MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem restbas 21902
Description: A subspace topology basis is a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
restbas (𝐵 ∈ TopBases → (𝐵t 𝐴) ∈ TopBases)

Proof of Theorem restbas
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrest 16797 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑎 ∈ (𝐵t 𝐴) ↔ ∃𝑢𝐵 𝑎 = (𝑢𝐴)))
2 elrest 16797 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑏 ∈ (𝐵t 𝐴) ↔ ∃𝑣𝐵 𝑏 = (𝑣𝐴)))
31, 2anbi12d 634 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) → ((𝑎 ∈ (𝐵t 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵t 𝐴)) ↔ (∃𝑢𝐵 𝑎 = (𝑢𝐴) ∧ ∃𝑣𝐵 𝑏 = (𝑣𝐴))))
4 reeanv 3269 . . . . . 6 (∃𝑢𝐵𝑣𝐵 (𝑎 = (𝑢𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑣𝐴)) ↔ (∃𝑢𝐵 𝑎 = (𝑢𝐴) ∧ ∃𝑣𝐵 𝑏 = (𝑣𝐴)))
53, 4bitr4di 292 . . . . 5 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) → ((𝑎 ∈ (𝐵t 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵t 𝐴)) ↔ ∃𝑢𝐵𝑣𝐵 (𝑎 = (𝑢𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑣𝐴))))
6 simplll 775 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) → 𝐵 ∈ TopBases)
7 simplrl 777 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) → 𝑢𝐵)
8 simplrr 778 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) → 𝑣𝐵)
9 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) → 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴))
109elin1d 4086 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) → 𝑐 ∈ (𝑢𝑣))
11 basis2 21695 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝑢𝐵) ∧ (𝑣𝐵𝑐 ∈ (𝑢𝑣))) → ∃𝑧𝐵 (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))
126, 7, 8, 10, 11syl22anc 838 . . . . . . . . 9 ((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) → ∃𝑧𝐵 (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))
13 simplll 775 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))) → (𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V))
1413simpld 498 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))) → 𝐵 ∈ TopBases)
1513simprd 499 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))) → 𝐴 ∈ V)
16 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))) → 𝑧𝐵)
17 elrestr 16798 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧𝐴) ∈ (𝐵t 𝐴))
1814, 15, 16, 17syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))) → (𝑧𝐴) ∈ (𝐵t 𝐴))
19 simprrl 781 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))) → 𝑐𝑧)
20 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))) → 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴))
2120elin2d 4087 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))) → 𝑐𝐴)
2219, 21elind 4082 . . . . . . . . . 10 (((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))) → 𝑐 ∈ (𝑧𝐴))
23 simprrr 782 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))) → 𝑧 ⊆ (𝑢𝑣))
2423ssrind 4124 . . . . . . . . . 10 (((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))) → (𝑧𝐴) ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴))
25 eleq2 2821 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝑧𝐴) → (𝑐𝑤𝑐 ∈ (𝑧𝐴)))
26 sseq1 3900 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝑧𝐴) → (𝑤 ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴) ↔ (𝑧𝐴) ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)))
2725, 26anbi12d 634 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = (𝑧𝐴) → ((𝑐𝑤𝑤 ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ↔ (𝑐 ∈ (𝑧𝐴) ∧ (𝑧𝐴) ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴))))
2827rspcev 3524 . . . . . . . . . 10 (((𝑧𝐴) ∈ (𝐵t 𝐴) ∧ (𝑐 ∈ (𝑧𝐴) ∧ (𝑧𝐴) ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴))) → ∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)))
2918, 22, 24, 28syl12anc 836 . . . . . . . . 9 (((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))) → ∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)))
3012, 29rexlimddv 3200 . . . . . . . 8 ((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) → ∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)))
3130ralrimiva 3096 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) → ∀𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)))
32 ineq12 4096 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = (𝑢𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑣𝐴)) → (𝑎𝑏) = ((𝑢𝐴) ∩ (𝑣𝐴)))
33 inindir 4116 . . . . . . . . 9 ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴) = ((𝑢𝐴) ∩ (𝑣𝐴))
3432, 33eqtr4di 2791 . . . . . . . 8 ((𝑎 = (𝑢𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑣𝐴)) → (𝑎𝑏) = ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴))
3534sseq2d 3907 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 = (𝑢𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑣𝐴)) → (𝑤 ⊆ (𝑎𝑏) ↔ 𝑤 ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)))
3635anbi2d 632 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = (𝑢𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑣𝐴)) → ((𝑐𝑤𝑤 ⊆ (𝑎𝑏)) ↔ (𝑐𝑤𝑤 ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴))))
3736rexbidv 3206 . . . . . . . 8 ((𝑎 = (𝑢𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑣𝐴)) → (∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ (𝑎𝑏)) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴))))
3834, 37raleqbidv 3303 . . . . . . 7 ((𝑎 = (𝑢𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑣𝐴)) → (∀𝑐 ∈ (𝑎𝑏)∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ (𝑎𝑏)) ↔ ∀𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴))))
3931, 38syl5ibrcom 250 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) → ((𝑎 = (𝑢𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑣𝐴)) → ∀𝑐 ∈ (𝑎𝑏)∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ (𝑎𝑏))))
4039rexlimdvva 3203 . . . . 5 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) → (∃𝑢𝐵𝑣𝐵 (𝑎 = (𝑢𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑣𝐴)) → ∀𝑐 ∈ (𝑎𝑏)∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ (𝑎𝑏))))
415, 40sylbid 243 . . . 4 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) → ((𝑎 ∈ (𝐵t 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵t 𝐴)) → ∀𝑐 ∈ (𝑎𝑏)∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ (𝑎𝑏))))
4241ralrimivv 3102 . . 3 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) → ∀𝑎 ∈ (𝐵t 𝐴)∀𝑏 ∈ (𝐵t 𝐴)∀𝑐 ∈ (𝑎𝑏)∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ (𝑎𝑏)))
43 ovex 7197 . . . 4 (𝐵t 𝐴) ∈ V
44 isbasis2g 21692 . . . 4 ((𝐵t 𝐴) ∈ V → ((𝐵t 𝐴) ∈ TopBases ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐵t 𝐴)∀𝑏 ∈ (𝐵t 𝐴)∀𝑐 ∈ (𝑎𝑏)∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ (𝑎𝑏))))
4543, 44ax-mp 5 . . 3 ((𝐵t 𝐴) ∈ TopBases ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐵t 𝐴)∀𝑏 ∈ (𝐵t 𝐴)∀𝑐 ∈ (𝑎𝑏)∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ (𝑎𝑏)))
4642, 45sylibr 237 . 2 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐵t 𝐴) ∈ TopBases)
47 relxp 5537 . . . . . 6 Rel (V × V)
48 restfn 16794 . . . . . . . 8 t Fn (V × V)
49 fndm 6434 . . . . . . . 8 ( ↾t Fn (V × V) → dom ↾t = (V × V))
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . 7 dom ↾t = (V × V)
5150releqi 5617 . . . . . 6 (Rel dom ↾t ↔ Rel (V × V))
5247, 51mpbir 234 . . . . 5 Rel dom ↾t
5352ovprc2 7204 . . . 4 𝐴 ∈ V → (𝐵t 𝐴) = ∅)
5453adantl 485 . . 3 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → (𝐵t 𝐴) = ∅)
55 fi0 8950 . . . 4 (fi‘∅) = ∅
56 fibas 21721 . . . 4 (fi‘∅) ∈ TopBases
5755, 56eqeltrri 2830 . . 3 ∅ ∈ TopBases
5854, 57eqeltrdi 2841 . 2 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → (𝐵t 𝐴) ∈ TopBases)
5946, 58pm2.61dan 813 1 (𝐵 ∈ TopBases → (𝐵t 𝐴) ∈ TopBases)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  wral 3053  wrex 3054  Vcvv 3397  cin 3840  wss 3841  c0 4209   × cxp 5517  dom cdm 5519  Rel wrel 5524   Fn wfn 6328  cfv 6333  (class class class)co 7164  ficfi 8940  t crest 16790  TopBasesctb 21689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-en 8549  df-fin 8552  df-fi 8941  df-rest 16792  df-bases 21690
This theorem is referenced by:  resttop  21904  2ndcrest  22198
  Copyright terms: Public domain W3C validator