Theorem 2aryenef 45420

Description: The set of binary (endo)functions and the set of binary operations are equinumerous. (Contributed by AV, 19-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2aryenef	⊢ (2-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))

Proof of Theorem 2aryenef

Dummy variables 𝑓 ℎ 𝑥 𝑦 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7176	. . . . . 6 ⊢ (2-aryF 𝑋) ∈ V
2	1	mptex 6970	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))) ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))) ∈ V)
4		eqid 2759	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))) = (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
5	4	2arymaptf1o 45419	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))):(2-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))
6		f1oeq1 6583	. . . 4 ⊢ (ℎ = (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))) → (ℎ:(2-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))):(2-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))))
7	3, 5, 6	spcedv 3515	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → ∃ℎ ℎ:(2-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))
8		bren 8529	. . 3 ⊢ ((2-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) ↔ ∃ℎ ℎ:(2-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))
9	7, 8	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ V → (2-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))
10		0ex 5170	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
11	10	enref 8553	. . . 4 ⊢ ∅ ≈ ∅
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ∅ ≈ ∅)
13		df-naryf 45391	. . . . 5 ⊢ -aryF = (𝑛 ∈ ℕ0, 𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 ↑m (𝑥 ↑m (0..^𝑛))))
14	13	reldmmpo 7273	. . . 4 ⊢ Rel dom -aryF
15	14	ovprc2 7183	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (2-aryF 𝑋) = ∅)
16		reldmmap 8418	. . . 4 ⊢ Rel dom ↑m
17	16	ovprc1 7182	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) = ∅)
18	12, 15, 17	3brtr4d 5057	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (2-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))
19	9, 18	pm2.61i 185	1 ⊢ (2-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3  ∃wex 1782   ∈ wcel 2112  Vcvv 3407  ∅c0 4221  {cpr 4517  ⟨cop 4521   class class class wbr 5025   ↦ cmpt 5105   × cxp 5515  –1-1-onto→wf1o 6327  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143   ∈ cmpo 7145   ↑_m cmap 8409   ≈ cen 8517  0cc0 10560  1c1 10561  2c2 11714  ℕ₀cn0 11919  ..^cfzo 13067  -aryF cnaryf 45390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-2 11722  df-n0 11920  df-z 12006  df-uz 12268  df-fz 12925  df-fzo 13068  df-naryf 45391

This theorem is referenced by: (None)