Theorem dsmmval2 21283

Description: Self-referential definition of the module direct sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dsmmval2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
dsmmval2	⊢ (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵)

Proof of Theorem dsmmval2

Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4077	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin} ⊆ (Base‘(𝑆Xs𝑅))
2		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆Xs𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin}) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin})
3		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
4	2, 3	ressbas2 17179	. . . . . 6 ⊢ ({𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin} ⊆ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) → {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin} = (Base‘((𝑆Xs𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin})))
5	1, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin} = (Base‘((𝑆Xs𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin}))
6	5	oveq2i 7417	. . . 4 ⊢ ((𝑆Xs𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin}) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘((𝑆Xs𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin})))
7		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin}
8	7	dsmmval 21281	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin}))
9	8	fveq2d 6893	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)) = (Base‘((𝑆Xs𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin})))
10	9	oveq2d 7422	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘((𝑆Xs𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin}))))
11	6, 8, 10	3eqtr4a 2799	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))))
12		ress0 17185	. . . . 5 ⊢ (∅ ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))) = ∅
13	12	eqcomi 2742	. . . 4 ⊢ ∅ = (∅ ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
14		reldmdsmm 21280	. . . . 5 ⊢ Rel dom ⊕m
15	14	ovprc2 7446	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑆 ⊕m 𝑅) = ∅)
16		reldmprds 17391	. . . . . 6 ⊢ Rel dom Xs
17	16	ovprc2 7446	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑆Xs𝑅) = ∅)
18	17	oveq1d 7421	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))) = (∅ ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))))
19	13, 15, 18	3eqtr4a 2799	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))))
20	11, 19	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
21		dsmmval2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
22	21	oveq2i 7417	. 2 ⊢ ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
23	20, 22	eqtr4i 2764	1 ⊢ (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  {crab 3433  Vcvv 3475   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  dom cdm 5676  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  Fincfn 8936  Basecbs 17141   ↾_s cress 17170  0_gc0g 17382  X_scprds 17388   ⊕_m cdsmm 21278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-hom 17218  df-cco 17219  df-prds 17390  df-dsmm 21279

This theorem is referenced by:  dsmmfi  21285  dsmmlmod  21292  frlmpws  21297