Theorem zrhval 21433

Description: Define the unique homomorphism from the integers to a ring or field. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
zrhval.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhval	⊢ 𝐿 = ∪ (ℤring RingHom 𝑅)

Proof of Theorem zrhval

Dummy variables 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrhval.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
2		oveq2 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (ℤring RingHom 𝑟) = (ℤring RingHom 𝑅))
3	2	unieqd 4921	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ∪ (ℤring RingHom 𝑟) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
4		df-zrh 21429	. . . 4 ⊢ ℤRHom = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ (ℤring RingHom 𝑟))
5		ovex 7453	. . . . 5 ⊢ (ℤring RingHom 𝑅) ∈ V
6	5	uniex 7746	. . . 4 ⊢ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) ∈ V
7	3, 4, 6	fvmpt 7005	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (ℤRHom‘𝑅) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
8		fvprc 6889	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (ℤRHom‘𝑅) = ∅)
9		dfrhm2 20413	. . . . . . . 8 ⊢ RingHom = (𝑟 ∈ Ring, 𝑠 ∈ Ring ↦ ((𝑟 GrpHom 𝑠) ∩ ((mulGrp‘𝑟) MndHom (mulGrp‘𝑠))))
10	9	reldmmpo 7555	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom RingHom
11	10	ovprc2 7460	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (ℤring RingHom 𝑅) = ∅)
12	11	unieqd 4921	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ∪ (ℤring RingHom 𝑅) = ∪ ∅)
13		uni0 4938	. . . . 5 ⊢ ∪ ∅ = ∅
14	12, 13	eqtrdi 2784	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ∪ (ℤring RingHom 𝑅) = ∅)
15	8, 14	eqtr4d 2771	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (ℤRHom‘𝑅) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
16	7, 15	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅)
17	1, 16	eqtri 2756	1 ⊢ 𝐿 = ∪ (ℤring RingHom 𝑅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471   ∩ cin 3946  ∅c0 4323  ∪ cuni 4908  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420   MndHom cmhm 18738   GrpHom cghm 19167  mulGrpcmgp 20074  Ringcrg 20173   RingHom crh 20408  ℤ_ringczring 21372  ℤRHomczrh 21425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-plusg 17246  df-0g 17423  df-mhm 18740  df-ghm 19168  df-mgp 20075  df-ur 20122  df-ring 20175  df-rhm 20411  df-zrh 21429

This theorem is referenced by:  zrhval2  21434  zrhpropd  21440