Theorem ply1ascl 20967

Description: The univariate polynomial ring inherits the multivariate ring's scalar function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Proof shortened by Fan Zheng, 26-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1ascl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1ascl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1ascl	⊢ 𝐴 = (algSc‘(1o mPoly 𝑅))

Proof of Theorem ply1ascl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1ascl.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
2		eqid 2759	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
3		eqid 2759	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(1o mPoly 𝑅)) = (Scalar‘(1o mPoly 𝑅))
4		ply1ascl.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1sca 20962	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
6	5	fveq2d 6655	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
7		eqid 2759	. . . . . 6 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
8		1on 8112	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ On
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ V → 1o ∈ On)
10		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 ∈ V)
11	7, 9, 10	mplsca 20761	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 = (Scalar‘(1o mPoly 𝑅)))
12	11	fveq2d 6655	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(1o mPoly 𝑅))))
13		eqid 2759	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
14	4, 7, 13	ply1vsca 20935	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅))
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅)))
16	15	oveqdr 7171	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅))𝑦))
17		eqid 2759	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
18	7, 4, 17	ply1mpl1 20966	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘(1o mPoly 𝑅))
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (1r‘𝑃) = (1r‘(1o mPoly 𝑅)))
20		fvexd 6666	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (1r‘𝑃) ∈ V)
21	2, 3, 6, 12, 16, 19, 20	asclpropd 20645	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (algSc‘𝑃) = (algSc‘(1o mPoly 𝑅)))
22		fvprc 6643	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Poly1‘𝑅) = ∅)
23	4, 22	syl5eq 2806	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑃 = ∅)
24		reldmmpl 20740	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mPoly
25	24	ovprc2 7183	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1o mPoly 𝑅) = ∅)
26	23, 25	eqtr4d 2797	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑃 = (1o mPoly 𝑅))
27	26	fveq2d 6655	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (algSc‘𝑃) = (algSc‘(1o mPoly 𝑅)))
28	21, 27	pm2.61i 185	. 2 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘(1o mPoly 𝑅))
29	1, 28	eqtri 2782	1 ⊢ 𝐴 = (algSc‘(1o mPoly 𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  Vcvv 3407  ∅c0 4221  Oncon0 6162  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  1_oc1o 8098  Basecbs 16526  Scalarcsca 16611   ·_𝑠 cvsca 16612  1_rcur 19304  algSccascl 20602   mPoly cmpl 20653  Poly₁cpl1 20886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-int 4832  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-of 7398  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-supp 7829  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-fin 8524  df-fsupp 8852  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-4 11724  df-5 11725  df-6 11726  df-7 11727  df-8 11728  df-9 11729  df-n0 11920  df-z 12006  df-dec 12123  df-uz 12268  df-fz 12925  df-struct 16528  df-ndx 16529  df-slot 16530  df-base 16532  df-sets 16533  df-ress 16534  df-plusg 16621  df-mulr 16622  df-sca 16624  df-vsca 16625  df-tset 16627  df-ple 16628  df-0g 16758  df-mgp 19293  df-ur 19305  df-ascl 20605  df-psr 20656  df-mpl 20658  df-opsr 20660  df-psr1 20889  df-ply1 20891

This theorem is referenced by:  subrg1ascl  20968  subrg1asclcl  20969  evls1sca  21027  evl1sca  21038  pf1ind  21059  deg1le0  24796