Theorem dsmmval2 21955

Description: Self-referential definition of the module direct sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dsmmval2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
dsmmval2	⊢ (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵)

Proof of Theorem dsmmval2

Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4031	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin} ⊆ (Base‘(𝑆Xs𝑅))
2		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆Xs𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin}) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin})
3		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
4	2, 3	ressbas2 17336	. . . . . 6 ⊢ ({𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin} ⊆ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) → {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin} = (Base‘((𝑆Xs𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin})))
5	1, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin} = (Base‘((𝑆Xs𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin}))
6	5	oveq2i 7428	. . . 4 ⊢ ((𝑆Xs𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin}) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘((𝑆Xs𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin})))
7		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin}
8	7	dsmmval 21953	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin}))
9	8	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)) = (Base‘((𝑆Xs𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin})))
10	9	oveq2d 7433	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘((𝑆Xs𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin}))))
11	6, 8, 10	3eqtr4a 2823	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))))
12		ress0 17341	. . . . 5 ⊢ (∅ ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))) = ∅
13	12	eqcomi 2771	. . . 4 ⊢ ∅ = (∅ ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
14		reldmdsmm 21952	. . . . 5 ⊢ Rel dom ⊕m
15	14	ovprc2 7457	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑆 ⊕m 𝑅) = ∅)
16		reldmprds 17539	. . . . . 6 ⊢ Rel dom Xs
17	16	ovprc2 7457	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑆Xs𝑅) = ∅)
18	17	oveq1d 7432	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))) = (∅ ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))))
19	13, 15, 18	3eqtr4a 2823	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))))
20	11, 19	pm2.61i 184	. 2 ⊢ (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
21		dsmmval2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
22	21	oveq2i 7428	. 2 ⊢ ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
23	20, 22	eqtr4i 2788	1 ⊢ (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  {crab 3414  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  dom cdm 5659  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Fincfn 8956  Basecbs 17307   ↾_s cress 17328  0_gc0g 17530  X_scprds 17536   ⊕_m cdsmm 21950

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-hom 17372  df-cco 17373  df-prds 17538  df-dsmm 21951

This theorem is used by:  dsmmfi  21957  dsmmlmod  21964  frlmpws  21969