Theorem 2aryenef 47296

Description: The set of binary (endo)functions and the set of binary operations are equinumerous. (Contributed by AV, 19-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2aryenef	⊢ (2-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))

Proof of Theorem 2aryenef

Dummy variables 𝑓 ℎ 𝑥 𝑦 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7439	. . . . . 6 ⊢ (2-aryF 𝑋) ∈ V
2	1	mptex 7222	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))) ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))) ∈ V)
4		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))) = (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
5	4	2arymaptf1o 47295	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))):(2-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))
6		f1oeq1 6819	. . . 4 ⊢ (ℎ = (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))) → (ℎ:(2-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))):(2-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))))
7	3, 5, 6	spcedv 3589	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → ∃ℎ ℎ:(2-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))
8		bren 8946	. . 3 ⊢ ((2-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) ↔ ∃ℎ ℎ:(2-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))
9	7, 8	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ V → (2-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))
10		0ex 5307	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
11	10	enref 8978	. . . 4 ⊢ ∅ ≈ ∅
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ∅ ≈ ∅)
13		df-naryf 47267	. . . . 5 ⊢ -aryF = (𝑛 ∈ ℕ0, 𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 ↑m (𝑥 ↑m (0..^𝑛))))
14	13	reldmmpo 7540	. . . 4 ⊢ Rel dom -aryF
15	14	ovprc2 7446	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (2-aryF 𝑋) = ∅)
16		reldmmap 8826	. . . 4 ⊢ Rel dom ↑m
17	16	ovprc1 7445	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) = ∅)
18	12, 15, 17	3brtr4d 5180	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (2-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))
19	9, 18	pm2.61i 182	1 ⊢ (2-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3  ∃wex 1782   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  ∅c0 4322  {cpr 4630  ⟨cop 4634   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   × cxp 5674  –1-1-onto→wf1o 6540  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406   ∈ cmpo 7408   ↑_m cmap 8817   ≈ cen 8933  0cc0 11107  1c1 11108  2c2 12264  ℕ₀cn0 12469  ..^cfzo 13624  -aryF cnaryf 47266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-naryf 47267

This theorem is referenced by: (None)