Theorem 2aryenef 49651

Description: The set of binary (endo)functions and the set of binary operations are equinumerous. (Contributed by AV, 19-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2aryenef	⊢ (2-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))

Proof of Theorem 2aryenef

Dummy variables 𝑓 ℎ 𝑥 𝑦 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7449	. . . . . 6 ⊢ (2-aryF 𝑋) ∈ V
2	1	mptex 7225	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))) ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))) ∈ V)
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))) = (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
5	4	2arymaptf1o 49650	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))):(2-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))
6		f1oeq1 6808	. . . 4 ⊢ (ℎ = (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))) → (ℎ:(2-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))):(2-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))))
7	3, 5, 6	spcedv 3552	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → ∃ℎ ℎ:(2-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))
8		bren 8969	. . 3 ⊢ ((2-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) ↔ ∃ℎ ℎ:(2-aryF 𝑋)–1-1-onto→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))
9	7, 8	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ V → (2-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))
10		0ex 5264	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
11	10	enref 8998	. . . 4 ⊢ ∅ ≈ ∅
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ∅ ≈ ∅)
13		df-naryf 49622	. . . . 5 ⊢ -aryF = (𝑛 ∈ ℕ0, 𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 ↑m (𝑥 ↑m (0..^𝑛))))
14	13	reldmmpo 7550	. . . 4 ⊢ Rel dom -aryF
15	14	ovprc2 7456	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (2-aryF 𝑋) = ∅)
16		reldmmap 8841	. . . 4 ⊢ Rel dom ↑m
17	16	ovprc1 7455	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) = ∅)
18	12, 15, 17	3brtr4d 5137	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (2-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))
19	9, 18	pm2.61i 184	1 ⊢ (2-aryF 𝑋) ≈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  ∅c0 4279  {cpr 4586  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   × cxp 5653  –1-1-onto→wf1o 6534  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418   ↑_m cmap 8833   ≈ cen 8956  0cc0 11149  1c1 11150  2c2 12344  ℕ₀cn0 12553  ..^cfzo 13734  -aryF cnaryf 49621

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-2 12352  df-n0 12554  df-z 12641  df-uz 12913  df-fz 13587  df-fzo 13735  df-naryf 49622

This theorem is used by: (None)