Theorem ply1ascl 22223

Description: The univariate polynomial ring inherits the multivariate ring's scalar function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Proof shortened by Fan Zheng, 26-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1ascl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1ascl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1ascl	⊢ 𝐴 = (algSc‘(1o mPoly 𝑅))

Proof of Theorem ply1ascl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1ascl.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(1o mPoly 𝑅)) = (Scalar‘(1o mPoly 𝑅))
4		ply1ascl.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1sca 22216	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
6	5	fveq2d 6845	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
7		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
8		1on 8417	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ On
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ V → 1o ∈ On)
10		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 ∈ V)
11	7, 9, 10	mplsca 21991	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 = (Scalar‘(1o mPoly 𝑅)))
12	11	fveq2d 6845	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(1o mPoly 𝑅))))
13		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
14	4, 7, 13	ply1vsca 22188	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅))
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅)))
16	15	oveqdr 7395	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅))𝑦))
17		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
18	7, 4, 17	ply1mpl1 22222	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘(1o mPoly 𝑅))
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (1r‘𝑃) = (1r‘(1o mPoly 𝑅)))
20		fvexd 6856	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (1r‘𝑃) ∈ V)
21	2, 3, 6, 12, 16, 19, 20	asclpropd 21877	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (algSc‘𝑃) = (algSc‘(1o mPoly 𝑅)))
22		fvprc 6833	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Poly1‘𝑅) = ∅)
23	4, 22	eqtrid 2784	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑃 = ∅)
24		reldmmpl 21966	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mPoly
25	24	ovprc2 7407	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1o mPoly 𝑅) = ∅)
26	23, 25	eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑃 = (1o mPoly 𝑅))
27	26	fveq2d 6845	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (algSc‘𝑃) = (algSc‘(1o mPoly 𝑅)))
28	21, 27	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘(1o mPoly 𝑅))
29	1, 28	eqtri 2760	1 ⊢ 𝐴 = (algSc‘(1o mPoly 𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ∅c0 4274  Oncon0 6324  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  1_oc1o 8398  Basecbs 17179  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  1_rcur 20162  algSccascl 21832   mPoly cmpl 21886  Poly₁cpl1 22140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-tset 17239  df-ple 17240  df-0g 17404  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ascl 21835  df-psr 21889  df-mpl 21891  df-opsr 21893  df-psr1 22143  df-ply1 22145

This theorem is referenced by:  subrg1ascl  22224  subrg1asclcl  22225  evls1sca  22288  evl1sca  22299  pf1ind  22320  deg1le0  26076