Theorem zrhval 21439

Description: Define the unique homomorphism from the integers to a ring or field. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
zrhval.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhval	⊢ 𝐿 = ∪ (ℤring RingHom 𝑅)

Proof of Theorem zrhval

Dummy variables 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrhval.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
2		oveq2 7349	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (ℤring RingHom 𝑟) = (ℤring RingHom 𝑅))
3	2	unieqd 4867	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ∪ (ℤring RingHom 𝑟) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
4		df-zrh 21435	. . . 4 ⊢ ℤRHom = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ (ℤring RingHom 𝑟))
5		ovex 7374	. . . . 5 ⊢ (ℤring RingHom 𝑅) ∈ V
6	5	uniex 7669	. . . 4 ⊢ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) ∈ V
7	3, 4, 6	fvmpt 6924	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (ℤRHom‘𝑅) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
8		fvprc 6809	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (ℤRHom‘𝑅) = ∅)
9		dfrhm2 20387	. . . . . . . 8 ⊢ RingHom = (𝑟 ∈ Ring, 𝑠 ∈ Ring ↦ ((𝑟 GrpHom 𝑠) ∩ ((mulGrp‘𝑟) MndHom (mulGrp‘𝑠))))
10	9	reldmmpo 7475	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom RingHom
11	10	ovprc2 7381	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (ℤring RingHom 𝑅) = ∅)
12	11	unieqd 4867	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ∪ (ℤring RingHom 𝑅) = ∪ ∅)
13		uni0 4882	. . . . 5 ⊢ ∪ ∅ = ∅
14	12, 13	eqtrdi 2782	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ∪ (ℤring RingHom 𝑅) = ∅)
15	8, 14	eqtr4d 2769	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (ℤRHom‘𝑅) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
16	7, 15	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅)
17	1, 16	eqtri 2754	1 ⊢ 𝐿 = ∪ (ℤring RingHom 𝑅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∩ cin 3896  ∅c0 4278  ∪ cuni 4854  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   MndHom cmhm 18684   GrpHom cghm 19119  mulGrpcmgp 20053  Ringcrg 20146   RingHom crh 20382  ℤ_ringczring 21378  ℤRHomczrh 21431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-plusg 17169  df-0g 17340  df-mhm 18686  df-ghm 19120  df-mgp 20054  df-ur 20095  df-ring 20148  df-rhm 20385  df-zrh 21435

This theorem is referenced by:  zrhval2  21440  zrhpropd  21446