Theorem resstopn 23129

Description: The topology of a restricted structure. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
resstopn.1	⊢ 𝐻 = (𝐾 ↾s 𝐴)
resstopn.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
resstopn	⊢ (𝐽 ↾t 𝐴) = (TopOpen‘𝐻)

Proof of Theorem resstopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6845	. . . . 5 ⊢ (TopSet‘𝐾) ∈ V
2		fvex 6845	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) ∈ V
3		restco 23107	. . . . 5 ⊢ (((TopSet‘𝐾) ∈ V ∧ (Base‘𝐾) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) ↾t 𝐴) = ((TopSet‘𝐾) ↾t ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
4	1, 2, 3	mp3an12 1454	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) ↾t 𝐴) = ((TopSet‘𝐾) ↾t ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
5		resstopn.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝐾 ↾s 𝐴)
6		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘𝐾)
7	5, 6	resstset 17286	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘𝐻))
8		incom 4150	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (Base‘𝐾))
9		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
10	5, 9	ressbas 17164	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘𝐻))
11	8, 10	eqtrid 2784	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) = (Base‘𝐻))
12	7, 11	oveq12d 7376	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((TopSet‘𝐾) ↾t ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = ((TopSet‘𝐻) ↾t (Base‘𝐻)))
13	4, 12	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) ↾t 𝐴) = ((TopSet‘𝐻) ↾t (Base‘𝐻)))
14	9, 6	topnval 17355	. . . . 5 ⊢ ((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) = (TopOpen‘𝐾)
15		resstopn.2	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
16	14, 15	eqtr4i 2763	. . . 4 ⊢ ((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) = 𝐽
17	16	oveq1i 7368	. . 3 ⊢ (((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) ↾t 𝐴) = (𝐽 ↾t 𝐴)
18		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
19		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (TopSet‘𝐻) = (TopSet‘𝐻)
20	18, 19	topnval 17355	. . 3 ⊢ ((TopSet‘𝐻) ↾t (Base‘𝐻)) = (TopOpen‘𝐻)
21	13, 17, 20	3eqtr3g 2795	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐽 ↾t 𝐴) = (TopOpen‘𝐻))
22		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
23		restfn 17345	. . . . . 6 ⊢ ↾t Fn (V × V)
24	23	fndmi 6594	. . . . 5 ⊢ dom ↾t = (V × V)
25	24	ndmov 7542	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐽 ↾t 𝐴) = ∅)
26	22, 25	nsyl5 159	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐽 ↾t 𝐴) = ∅)
27		reldmress 17160	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel dom ↾s
28	27	ovprc2 7398	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐾 ↾s 𝐴) = ∅)
29	5, 28	eqtrid 2784	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝐻 = ∅)
30	29	fveq2d 6836	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (TopSet‘𝐻) = (TopSet‘∅))
31		tsetid 17274	. . . . . . 7 ⊢ TopSet = Slot (TopSet‘ndx)
32	31	str0 17117	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (TopSet‘∅)
33	30, 32	eqtr4di 2790	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (TopSet‘𝐻) = ∅)
34	33	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((TopSet‘𝐻) ↾t (Base‘𝐻)) = (∅ ↾t (Base‘𝐻)))
35		0rest 17350	. . . 4 ⊢ (∅ ↾t (Base‘𝐻)) = ∅
36	34, 20, 35	3eqtr3g 2795	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (TopOpen‘𝐻) = ∅)
37	26, 36	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐽 ↾t 𝐴) = (TopOpen‘𝐻))
38	21, 37	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐽 ↾t 𝐴) = (TopOpen‘𝐻)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∩ cin 3889  ∅c0 4274   × cxp 5620  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ndxcnx 17121  Basecbs 17137   ↾_s cress 17158  TopSetcts 17184   ↾_t crest 17341  TopOpenctopn 17342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-tset 17197  df-rest 17343  df-topn 17344

This theorem is referenced by:  resstps  23130  submtmd  24047  subgtgp  24048  tsmssubm  24086  invrcn2  24123  ressusp  24207  ressxms  24468  ressms  24469  nrgtdrg  24636  tgioo3  24749  dfii4  24829  retopn  25324  rspectopn  34017  xrge0topn  34093  lmxrge0  34102  qqtopn  34161