Theorem 2aryenef 49045

Description: The set of binary (endo)functions and the set of binary operations are equinumerous. (Contributed by AV, 19-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2aryenef	⊢ (2-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))

Proof of Theorem 2aryenef

Dummy variables 𝑓 ℎ 𝑥 𝑦 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7403	. . . . . 6 ⊢ (2-aryF 𝑋) ∈ V
2	1	mptex 7181	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))) ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))) ∈ V)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))) = (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
5	4	2arymaptf1o 49044	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))):(2-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))
6		f1oeq1 6772	. . . 4 ⊢ (ℎ = (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))) → (ℎ:(2-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))):(2-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))))
7	3, 5, 6	spcedv 3554	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → ∃ℎ ℎ:(2-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))
8		bren 8907	. . 3 ⊢ ((2-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) ↔ ∃ℎ ℎ:(2-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))
9	7, 8	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ V → (2-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))
10		0ex 5256	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
11	10	enref 8936	. . . 4 ⊢ ∅ ≈ ∅
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ∅ ≈ ∅)
13		df-naryf 49016	. . . . 5 ⊢ -aryF = (𝑛 ∈ ℕ0, 𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 ↑m (𝑥 ↑m (0..^𝑛))))
14	13	reldmmpo 7504	. . . 4 ⊢ Rel dom -aryF
15	14	ovprc2 7410	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (2-aryF 𝑋) = ∅)
16		reldmmap 8786	. . . 4 ⊢ Rel dom ↑m
17	16	ovprc1 7409	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) = ∅)
18	12, 15, 17	3brtr4d 5132	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (2-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))
19	9, 18	pm2.61i 182	1 ⊢ (2-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  ∅c0 4287  {cpr 4584  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   × cxp 5632  –1-1-onto→wf1o 6501  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370   ∈ cmpo 7372   ↑_m cmap 8777   ≈ cen 8894  0cc0 11040  1c1 11041  2c2 12214  ℕ₀cn0 12415  ..^cfzo 13584  -aryF cnaryf 49015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-naryf 49016

This theorem is referenced by: (None)