MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem restbas 21694
Description: A subspace topology basis is a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
restbas (𝐵 ∈ TopBases → (𝐵t 𝐴) ∈ TopBases)

Proof of Theorem restbas
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrest 16689 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑎 ∈ (𝐵t 𝐴) ↔ ∃𝑢𝐵 𝑎 = (𝑢𝐴)))
2 elrest 16689 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑏 ∈ (𝐵t 𝐴) ↔ ∃𝑣𝐵 𝑏 = (𝑣𝐴)))
31, 2anbi12d 630 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) → ((𝑎 ∈ (𝐵t 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵t 𝐴)) ↔ (∃𝑢𝐵 𝑎 = (𝑢𝐴) ∧ ∃𝑣𝐵 𝑏 = (𝑣𝐴))))
4 reeanv 3365 . . . . . 6 (∃𝑢𝐵𝑣𝐵 (𝑎 = (𝑢𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑣𝐴)) ↔ (∃𝑢𝐵 𝑎 = (𝑢𝐴) ∧ ∃𝑣𝐵 𝑏 = (𝑣𝐴)))
53, 4syl6bbr 290 . . . . 5 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) → ((𝑎 ∈ (𝐵t 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵t 𝐴)) ↔ ∃𝑢𝐵𝑣𝐵 (𝑎 = (𝑢𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑣𝐴))))
6 simplll 771 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) → 𝐵 ∈ TopBases)
7 simplrl 773 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) → 𝑢𝐵)
8 simplrr 774 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) → 𝑣𝐵)
9 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) → 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴))
109elin1d 4172 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) → 𝑐 ∈ (𝑢𝑣))
11 basis2 21487 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝑢𝐵) ∧ (𝑣𝐵𝑐 ∈ (𝑢𝑣))) → ∃𝑧𝐵 (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))
126, 7, 8, 10, 11syl22anc 834 . . . . . . . . 9 ((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) → ∃𝑧𝐵 (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))
13 simplll 771 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))) → (𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V))
1413simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))) → 𝐵 ∈ TopBases)
1513simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))) → 𝐴 ∈ V)
16 simprl 767 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))) → 𝑧𝐵)
17 elrestr 16690 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧𝐴) ∈ (𝐵t 𝐴))
1814, 15, 16, 17syl3anc 1363 . . . . . . . . . 10 (((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))) → (𝑧𝐴) ∈ (𝐵t 𝐴))
19 simprrl 777 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))) → 𝑐𝑧)
20 simplr 765 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))) → 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴))
2120elin2d 4173 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))) → 𝑐𝐴)
2219, 21elind 4168 . . . . . . . . . 10 (((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))) → 𝑐 ∈ (𝑧𝐴))
23 simprrr 778 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))) → 𝑧 ⊆ (𝑢𝑣))
2423ssrind 4209 . . . . . . . . . 10 (((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))) → (𝑧𝐴) ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴))
25 eleq2 2898 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝑧𝐴) → (𝑐𝑤𝑐 ∈ (𝑧𝐴)))
26 sseq1 3989 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝑧𝐴) → (𝑤 ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴) ↔ (𝑧𝐴) ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)))
2725, 26anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = (𝑧𝐴) → ((𝑐𝑤𝑤 ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ↔ (𝑐 ∈ (𝑧𝐴) ∧ (𝑧𝐴) ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴))))
2827rspcev 3620 . . . . . . . . . 10 (((𝑧𝐴) ∈ (𝐵t 𝐴) ∧ (𝑐 ∈ (𝑧𝐴) ∧ (𝑧𝐴) ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴))) → ∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)))
2918, 22, 24, 28syl12anc 832 . . . . . . . . 9 (((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))) → ∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)))
3012, 29rexlimddv 3288 . . . . . . . 8 ((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) → ∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)))
3130ralrimiva 3179 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) → ∀𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)))
32 ineq12 4181 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = (𝑢𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑣𝐴)) → (𝑎𝑏) = ((𝑢𝐴) ∩ (𝑣𝐴)))
33 inindir 4201 . . . . . . . . 9 ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴) = ((𝑢𝐴) ∩ (𝑣𝐴))
3432, 33syl6eqr 2871 . . . . . . . 8 ((𝑎 = (𝑢𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑣𝐴)) → (𝑎𝑏) = ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴))
3534sseq2d 3996 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 = (𝑢𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑣𝐴)) → (𝑤 ⊆ (𝑎𝑏) ↔ 𝑤 ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)))
3635anbi2d 628 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = (𝑢𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑣𝐴)) → ((𝑐𝑤𝑤 ⊆ (𝑎𝑏)) ↔ (𝑐𝑤𝑤 ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴))))
3736rexbidv 3294 . . . . . . . 8 ((𝑎 = (𝑢𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑣𝐴)) → (∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ (𝑎𝑏)) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴))))
3834, 37raleqbidv 3399 . . . . . . 7 ((𝑎 = (𝑢𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑣𝐴)) → (∀𝑐 ∈ (𝑎𝑏)∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ (𝑎𝑏)) ↔ ∀𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴))))
3931, 38syl5ibrcom 248 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) → ((𝑎 = (𝑢𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑣𝐴)) → ∀𝑐 ∈ (𝑎𝑏)∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ (𝑎𝑏))))
4039rexlimdvva 3291 . . . . 5 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) → (∃𝑢𝐵𝑣𝐵 (𝑎 = (𝑢𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑣𝐴)) → ∀𝑐 ∈ (𝑎𝑏)∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ (𝑎𝑏))))
415, 40sylbid 241 . . . 4 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) → ((𝑎 ∈ (𝐵t 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵t 𝐴)) → ∀𝑐 ∈ (𝑎𝑏)∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ (𝑎𝑏))))
4241ralrimivv 3187 . . 3 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) → ∀𝑎 ∈ (𝐵t 𝐴)∀𝑏 ∈ (𝐵t 𝐴)∀𝑐 ∈ (𝑎𝑏)∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ (𝑎𝑏)))
43 ovex 7178 . . . 4 (𝐵t 𝐴) ∈ V
44 isbasis2g 21484 . . . 4 ((𝐵t 𝐴) ∈ V → ((𝐵t 𝐴) ∈ TopBases ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐵t 𝐴)∀𝑏 ∈ (𝐵t 𝐴)∀𝑐 ∈ (𝑎𝑏)∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ (𝑎𝑏))))
4543, 44ax-mp 5 . . 3 ((𝐵t 𝐴) ∈ TopBases ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐵t 𝐴)∀𝑏 ∈ (𝐵t 𝐴)∀𝑐 ∈ (𝑎𝑏)∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ (𝑎𝑏)))
4642, 45sylibr 235 . 2 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐵t 𝐴) ∈ TopBases)
47 relxp 5566 . . . . . 6 Rel (V × V)
48 restfn 16686 . . . . . . . 8 t Fn (V × V)
49 fndm 6448 . . . . . . . 8 ( ↾t Fn (V × V) → dom ↾t = (V × V))
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . 7 dom ↾t = (V × V)
5150releqi 5645 . . . . . 6 (Rel dom ↾t ↔ Rel (V × V))
5247, 51mpbir 232 . . . . 5 Rel dom ↾t
5352ovprc2 7185 . . . 4 𝐴 ∈ V → (𝐵t 𝐴) = ∅)
5453adantl 482 . . 3 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → (𝐵t 𝐴) = ∅)
55 fi0 8872 . . . 4 (fi‘∅) = ∅
56 fibas 21513 . . . 4 (fi‘∅) ∈ TopBases
5755, 56eqeltrri 2907 . . 3 ∅ ∈ TopBases
5854, 57syl6eqel 2918 . 2 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → (𝐵t 𝐴) ∈ TopBases)
5946, 58pm2.61dan 809 1 (𝐵 ∈ TopBases → (𝐵t 𝐴) ∈ TopBases)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492  cin 3932  wss 3933  c0 4288   × cxp 5546  dom cdm 5548  Rel wrel 5553   Fn wfn 6343  cfv 6348  (class class class)co 7145  ficfi 8862  t crest 16682  TopBasesctb 21481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-fin 8501  df-fi 8863  df-rest 16684  df-bases 21482
This theorem is referenced by:  resttop  21696  2ndcrest  21990
  Copyright terms: Public domain W3C validator