Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dsmmval2 20447
 Description: Self-referential definition of the module direct sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dsmmval2.b 𝐵 = (Base‘(𝑆m 𝑅))
Assertion
Ref Expression
dsmmval2 (𝑆m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵)

Proof of Theorem dsmmval2
Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4009 . . . . . 6 {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin} ⊆ (Base‘(𝑆Xs𝑅))
2 eqid 2798 . . . . . . 7 ((𝑆Xs𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin}) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin})
3 eqid 2798 . . . . . . 7 (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
42, 3ressbas2 16567 . . . . . 6 ({𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin} ⊆ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) → {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin} = (Base‘((𝑆Xs𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin})))
51, 4ax-mp 5 . . . . 5 {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin} = (Base‘((𝑆Xs𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin}))
65oveq2i 7156 . . . 4 ((𝑆Xs𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin}) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘((𝑆Xs𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin})))
7 eqid 2798 . . . . 5 {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin}
87dsmmval 20445 . . . 4 (𝑅 ∈ V → (𝑆m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin}))
98fveq2d 6659 . . . . 5 (𝑅 ∈ V → (Base‘(𝑆m 𝑅)) = (Base‘((𝑆Xs𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin})))
109oveq2d 7161 . . . 4 (𝑅 ∈ V → ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆m 𝑅))) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘((𝑆Xs𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin}))))
116, 8, 103eqtr4a 2859 . . 3 (𝑅 ∈ V → (𝑆m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆m 𝑅))))
12 ress0 16570 . . . . 5 (∅ ↾s (Base‘(𝑆m 𝑅))) = ∅
1312eqcomi 2807 . . . 4 ∅ = (∅ ↾s (Base‘(𝑆m 𝑅)))
14 reldmdsmm 20444 . . . . 5 Rel dom ⊕m
1514ovprc2 7185 . . . 4 𝑅 ∈ V → (𝑆m 𝑅) = ∅)
16 reldmprds 16734 . . . . . 6 Rel dom Xs
1716ovprc2 7185 . . . . 5 𝑅 ∈ V → (𝑆Xs𝑅) = ∅)
1817oveq1d 7160 . . . 4 𝑅 ∈ V → ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆m 𝑅))) = (∅ ↾s (Base‘(𝑆m 𝑅))))
1913, 15, 183eqtr4a 2859 . . 3 𝑅 ∈ V → (𝑆m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆m 𝑅))))
2011, 19pm2.61i 185 . 2 (𝑆m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆m 𝑅)))
21 dsmmval2.b . . 3 𝐵 = (Base‘(𝑆m 𝑅))
2221oveq2i 7156 . 2 ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆m 𝑅)))
2320, 22eqtr4i 2824 1 (𝑆m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  {crab 3110  Vcvv 3442   ⊆ wss 3883  ∅c0 4246  dom cdm 5523  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  Fincfn 8510  Basecbs 16495   ↾s cress 16496  0gc0g 16725  Xscprds 16731   ⊕m cdsmm 20442 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-map 8409  df-ixp 8463  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-sup 8908  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-9 11713  df-n0 11904  df-z 11990  df-dec 12107  df-uz 12252  df-fz 12906  df-struct 16497  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-mulr 16591  df-sca 16593  df-vsca 16594  df-ip 16595  df-tset 16596  df-ple 16597  df-ds 16599  df-hom 16601  df-cco 16602  df-prds 16733  df-dsmm 20443 This theorem is referenced by:  dsmmfi  20449  dsmmlmod  20456  frlmpws  20461
 Copyright terms: Public domain W3C validator