Theorem resstopn 23215

Description: The topology of a restricted structure. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
resstopn.1	⊢ 𝐻 = (𝐾 ↾s 𝐴)
resstopn.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
resstopn	⊢ (𝐽 ↾t 𝐴) = (TopOpen‘𝐻)

Proof of Theorem resstopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6933	. . . . 5 ⊢ (TopSet‘𝐾) ∈ V
2		fvex 6933	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) ∈ V
3		restco 23193	. . . . 5 ⊢ (((TopSet‘𝐾) ∈ V ∧ (Base‘𝐾) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) ↾t 𝐴) = ((TopSet‘𝐾) ↾t ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
4	1, 2, 3	mp3an12 1451	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) ↾t 𝐴) = ((TopSet‘𝐾) ↾t ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
5		resstopn.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝐾 ↾s 𝐴)
6		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘𝐾)
7	5, 6	resstset 17424	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘𝐻))
8		incom 4230	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (Base‘𝐾))
9		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
10	5, 9	ressbas 17293	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘𝐻))
11	8, 10	eqtrid 2792	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) = (Base‘𝐻))
12	7, 11	oveq12d 7466	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((TopSet‘𝐾) ↾t ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = ((TopSet‘𝐻) ↾t (Base‘𝐻)))
13	4, 12	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) ↾t 𝐴) = ((TopSet‘𝐻) ↾t (Base‘𝐻)))
14	9, 6	topnval 17494	. . . . 5 ⊢ ((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) = (TopOpen‘𝐾)
15		resstopn.2	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
16	14, 15	eqtr4i 2771	. . . 4 ⊢ ((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) = 𝐽
17	16	oveq1i 7458	. . 3 ⊢ (((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) ↾t 𝐴) = (𝐽 ↾t 𝐴)
18		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
19		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (TopSet‘𝐻) = (TopSet‘𝐻)
20	18, 19	topnval 17494	. . 3 ⊢ ((TopSet‘𝐻) ↾t (Base‘𝐻)) = (TopOpen‘𝐻)
21	13, 17, 20	3eqtr3g 2803	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐽 ↾t 𝐴) = (TopOpen‘𝐻))
22		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
23		restfn 17484	. . . . . 6 ⊢ ↾t Fn (V × V)
24	23	fndmi 6683	. . . . 5 ⊢ dom ↾t = (V × V)
25	24	ndmov 7634	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐽 ↾t 𝐴) = ∅)
26	22, 25	nsyl5 159	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐽 ↾t 𝐴) = ∅)
27		reldmress 17289	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel dom ↾s
28	27	ovprc2 7488	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐾 ↾s 𝐴) = ∅)
29	5, 28	eqtrid 2792	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝐻 = ∅)
30	29	fveq2d 6924	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (TopSet‘𝐻) = (TopSet‘∅))
31		tsetid 17412	. . . . . . 7 ⊢ TopSet = Slot (TopSet‘ndx)
32	31	str0 17236	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (TopSet‘∅)
33	30, 32	eqtr4di 2798	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (TopSet‘𝐻) = ∅)
34	33	oveq1d 7463	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((TopSet‘𝐻) ↾t (Base‘𝐻)) = (∅ ↾t (Base‘𝐻)))
35		0rest 17489	. . . 4 ⊢ (∅ ↾t (Base‘𝐻)) = ∅
36	34, 20, 35	3eqtr3g 2803	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (TopOpen‘𝐻) = ∅)
37	26, 36	eqtr4d 2783	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐽 ↾t 𝐴) = (TopOpen‘𝐻))
38	21, 37	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐽 ↾t 𝐴) = (TopOpen‘𝐻)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∩ cin 3975  ∅c0 4352   × cxp 5698  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ndxcnx 17240  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  TopSetcts 17317   ↾_t crest 17480  TopOpenctopn 17481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-tset 17330  df-rest 17482  df-topn 17483

This theorem is referenced by:  resstps  23216  submtmd  24133  subgtgp  24134  tsmssubm  24172  invrcn2  24209  ressusp  24294  ressxms  24559  ressms  24560  nrgtdrg  24735  tgioo3  24846  dfii4  24929  retopn  25432  rspectopn  33813  xrge0topn  33889  lmxrge0  33898  qqtopn  33957