Theorem dsmmval2 20297

Description: Self-referential definition of the module direct sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dsmmval2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
dsmmval2	⊢ (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵)

Proof of Theorem dsmmval2

Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3836	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin} ⊆ (Base‘(𝑆Xs𝑅))
2		eqid 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆Xs𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin}) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin})
3		eqid 2771	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
4	2, 3	ressbas2 16138	. . . . . 6 ⊢ ({𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin} ⊆ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) → {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin} = (Base‘((𝑆Xs𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin})))
5	1, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin} = (Base‘((𝑆Xs𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin}))
6	5	oveq2i 6807	. . . 4 ⊢ ((𝑆Xs𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin}) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘((𝑆Xs𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin})))
7		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin}
8	7	dsmmval 20295	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin}))
9	8	fveq2d 6337	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)) = (Base‘((𝑆Xs𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin})))
10	9	oveq2d 6812	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘((𝑆Xs𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin}))))
11	6, 8, 10	3eqtr4a 2831	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))))
12		ress0 16141	. . . . 5 ⊢ (∅ ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))) = ∅
13	12	eqcomi 2780	. . . 4 ⊢ ∅ = (∅ ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
14		reldmdsmm 20294	. . . . 5 ⊢ Rel dom ⊕m
15	14	ovprc2 6834	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑆 ⊕m 𝑅) = ∅)
16		reldmprds 16317	. . . . . 6 ⊢ Rel dom Xs
17	16	ovprc2 6834	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑆Xs𝑅) = ∅)
18	17	oveq1d 6811	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))) = (∅ ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))))
19	13, 15, 18	3eqtr4a 2831	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))))
20	11, 19	pm2.61i 176	. 2 ⊢ (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
21		dsmmval2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
22	21	oveq2i 6807	. 2 ⊢ ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
23	20, 22	eqtr4i 2796	1 ⊢ (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  {crab 3065  Vcvv 3351   ⊆ wss 3723  ∅c0 4063  dom cdm 5250  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  Fincfn 8113  Basecbs 16064   ↾_s cress 16065  0_gc0g 16308  X_scprds 16314   ⊕_m cdsmm 20292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-hom 16174  df-cco 16175  df-prds 16316  df-dsmm 20293

This theorem is referenced by:  dsmmfi  20299  dsmmlmod  20306  frlmpws  20311