Theorem resstopn 21788

Description: The topology of a restricted structure. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
resstopn.1	⊢ 𝐻 = (𝐾 ↾s 𝐴)
resstopn.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
resstopn	⊢ (𝐽 ↾t 𝐴) = (TopOpen‘𝐻)

Proof of Theorem resstopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6678	. . . . 5 ⊢ (TopSet‘𝐾) ∈ V
2		fvex 6678	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) ∈ V
3		restco 21766	. . . . 5 ⊢ (((TopSet‘𝐾) ∈ V ∧ (Base‘𝐾) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) ↾t 𝐴) = ((TopSet‘𝐾) ↾t ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
4	1, 2, 3	mp3an12 1447	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) ↾t 𝐴) = ((TopSet‘𝐾) ↾t ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
5		resstopn.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝐾 ↾s 𝐴)
6		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘𝐾)
7	5, 6	resstset 16659	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘𝐻))
8		incom 4178	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (Base‘𝐾))
9		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
10	5, 9	ressbas 16548	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘𝐻))
11	8, 10	syl5eq 2868	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) = (Base‘𝐻))
12	7, 11	oveq12d 7168	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((TopSet‘𝐾) ↾t ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = ((TopSet‘𝐻) ↾t (Base‘𝐻)))
13	4, 12	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) ↾t 𝐴) = ((TopSet‘𝐻) ↾t (Base‘𝐻)))
14	9, 6	topnval 16702	. . . . 5 ⊢ ((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) = (TopOpen‘𝐾)
15		resstopn.2	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
16	14, 15	eqtr4i 2847	. . . 4 ⊢ ((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) = 𝐽
17	16	oveq1i 7160	. . 3 ⊢ (((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) ↾t 𝐴) = (𝐽 ↾t 𝐴)
18		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
19		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (TopSet‘𝐻) = (TopSet‘𝐻)
20	18, 19	topnval 16702	. . 3 ⊢ ((TopSet‘𝐻) ↾t (Base‘𝐻)) = (TopOpen‘𝐻)
21	13, 17, 20	3eqtr3g 2879	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐽 ↾t 𝐴) = (TopOpen‘𝐻))
22		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
23	22	con3i 157	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
24		restfn 16692	. . . . . 6 ⊢ ↾t Fn (V × V)
25		fndm 6450	. . . . . 6 ⊢ ( ↾t Fn (V × V) → dom ↾t = (V × V))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ dom ↾t = (V × V)
27	26	ndmov 7326	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐽 ↾t 𝐴) = ∅)
28	23, 27	syl 17	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐽 ↾t 𝐴) = ∅)
29		reldmress 16544	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel dom ↾s
30	29	ovprc2 7190	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐾 ↾s 𝐴) = ∅)
31	5, 30	syl5eq 2868	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝐻 = ∅)
32	31	fveq2d 6669	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (TopSet‘𝐻) = (TopSet‘∅))
33		df-tset 16578	. . . . . . 7 ⊢ TopSet = Slot 9
34	33	str0 16529	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (TopSet‘∅)
35	32, 34	syl6eqr 2874	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (TopSet‘𝐻) = ∅)
36	35	oveq1d 7165	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((TopSet‘𝐻) ↾t (Base‘𝐻)) = (∅ ↾t (Base‘𝐻)))
37		0rest 16697	. . . 4 ⊢ (∅ ↾t (Base‘𝐻)) = ∅
38	36, 20, 37	3eqtr3g 2879	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (TopOpen‘𝐻) = ∅)
39	28, 38	eqtr4d 2859	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐽 ↾t 𝐴) = (TopOpen‘𝐻))
40	21, 39	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐽 ↾t 𝐴) = (TopOpen‘𝐻)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3495   ∩ cin 3935  ∅c0 4291   × cxp 5548  dom cdm 5550   Fn wfn 6345  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  9c9 11693  Basecbs 16477   ↾_s cress 16478  TopSetcts 16565   ↾_t crest 16688  TopOpenctopn 16689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-tset 16578  df-rest 16690  df-topn 16691

This theorem is referenced by:  resstps  21789  submtmd  22706  subgtgp  22707  tsmssubm  22745  invrcn2  22782  ressusp  22868  ressxms  23129  ressms  23130  nrgtdrg  23296  tgioo3  23407  dfii4  23486  retopn  23976  xrge0topn  31181  lmxrge0  31190  qqtopn  31247