Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resstopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resstopn 21368
 Description: The topology of a restricted structure. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resstopn.1 𝐻 = (𝐾s 𝐴)
resstopn.2 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
resstopn (𝐽t 𝐴) = (TopOpen‘𝐻)

Proof of Theorem resstopn
StepHypRef Expression
1 fvex 6450 . . . . 5 (TopSet‘𝐾) ∈ V
2 fvex 6450 . . . . 5 (Base‘𝐾) ∈ V
3 restco 21346 . . . . 5 (((TopSet‘𝐾) ∈ V ∧ (Base‘𝐾) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) ↾t 𝐴) = ((TopSet‘𝐾) ↾t ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
41, 2, 3mp3an12 1579 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) ↾t 𝐴) = ((TopSet‘𝐾) ↾t ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
5 resstopn.1 . . . . . 6 𝐻 = (𝐾s 𝐴)
6 eqid 2825 . . . . . 6 (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘𝐾)
75, 6resstset 16412 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘𝐻))
8 incom 4034 . . . . . 6 ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (Base‘𝐾))
9 eqid 2825 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
105, 9ressbas 16300 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘𝐻))
118, 10syl5eq 2873 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) = (Base‘𝐻))
127, 11oveq12d 6928 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ((TopSet‘𝐾) ↾t ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = ((TopSet‘𝐻) ↾t (Base‘𝐻)))
134, 12eqtrd 2861 . . 3 (𝐴 ∈ V → (((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) ↾t 𝐴) = ((TopSet‘𝐻) ↾t (Base‘𝐻)))
149, 6topnval 16455 . . . . 5 ((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) = (TopOpen‘𝐾)
15 resstopn.2 . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
1614, 15eqtr4i 2852 . . . 4 ((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) = 𝐽
1716oveq1i 6920 . . 3 (((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) ↾t 𝐴) = (𝐽t 𝐴)
18 eqid 2825 . . . 4 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
19 eqid 2825 . . . 4 (TopSet‘𝐻) = (TopSet‘𝐻)
2018, 19topnval 16455 . . 3 ((TopSet‘𝐻) ↾t (Base‘𝐻)) = (TopOpen‘𝐻)
2113, 17, 203eqtr3g 2884 . 2 (𝐴 ∈ V → (𝐽t 𝐴) = (TopOpen‘𝐻))
22 simpr 479 . . . . 5 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
2322con3i 152 . . . 4 𝐴 ∈ V → ¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
24 restfn 16445 . . . . . 6 t Fn (V × V)
25 fndm 6227 . . . . . 6 ( ↾t Fn (V × V) → dom ↾t = (V × V))
2624, 25ax-mp 5 . . . . 5 dom ↾t = (V × V)
2726ndmov 7083 . . . 4 (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐽t 𝐴) = ∅)
2823, 27syl 17 . . 3 𝐴 ∈ V → (𝐽t 𝐴) = ∅)
29 reldmress 16296 . . . . . . . . 9 Rel dom ↾s
3029ovprc2 6949 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ V → (𝐾s 𝐴) = ∅)
315, 30syl5eq 2873 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V → 𝐻 = ∅)
3231fveq2d 6441 . . . . . 6 𝐴 ∈ V → (TopSet‘𝐻) = (TopSet‘∅))
33 df-tset 16331 . . . . . . 7 TopSet = Slot 9
3433str0 16281 . . . . . 6 ∅ = (TopSet‘∅)
3532, 34syl6eqr 2879 . . . . 5 𝐴 ∈ V → (TopSet‘𝐻) = ∅)
3635oveq1d 6925 . . . 4 𝐴 ∈ V → ((TopSet‘𝐻) ↾t (Base‘𝐻)) = (∅ ↾t (Base‘𝐻)))
37 0rest 16450 . . . 4 (∅ ↾t (Base‘𝐻)) = ∅
3836, 20, 373eqtr3g 2884 . . 3 𝐴 ∈ V → (TopOpen‘𝐻) = ∅)
3928, 38eqtr4d 2864 . 2 𝐴 ∈ V → (𝐽t 𝐴) = (TopOpen‘𝐻))
4021, 39pm2.61i 177 1 (𝐽t 𝐴) = (TopOpen‘𝐻)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  Vcvv 3414   ∩ cin 3797  ∅c0 4146   × cxp 5344  dom cdm 5346   Fn wfn 6122  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  9c9 11420  Basecbs 16229   ↾s cress 16230  TopSetcts 16318   ↾t crest 16441  TopOpenctopn 16442 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-tset 16331  df-rest 16443  df-topn 16444 This theorem is referenced by:  resstps  21369  submtmd  22285  subgtgp  22286  tsmssubm  22323  invrcn2  22360  ressusp  22446  ressxms  22707  ressms  22708  nrgtdrg  22874  tgioo3  22985  dfii4  23064  retopn  23554  xrge0topn  30530  lmxrge0  30539  qqtopn  30596
 Copyright terms: Public domain W3C validator