Theorem resstopn 22337

Description: The topology of a restricted structure. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
resstopn.1	⊢ 𝐻 = (𝐾 ↾s 𝐴)
resstopn.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
resstopn	⊢ (𝐽 ↾t 𝐴) = (TopOpen‘𝐻)

Proof of Theorem resstopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6787	. . . . 5 ⊢ (TopSet‘𝐾) ∈ V
2		fvex 6787	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) ∈ V
3		restco 22315	. . . . 5 ⊢ (((TopSet‘𝐾) ∈ V ∧ (Base‘𝐾) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) ↾t 𝐴) = ((TopSet‘𝐾) ↾t ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
4	1, 2, 3	mp3an12 1450	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) ↾t 𝐴) = ((TopSet‘𝐾) ↾t ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
5		resstopn.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝐾 ↾s 𝐴)
6		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘𝐾)
7	5, 6	resstset 17075	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘𝐻))
8		incom 4135	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (Base‘𝐾))
9		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
10	5, 9	ressbas 16947	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘𝐻))
11	8, 10	eqtrid 2790	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) = (Base‘𝐻))
12	7, 11	oveq12d 7293	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((TopSet‘𝐾) ↾t ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = ((TopSet‘𝐻) ↾t (Base‘𝐻)))
13	4, 12	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) ↾t 𝐴) = ((TopSet‘𝐻) ↾t (Base‘𝐻)))
14	9, 6	topnval 17145	. . . . 5 ⊢ ((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) = (TopOpen‘𝐾)
15		resstopn.2	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
16	14, 15	eqtr4i 2769	. . . 4 ⊢ ((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) = 𝐽
17	16	oveq1i 7285	. . 3 ⊢ (((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) ↾t 𝐴) = (𝐽 ↾t 𝐴)
18		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
19		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (TopSet‘𝐻) = (TopSet‘𝐻)
20	18, 19	topnval 17145	. . 3 ⊢ ((TopSet‘𝐻) ↾t (Base‘𝐻)) = (TopOpen‘𝐻)
21	13, 17, 20	3eqtr3g 2801	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐽 ↾t 𝐴) = (TopOpen‘𝐻))
22		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
23		restfn 17135	. . . . . 6 ⊢ ↾t Fn (V × V)
24	23	fndmi 6537	. . . . 5 ⊢ dom ↾t = (V × V)
25	24	ndmov 7456	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐽 ↾t 𝐴) = ∅)
26	22, 25	nsyl5 159	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐽 ↾t 𝐴) = ∅)
27		reldmress 16943	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel dom ↾s
28	27	ovprc2 7315	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐾 ↾s 𝐴) = ∅)
29	5, 28	eqtrid 2790	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝐻 = ∅)
30	29	fveq2d 6778	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (TopSet‘𝐻) = (TopSet‘∅))
31		tsetid 17063	. . . . . . 7 ⊢ TopSet = Slot (TopSet‘ndx)
32	31	str0 16890	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (TopSet‘∅)
33	30, 32	eqtr4di 2796	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (TopSet‘𝐻) = ∅)
34	33	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((TopSet‘𝐻) ↾t (Base‘𝐻)) = (∅ ↾t (Base‘𝐻)))
35		0rest 17140	. . . 4 ⊢ (∅ ↾t (Base‘𝐻)) = ∅
36	34, 20, 35	3eqtr3g 2801	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (TopOpen‘𝐻) = ∅)
37	26, 36	eqtr4d 2781	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐽 ↾t 𝐴) = (TopOpen‘𝐻))
38	21, 37	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐽 ↾t 𝐴) = (TopOpen‘𝐻)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ∩ cin 3886  ∅c0 4256   × cxp 5587  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ndxcnx 16894  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941  TopSetcts 16968   ↾_t crest 17131  TopOpenctopn 17132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-tset 16981  df-rest 17133  df-topn 17134

This theorem is referenced by:  resstps  22338  submtmd  23255  subgtgp  23256  tsmssubm  23294  invrcn2  23331  ressusp  23416  ressxms  23681  ressms  23682  nrgtdrg  23857  tgioo3  23968  dfii4  24047  retopn  24543  rspectopn  31817  xrge0topn  31893  lmxrge0  31902  qqtopn  31961