  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-tset 17277  df-ple 17278  df-0g 17442  df-mgp 20159  df-ur 20200  df-ascl 21876  df-psr 21930  df-mpl 21932  df-opsr 21934  df-psr1 22211  df-ply1 22213

This theorem is referenced by:  subrg1ascl  22291  subrg1asclcl  22292  evls1sca  22355  evl1sca  22366  pf1ind  22387  deg1le0  26140  selvply1rhmlem2  33762