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Theorem submomnd 31967
Description: A submonoid of an ordered monoid is also ordered. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
submomnd ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ oMnd)

Proof of Theorem submomnd
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . 2 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd)
2 omndtos 31962 . . . 4 (𝑀 ∈ oMnd β†’ 𝑀 ∈ Toset)
32adantr 482 . . 3 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) β†’ 𝑀 ∈ Toset)
4 reldmress 17119 . . . . . . . 8 Rel dom β†Ύs
54ovprc2 7398 . . . . . . 7 (Β¬ 𝐴 ∈ V β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = βˆ…)
65fveq2d 6847 . . . . . 6 (Β¬ 𝐴 ∈ V β†’ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) = (Baseβ€˜βˆ…))
76adantl 483 . . . . 5 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ V) β†’ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) = (Baseβ€˜βˆ…))
8 base0 17093 . . . . 5 βˆ… = (Baseβ€˜βˆ…)
97, 8eqtr4di 2791 . . . 4 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ V) β†’ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) = βˆ…)
10 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) = (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))
11 eqid 2733 . . . . . . . 8 (0gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) = (0gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))
1210, 11mndidcl 18576 . . . . . . 7 ((𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd β†’ (0gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))
1312ne0d 4296 . . . . . 6 ((𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd β†’ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) β‰  βˆ…)
1413ad2antlr 726 . . . . 5 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ V) β†’ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) β‰  βˆ…)
1514neneqd 2945 . . . 4 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ V) β†’ Β¬ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) = βˆ…)
169, 15condan 817 . . 3 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) β†’ 𝐴 ∈ V)
17 resstos 31876 . . 3 ((𝑀 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Toset)
183, 16, 17syl2anc 585 . 2 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Toset)
19 simplll 774 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) ∧ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏) β†’ 𝑀 ∈ oMnd)
20 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (𝑀 β†Ύs 𝐴)
21 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
2220, 21ressbas 17123 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ V β†’ (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘€)) = (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))
23 inss2 4190 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘€)) βŠ† (Baseβ€˜π‘€)
2422, 23eqsstrrdi 4000 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V β†’ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
2516, 24syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) β†’ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
2625ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) ∧ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏) β†’ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
27 simplr1 1216 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) ∧ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))
2826, 27sseldd 3946 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) ∧ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€))
29 simplr2 1217 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) ∧ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))
3026, 29sseldd 3946 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) ∧ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€))
31 simplr3 1218 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) ∧ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏) β†’ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))
3226, 31sseldd 3946 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) ∧ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏) β†’ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘€))
33 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (leβ€˜π‘€) = (leβ€˜π‘€)
3420, 33ressle 17266 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ V β†’ (leβ€˜π‘€) = (leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))
3516, 34syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) β†’ (leβ€˜π‘€) = (leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))
3635adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) β†’ (leβ€˜π‘€) = (leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))
3736breqd 5117 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) β†’ (π‘Ž(leβ€˜π‘€)𝑏 ↔ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏))
3837biimpar 479 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) ∧ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏) β†’ π‘Ž(leβ€˜π‘€)𝑏)
39 eqid 2733 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
4021, 33, 39omndadd 31963 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) ∧ π‘Ž(leβ€˜π‘€)𝑏) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑐)(leβ€˜π‘€)(𝑏(+gβ€˜π‘€)𝑐))
4119, 28, 30, 32, 38, 40syl131anc 1384 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) ∧ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑐)(leβ€˜π‘€)(𝑏(+gβ€˜π‘€)𝑐))
4216adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) β†’ 𝐴 ∈ V)
4320, 39ressplusg 17176 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V β†’ (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) β†’ (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))
4544oveqd 7375 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑐) = (π‘Ž(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐))
4642, 34syl 17 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) β†’ (leβ€˜π‘€) = (leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))
4744oveqd 7375 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) β†’ (𝑏(+gβ€˜π‘€)𝑐) = (𝑏(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐))
4845, 46, 47breq123d 5120 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑐)(leβ€˜π‘€)(𝑏(+gβ€˜π‘€)𝑐) ↔ (π‘Ž(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐)(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))(𝑏(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐)))
4948adantr 482 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) ∧ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑐)(leβ€˜π‘€)(𝑏(+gβ€˜π‘€)𝑐) ↔ (π‘Ž(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐)(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))(𝑏(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐)))
5041, 49mpbid 231 . . . 4 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) ∧ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐)(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))(𝑏(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐))
5150ex 414 . . 3 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) β†’ (π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏 β†’ (π‘Ž(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐)(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))(𝑏(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐)))
5251ralrimivvva 3197 . 2 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))(π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏 β†’ (π‘Ž(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐)(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))(𝑏(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐)))
53 eqid 2733 . . 3 (+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) = (+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))
54 eqid 2733 . . 3 (leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) = (leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))
5510, 53, 54isomnd 31958 . 2 ((𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ oMnd ↔ ((𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Toset ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))(π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏 β†’ (π‘Ž(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐)(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))(𝑏(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐))))
561, 18, 52, 55syl3anbrc 1344 1 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ oMnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088   β†Ύs cress 17117  +gcplusg 17138  lecple 17145  0gc0g 17326  Tosetctos 18310  Mndcmnd 18561  oMndcomnd 31954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-dec 12624  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-ple 17158  df-0g 17328  df-poset 18207  df-toset 18311  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-omnd 31956
This theorem is referenced by:  suborng  32157  nn0omnd  32184
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