Theorem subcmn 19748

Description: A submonoid of a commutative monoid is also commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgabl.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subcmn	⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝐻 ∈ CMnd)

Proof of Theorem subcmn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2731	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻))
2		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
3		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
4	2, 3	mndidcl 18676	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Mnd → (0g‘𝐻) ∈ (Base‘𝐻))
5		n0i 4334	. . . . . 6 ⊢ ((0g‘𝐻) ∈ (Base‘𝐻) → ¬ (Base‘𝐻) = ∅)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Mnd → ¬ (Base‘𝐻) = ∅)
7		subgabl.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
8		reldmress 17181	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel dom ↾s
9	8	ovprc2 7453	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (𝐺 ↾s 𝑆) = ∅)
10	7, 9	eqtrid 2782	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → 𝐻 = ∅)
11	10	fveq2d 6896	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (Base‘𝐻) = (Base‘∅))
12		base0 17155	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
13	11, 12	eqtr4di 2788	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (Base‘𝐻) = ∅)
14	6, 13	nsyl2 141	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Mnd → 𝑆 ∈ V)
15	14	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝑆 ∈ V)
16		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
17	7, 16	ressplusg 17241	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
18	15, 17	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
19		simpr 483	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝐻 ∈ Mnd)
20		simpl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝐺 ∈ CMnd)
21		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
22	7, 21	ressbasss 17189	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝐺)
23	22	sseli 3979	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
24	22	sseli 3979	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (Base‘𝐻) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
25	21, 16	cmncom 19709	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
26	20, 23, 24, 25	syl3an 1158	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
27	1, 18, 19, 26	iscmnd 19705	1 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝐻 ∈ CMnd)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472  ∅c0 4323  ‘cfv 6544  (class class class)co 7413  Basecbs 17150   ↾_s cress 17179  +_gcplusg 17203  0_gc0g 17391  Mndcmnd 18661  CMndccmn 19691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-0g 17393  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-cmn 19693

This theorem is referenced by:  submcmn  19749  unitabl  20277  subrgcrng  20467  xrge0cmn  21189  tsmssubm  23869  amgmlem  26728  amgmwlem  47938  amgmlemALT  47939