MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem restbas 23166
Description: A subspace topology basis is a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
restbas (𝐵 ∈ TopBases → (𝐵t 𝐴) ∈ TopBases)

Proof of Theorem restbas
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrest 17472 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑎 ∈ (𝐵t 𝐴) ↔ ∃𝑢𝐵 𝑎 = (𝑢𝐴)))
2 elrest 17472 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑏 ∈ (𝐵t 𝐴) ↔ ∃𝑣𝐵 𝑏 = (𝑣𝐴)))
31, 2anbi12d 632 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) → ((𝑎 ∈ (𝐵t 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵t 𝐴)) ↔ (∃𝑢𝐵 𝑎 = (𝑢𝐴) ∧ ∃𝑣𝐵 𝑏 = (𝑣𝐴))))
4 reeanv 3229 . . . . . 6 (∃𝑢𝐵𝑣𝐵 (𝑎 = (𝑢𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑣𝐴)) ↔ (∃𝑢𝐵 𝑎 = (𝑢𝐴) ∧ ∃𝑣𝐵 𝑏 = (𝑣𝐴)))
53, 4bitr4di 289 . . . . 5 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) → ((𝑎 ∈ (𝐵t 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵t 𝐴)) ↔ ∃𝑢𝐵𝑣𝐵 (𝑎 = (𝑢𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑣𝐴))))
6 simplll 775 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) → 𝐵 ∈ TopBases)
7 simplrl 777 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) → 𝑢𝐵)
8 simplrr 778 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) → 𝑣𝐵)
9 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) → 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴))
109elin1d 4204 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) → 𝑐 ∈ (𝑢𝑣))
11 basis2 22958 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝑢𝐵) ∧ (𝑣𝐵𝑐 ∈ (𝑢𝑣))) → ∃𝑧𝐵 (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))
126, 7, 8, 10, 11syl22anc 839 . . . . . . . . 9 ((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) → ∃𝑧𝐵 (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))
13 simplll 775 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))) → (𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V))
1413simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))) → 𝐵 ∈ TopBases)
1513simprd 495 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))) → 𝐴 ∈ V)
16 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))) → 𝑧𝐵)
17 elrestr 17473 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧𝐴) ∈ (𝐵t 𝐴))
1814, 15, 16, 17syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))) → (𝑧𝐴) ∈ (𝐵t 𝐴))
19 simprrl 781 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))) → 𝑐𝑧)
20 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))) → 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴))
2120elin2d 4205 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))) → 𝑐𝐴)
2219, 21elind 4200 . . . . . . . . . 10 (((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))) → 𝑐 ∈ (𝑧𝐴))
23 simprrr 782 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))) → 𝑧 ⊆ (𝑢𝑣))
2423ssrind 4244 . . . . . . . . . 10 (((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))) → (𝑧𝐴) ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴))
25 eleq2 2830 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝑧𝐴) → (𝑐𝑤𝑐 ∈ (𝑧𝐴)))
26 sseq1 4009 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝑧𝐴) → (𝑤 ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴) ↔ (𝑧𝐴) ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)))
2725, 26anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = (𝑧𝐴) → ((𝑐𝑤𝑤 ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ↔ (𝑐 ∈ (𝑧𝐴) ∧ (𝑧𝐴) ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴))))
2827rspcev 3622 . . . . . . . . . 10 (((𝑧𝐴) ∈ (𝐵t 𝐴) ∧ (𝑐 ∈ (𝑧𝐴) ∧ (𝑧𝐴) ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴))) → ∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)))
2918, 22, 24, 28syl12anc 837 . . . . . . . . 9 (((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑐𝑧𝑧 ⊆ (𝑢𝑣)))) → ∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)))
3012, 29rexlimddv 3161 . . . . . . . 8 ((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)) → ∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)))
3130ralrimiva 3146 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) → ∀𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)))
32 ineq12 4215 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = (𝑢𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑣𝐴)) → (𝑎𝑏) = ((𝑢𝐴) ∩ (𝑣𝐴)))
33 inindir 4236 . . . . . . . . 9 ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴) = ((𝑢𝐴) ∩ (𝑣𝐴))
3432, 33eqtr4di 2795 . . . . . . . 8 ((𝑎 = (𝑢𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑣𝐴)) → (𝑎𝑏) = ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴))
3534sseq2d 4016 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 = (𝑢𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑣𝐴)) → (𝑤 ⊆ (𝑎𝑏) ↔ 𝑤 ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)))
3635anbi2d 630 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = (𝑢𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑣𝐴)) → ((𝑐𝑤𝑤 ⊆ (𝑎𝑏)) ↔ (𝑐𝑤𝑤 ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴))))
3736rexbidv 3179 . . . . . . . 8 ((𝑎 = (𝑢𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑣𝐴)) → (∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ (𝑎𝑏)) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴))))
3834, 37raleqbidv 3346 . . . . . . 7 ((𝑎 = (𝑢𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑣𝐴)) → (∀𝑐 ∈ (𝑎𝑏)∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ (𝑎𝑏)) ↔ ∀𝑐 ∈ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴)∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ ((𝑢𝑣) ∩ 𝐴))))
3931, 38syl5ibrcom 247 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) → ((𝑎 = (𝑢𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑣𝐴)) → ∀𝑐 ∈ (𝑎𝑏)∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ (𝑎𝑏))))
4039rexlimdvva 3213 . . . . 5 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) → (∃𝑢𝐵𝑣𝐵 (𝑎 = (𝑢𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑣𝐴)) → ∀𝑐 ∈ (𝑎𝑏)∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ (𝑎𝑏))))
415, 40sylbid 240 . . . 4 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) → ((𝑎 ∈ (𝐵t 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵t 𝐴)) → ∀𝑐 ∈ (𝑎𝑏)∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ (𝑎𝑏))))
4241ralrimivv 3200 . . 3 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) → ∀𝑎 ∈ (𝐵t 𝐴)∀𝑏 ∈ (𝐵t 𝐴)∀𝑐 ∈ (𝑎𝑏)∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ (𝑎𝑏)))
43 ovex 7464 . . . 4 (𝐵t 𝐴) ∈ V
44 isbasis2g 22955 . . . 4 ((𝐵t 𝐴) ∈ V → ((𝐵t 𝐴) ∈ TopBases ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐵t 𝐴)∀𝑏 ∈ (𝐵t 𝐴)∀𝑐 ∈ (𝑎𝑏)∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ (𝑎𝑏))))
4543, 44ax-mp 5 . . 3 ((𝐵t 𝐴) ∈ TopBases ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐵t 𝐴)∀𝑏 ∈ (𝐵t 𝐴)∀𝑐 ∈ (𝑎𝑏)∃𝑤 ∈ (𝐵t 𝐴)(𝑐𝑤𝑤 ⊆ (𝑎𝑏)))
4642, 45sylibr 234 . 2 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐵t 𝐴) ∈ TopBases)
47 relxp 5703 . . . . . 6 Rel (V × V)
48 restfn 17469 . . . . . . . 8 t Fn (V × V)
49 fndm 6671 . . . . . . . 8 ( ↾t Fn (V × V) → dom ↾t = (V × V))
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . 7 dom ↾t = (V × V)
5150releqi 5787 . . . . . 6 (Rel dom ↾t ↔ Rel (V × V))
5247, 51mpbir 231 . . . . 5 Rel dom ↾t
5352ovprc2 7471 . . . 4 𝐴 ∈ V → (𝐵t 𝐴) = ∅)
5453adantl 481 . . 3 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → (𝐵t 𝐴) = ∅)
55 fi0 9460 . . . 4 (fi‘∅) = ∅
56 fibas 22984 . . . 4 (fi‘∅) ∈ TopBases
5755, 56eqeltrri 2838 . . 3 ∅ ∈ TopBases
5854, 57eqeltrdi 2849 . 2 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → (𝐵t 𝐴) ∈ TopBases)
5946, 58pm2.61dan 813 1 (𝐵 ∈ TopBases → (𝐵t 𝐴) ∈ TopBases)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951  c0 4333   × cxp 5683  dom cdm 5685  Rel wrel 5690   Fn wfn 6556  cfv 6561  (class class class)co 7431  ficfi 9450  t crest 17465  TopBasesctb 22952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-en 8986  df-fin 8989  df-fi 9451  df-rest 17467  df-bases 22953
This theorem is referenced by:  resttop  23168  2ndcrest  23462
  Copyright terms: Public domain W3C validator