Theorem subcmn 19877

Description: A submonoid of a commutative monoid is also commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgabl.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subcmn	⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝐻 ∈ CMnd)

Proof of Theorem subcmn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2763	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻))
2		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
3		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
4	2, 3	mndidcl 18783	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Mnd → (0g‘𝐻) ∈ (Base‘𝐻))
5		n0i 4292	. . . . . 6 ⊢ ((0g‘𝐻) ∈ (Base‘𝐻) → ¬ (Base‘𝐻) = ∅)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Mnd → ¬ (Base‘𝐻) = ∅)
7		subgabl.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
8		reldmress 17268	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel dom ↾s
9	8	ovprc2 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (𝐺 ↾s 𝑆) = ∅)
10	7, 9	eqtrid 2809	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → 𝐻 = ∅)
11	10	fveq2d 6871	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (Base‘𝐻) = (Base‘∅))
12		base0 17250	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
13	11, 12	eqtr4di 2815	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (Base‘𝐻) = ∅)
14	6, 13	nsyl2 141	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Mnd → 𝑆 ∈ V)
15	14	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝑆 ∈ V)
16		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
17	7, 16	ressplusg 17320	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
18	15, 17	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
19		simpr 488	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝐻 ∈ Mnd)
20		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝐺 ∈ CMnd)
21		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
22	7, 21	ressbasss 17275	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝐺)
23	22	sseli 3932	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
24	22	sseli 3932	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (Base‘𝐻) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
25	21, 16	cmncom 19838	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
26	20, 23, 24, 25	syl3an 1173	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
27	1, 18, 19, 26	iscmnd 19834	1 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝐻 ∈ CMnd)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454  ∅c0 4285  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245   ↾_s cress 17266  +_gcplusg 17286  0_gc0g 17468  Mndcmnd 18768  CMndccmn 19820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-0g 17470  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-cmn 19822

This theorem is referenced by:  submcmn  19878  unitabl  20433  subrgcrng  20625  xrge0cmn  21496  tsmssubm  24203  amgmlem  27054  amgmwlem  50423  amgmlemALT  50424