Theorem zrhval 21500

Description: Define the unique homomorphism from the integers to a ring or field. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
zrhval.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhval	⊢ 𝐿 = ∪ (ℤring RingHom 𝑅)

Proof of Theorem zrhval

Dummy variables 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrhval.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
2		oveq2 7369	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (ℤring RingHom 𝑟) = (ℤring RingHom 𝑅))
3	2	unieqd 4864	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ∪ (ℤring RingHom 𝑟) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
4		df-zrh 21496	. . . 4 ⊢ ℤRHom = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ (ℤring RingHom 𝑟))
5		ovex 7394	. . . . 5 ⊢ (ℤring RingHom 𝑅) ∈ V
6	5	uniex 7689	. . . 4 ⊢ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) ∈ V
7	3, 4, 6	fvmpt 6942	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (ℤRHom‘𝑅) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
8		fvprc 6827	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (ℤRHom‘𝑅) = ∅)
9		dfrhm2 20448	. . . . . . . 8 ⊢ RingHom = (𝑟 ∈ Ring, 𝑠 ∈ Ring ↦ ((𝑟 GrpHom 𝑠) ∩ ((mulGrp‘𝑟) MndHom (mulGrp‘𝑠))))
10	9	reldmmpo 7495	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom RingHom
11	10	ovprc2 7401	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (ℤring RingHom 𝑅) = ∅)
12	11	unieqd 4864	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ∪ (ℤring RingHom 𝑅) = ∪ ∅)
13		uni0 4879	. . . . 5 ⊢ ∪ ∅ = ∅
14	12, 13	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ∪ (ℤring RingHom 𝑅) = ∅)
15	8, 14	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (ℤRHom‘𝑅) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
16	7, 15	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅)
17	1, 16	eqtri 2760	1 ⊢ 𝐿 = ∪ (ℤring RingHom 𝑅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∩ cin 3889  ∅c0 4274  ∪ cuni 4851  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   MndHom cmhm 18743   GrpHom cghm 19181  mulGrpcmgp 20115  Ringcrg 20208   RingHom crh 20443  ℤ_ringczring 21439  ℤRHomczrh 21492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-plusg 17227  df-0g 17398  df-mhm 18745  df-ghm 19182  df-mgp 20116  df-ur 20157  df-ring 20210  df-rhm 20446  df-zrh 21496

This theorem is referenced by:  zrhval2  21501  zrhpropd  21507