Theorem zrhval 21536

Description: Define the unique homomorphism from the integers to a ring or field. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
zrhval.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhval	⊢ 𝐿 = ∪ (ℤring RingHom 𝑅)

Proof of Theorem zrhval

Dummy variables 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrhval.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
2		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (ℤring RingHom 𝑟) = (ℤring RingHom 𝑅))
3	2	unieqd 4925	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ∪ (ℤring RingHom 𝑟) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
4		df-zrh 21532	. . . 4 ⊢ ℤRHom = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ (ℤring RingHom 𝑟))
5		ovex 7464	. . . . 5 ⊢ (ℤring RingHom 𝑅) ∈ V
6	5	uniex 7760	. . . 4 ⊢ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) ∈ V
7	3, 4, 6	fvmpt 7016	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (ℤRHom‘𝑅) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
8		fvprc 6899	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (ℤRHom‘𝑅) = ∅)
9		dfrhm2 20491	. . . . . . . 8 ⊢ RingHom = (𝑟 ∈ Ring, 𝑠 ∈ Ring ↦ ((𝑟 GrpHom 𝑠) ∩ ((mulGrp‘𝑟) MndHom (mulGrp‘𝑠))))
10	9	reldmmpo 7567	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom RingHom
11	10	ovprc2 7471	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (ℤring RingHom 𝑅) = ∅)
12	11	unieqd 4925	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ∪ (ℤring RingHom 𝑅) = ∪ ∅)
13		uni0 4940	. . . . 5 ⊢ ∪ ∅ = ∅
14	12, 13	eqtrdi 2791	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ∪ (ℤring RingHom 𝑅) = ∅)
15	8, 14	eqtr4d 2778	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (ℤRHom‘𝑅) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
16	7, 15	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅)
17	1, 16	eqtri 2763	1 ⊢ 𝐿 = ∪ (ℤring RingHom 𝑅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ∩ cin 3962  ∅c0 4339  ∪ cuni 4912  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   MndHom cmhm 18807   GrpHom cghm 19243  mulGrpcmgp 20152  Ringcrg 20251   RingHom crh 20486  ℤ_ringczring 21475  ℤRHomczrh 21528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mhm 18809  df-ghm 19244  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-rhm 20489  df-zrh 21532

This theorem is referenced by:  zrhval2  21537  zrhpropd  21543