Theorem zrhval 21518

Description: Define the unique homomorphism from the integers to a ring or field. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
zrhval.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhval	⊢ 𝐿 = ∪ (ℤring RingHom 𝑅)

Proof of Theorem zrhval

Dummy variables 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrhval.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
2		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (ℤring RingHom 𝑟) = (ℤring RingHom 𝑅))
3	2	unieqd 4920	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ∪ (ℤring RingHom 𝑟) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
4		df-zrh 21514	. . . 4 ⊢ ℤRHom = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ (ℤring RingHom 𝑟))
5		ovex 7464	. . . . 5 ⊢ (ℤring RingHom 𝑅) ∈ V
6	5	uniex 7761	. . . 4 ⊢ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) ∈ V
7	3, 4, 6	fvmpt 7016	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (ℤRHom‘𝑅) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
8		fvprc 6898	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (ℤRHom‘𝑅) = ∅)
9		dfrhm2 20474	. . . . . . . 8 ⊢ RingHom = (𝑟 ∈ Ring, 𝑠 ∈ Ring ↦ ((𝑟 GrpHom 𝑠) ∩ ((mulGrp‘𝑟) MndHom (mulGrp‘𝑠))))
10	9	reldmmpo 7567	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom RingHom
11	10	ovprc2 7471	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (ℤring RingHom 𝑅) = ∅)
12	11	unieqd 4920	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ∪ (ℤring RingHom 𝑅) = ∪ ∅)
13		uni0 4935	. . . . 5 ⊢ ∪ ∅ = ∅
14	12, 13	eqtrdi 2793	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ∪ (ℤring RingHom 𝑅) = ∅)
15	8, 14	eqtr4d 2780	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (ℤRHom‘𝑅) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
16	7, 15	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅)
17	1, 16	eqtri 2765	1 ⊢ 𝐿 = ∪ (ℤring RingHom 𝑅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ∩ cin 3950  ∅c0 4333  ∪ cuni 4907  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   MndHom cmhm 18794   GrpHom cghm 19230  mulGrpcmgp 20137  Ringcrg 20230   RingHom crh 20469  ℤ_ringczring 21457  ℤRHomczrh 21510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mhm 18796  df-ghm 19231  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-rhm 20472  df-zrh 21514

This theorem is referenced by:  zrhval2  21519  zrhpropd  21525