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Theorem submomnd 32215
Description: A submonoid of an ordered monoid is also ordered. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
submomnd ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ oMnd)
Proof of Theorem submomnd
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . 2 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd)
2 omndtos 32210 . . . 4 (𝑀 ∈ oMnd β†’ 𝑀 ∈ Toset)
32adantr 481 . . 3 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) β†’ 𝑀 ∈ Toset)
4 reldmress 17171 . . . . . . . 8 Rel dom β†Ύs
54ovprc2 7445 . . . . . . 7 (Β¬ 𝐴 ∈ V β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = βˆ…)
65fveq2d 6892 . . . . . 6 (Β¬ 𝐴 ∈ V β†’ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) = (Baseβ€˜βˆ…))
76adantl 482 . . . . 5 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ V) β†’ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) = (Baseβ€˜βˆ…))
8 base0 17145 . . . . 5 βˆ… = (Baseβ€˜βˆ…)
97, 8eqtr4di 2790 . . . 4 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ V) β†’ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) = βˆ…)
10 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) = (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))
11 eqid 2732 . . . . . . . 8 (0gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) = (0gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))
1210, 11mndidcl 18636 . . . . . . 7 ((𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd β†’ (0gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))
1312ne0d 4334 . . . . . 6 ((𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd β†’ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) β‰  βˆ…)
1413ad2antlr 725 . . . . 5 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ V) β†’ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) β‰  βˆ…)
1514neneqd 2945 . . . 4 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ V) β†’ Β¬ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) = βˆ…)
169, 15condan 816 . . 3 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) β†’ 𝐴 ∈ V)
17 resstos 32124 . . 3 ((𝑀 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Toset)
183, 16, 17syl2anc 584 . 2 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Toset)
19 simplll 773 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) ∧ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏) β†’ 𝑀 ∈ oMnd)
20 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (𝑀 β†Ύs 𝐴)
21 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
2220, 21ressbas 17175 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ V β†’ (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘€)) = (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))
23 inss2 4228 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘€)) βŠ† (Baseβ€˜π‘€)
2422, 23eqsstrrdi 4036 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V β†’ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
2516, 24syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) β†’ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
2625ad2antrr 724 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) ∧ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏) β†’ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
27 simplr1 1215 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) ∧ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))
2826, 27sseldd 3982 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) ∧ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€))
29 simplr2 1216 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) ∧ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))
3026, 29sseldd 3982 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) ∧ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€))
31 simplr3 1217 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) ∧ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏) β†’ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))
3226, 31sseldd 3982 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) ∧ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏) β†’ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘€))
33 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (leβ€˜π‘€) = (leβ€˜π‘€)
3420, 33ressle 17321 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ V β†’ (leβ€˜π‘€) = (leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))
3516, 34syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) β†’ (leβ€˜π‘€) = (leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))
3635adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) β†’ (leβ€˜π‘€) = (leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))
3736breqd 5158 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) β†’ (π‘Ž(leβ€˜π‘€)𝑏 ↔ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏))
3837biimpar 478 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) ∧ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏) β†’ π‘Ž(leβ€˜π‘€)𝑏)
39 eqid 2732 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
4021, 33, 39omndadd 32211 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) ∧ π‘Ž(leβ€˜π‘€)𝑏) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑐)(leβ€˜π‘€)(𝑏(+gβ€˜π‘€)𝑐))
4119, 28, 30, 32, 38, 40syl131anc 1383 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) ∧ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑐)(leβ€˜π‘€)(𝑏(+gβ€˜π‘€)𝑐))
4216adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) β†’ 𝐴 ∈ V)
4320, 39ressplusg 17231 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V β†’ (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) β†’ (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))
4544oveqd 7422 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑐) = (π‘Ž(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐))
4642, 34syl 17 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) β†’ (leβ€˜π‘€) = (leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))
4744oveqd 7422 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) β†’ (𝑏(+gβ€˜π‘€)𝑐) = (𝑏(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐))
4845, 46, 47breq123d 5161 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑐)(leβ€˜π‘€)(𝑏(+gβ€˜π‘€)𝑐) ↔ (π‘Ž(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐)(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))(𝑏(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐)))
4948adantr 481 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) ∧ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑐)(leβ€˜π‘€)(𝑏(+gβ€˜π‘€)𝑐) ↔ (π‘Ž(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐)(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))(𝑏(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐)))
5041, 49mpbid 231 . . . 4 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) ∧ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐)(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))(𝑏(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐))
5150ex 413 . . 3 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) β†’ (π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏 β†’ (π‘Ž(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐)(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))(𝑏(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐)))
5251ralrimivvva 3203 . 2 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))(π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏 β†’ (π‘Ž(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐)(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))(𝑏(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐)))
53 eqid 2732 . . 3 (+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) = (+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))
54 eqid 2732 . . 3 (leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) = (leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))
5510, 53, 54isomnd 32206 . 2 ((𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ oMnd ↔ ((𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Toset ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))(π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏 β†’ (π‘Ž(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐)(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))(𝑏(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐))))
561, 18, 52, 55syl3anbrc 1343 1 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ oMnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  +gcplusg 17193  lecple 17200  0gc0g 17381  Tosetctos 18365  Mndcmnd 18621  oMndcomnd 32202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-dec 12674  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-ple 17213  df-0g 17383  df-poset 18262  df-toset 18366  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-omnd 32204
This theorem is referenced by:  suborng  32421  nn0omnd  32448
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