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Theorem submomnd 32498
Description: A submonoid of an ordered monoid is also ordered. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
submomnd ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ oMnd)
Proof of Theorem submomnd
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . 2 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd)
2 omndtos 32493 . . . 4 (𝑀 ∈ oMnd β†’ 𝑀 ∈ Toset)
32adantr 479 . . 3 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) β†’ 𝑀 ∈ Toset)
4 reldmress 17179 . . . . . . . 8 Rel dom β†Ύs
54ovprc2 7451 . . . . . . 7 (Β¬ 𝐴 ∈ V β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = βˆ…)
65fveq2d 6894 . . . . . 6 (Β¬ 𝐴 ∈ V β†’ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) = (Baseβ€˜βˆ…))
76adantl 480 . . . . 5 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ V) β†’ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) = (Baseβ€˜βˆ…))
8 base0 17153 . . . . 5 βˆ… = (Baseβ€˜βˆ…)
97, 8eqtr4di 2788 . . . 4 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ V) β†’ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) = βˆ…)
10 eqid 2730 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) = (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))
11 eqid 2730 . . . . . . . 8 (0gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) = (0gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))
1210, 11mndidcl 18674 . . . . . . 7 ((𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd β†’ (0gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))
1312ne0d 4334 . . . . . 6 ((𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd β†’ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) β‰  βˆ…)
1413ad2antlr 723 . . . . 5 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ V) β†’ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) β‰  βˆ…)
1514neneqd 2943 . . . 4 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ V) β†’ Β¬ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) = βˆ…)
169, 15condan 814 . . 3 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) β†’ 𝐴 ∈ V)
17 resstos 32404 . . 3 ((𝑀 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Toset)
183, 16, 17syl2anc 582 . 2 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Toset)
19 simplll 771 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) ∧ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏) β†’ 𝑀 ∈ oMnd)
20 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (𝑀 β†Ύs 𝐴)
21 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
2220, 21ressbas 17183 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ V β†’ (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘€)) = (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))
23 inss2 4228 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘€)) βŠ† (Baseβ€˜π‘€)
2422, 23eqsstrrdi 4036 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V β†’ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
2516, 24syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) β†’ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
2625ad2antrr 722 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) ∧ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏) β†’ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
27 simplr1 1213 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) ∧ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))
2826, 27sseldd 3982 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) ∧ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€))
29 simplr2 1214 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) ∧ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))
3026, 29sseldd 3982 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) ∧ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€))
31 simplr3 1215 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) ∧ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏) β†’ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))
3226, 31sseldd 3982 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) ∧ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏) β†’ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘€))
33 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (leβ€˜π‘€) = (leβ€˜π‘€)
3420, 33ressle 17329 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ V β†’ (leβ€˜π‘€) = (leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))
3516, 34syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) β†’ (leβ€˜π‘€) = (leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))
3635adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) β†’ (leβ€˜π‘€) = (leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))
3736breqd 5158 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) β†’ (π‘Ž(leβ€˜π‘€)𝑏 ↔ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏))
3837biimpar 476 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) ∧ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏) β†’ π‘Ž(leβ€˜π‘€)𝑏)
39 eqid 2730 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
4021, 33, 39omndadd 32494 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) ∧ π‘Ž(leβ€˜π‘€)𝑏) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑐)(leβ€˜π‘€)(𝑏(+gβ€˜π‘€)𝑐))
4119, 28, 30, 32, 38, 40syl131anc 1381 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) ∧ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑐)(leβ€˜π‘€)(𝑏(+gβ€˜π‘€)𝑐))
4216adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) β†’ 𝐴 ∈ V)
4320, 39ressplusg 17239 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V β†’ (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) β†’ (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))
4544oveqd 7428 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑐) = (π‘Ž(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐))
4642, 34syl 17 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) β†’ (leβ€˜π‘€) = (leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))
4744oveqd 7428 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) β†’ (𝑏(+gβ€˜π‘€)𝑐) = (𝑏(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐))
4845, 46, 47breq123d 5161 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑐)(leβ€˜π‘€)(𝑏(+gβ€˜π‘€)𝑐) ↔ (π‘Ž(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐)(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))(𝑏(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐)))
4948adantr 479 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) ∧ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑐)(leβ€˜π‘€)(𝑏(+gβ€˜π‘€)𝑐) ↔ (π‘Ž(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐)(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))(𝑏(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐)))
5041, 49mpbid 231 . . . 4 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) ∧ π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐)(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))(𝑏(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐))
5150ex 411 . . 3 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)))) β†’ (π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏 β†’ (π‘Ž(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐)(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))(𝑏(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐)))
5251ralrimivvva 3201 . 2 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))(π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏 β†’ (π‘Ž(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐)(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))(𝑏(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐)))
53 eqid 2730 . . 3 (+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) = (+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))
54 eqid 2730 . . 3 (leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴)) = (leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))
5510, 53, 54isomnd 32489 . 2 ((𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ oMnd ↔ ((𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Toset ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))(π‘Ž(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑏 β†’ (π‘Ž(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐)(leβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))(𝑏(+gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝐴))𝑐))))
561, 18, 52, 55syl3anbrc 1341 1 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ oMnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148   β†Ύs cress 17177  +gcplusg 17201  lecple 17208  0gc0g 17389  Tosetctos 18373  Mndcmnd 18659  oMndcomnd 32485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-dec 12682  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-ple 17221  df-0g 17391  df-poset 18270  df-toset 18374  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-omnd 32487
This theorem is referenced by:  suborng  32703  nn0omnd  32730
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