Theorem subcmn 19879

Description: A submonoid of a commutative monoid is also commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgabl.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subcmn	⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝐻 ∈ CMnd)

Proof of Theorem subcmn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2741	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻))
2		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
3		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
4	2, 3	mndidcl 18787	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Mnd → (0g‘𝐻) ∈ (Base‘𝐻))
5		n0i 4363	. . . . . 6 ⊢ ((0g‘𝐻) ∈ (Base‘𝐻) → ¬ (Base‘𝐻) = ∅)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Mnd → ¬ (Base‘𝐻) = ∅)
7		subgabl.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
8		reldmress 17289	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel dom ↾s
9	8	ovprc2 7488	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (𝐺 ↾s 𝑆) = ∅)
10	7, 9	eqtrid 2792	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → 𝐻 = ∅)
11	10	fveq2d 6924	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (Base‘𝐻) = (Base‘∅))
12		base0 17263	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
13	11, 12	eqtr4di 2798	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (Base‘𝐻) = ∅)
14	6, 13	nsyl2 141	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Mnd → 𝑆 ∈ V)
15	14	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝑆 ∈ V)
16		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
17	7, 16	ressplusg 17349	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
18	15, 17	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
19		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝐻 ∈ Mnd)
20		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝐺 ∈ CMnd)
21		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
22	7, 21	ressbasss 17297	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝐺)
23	22	sseli 4004	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
24	22	sseli 4004	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (Base‘𝐻) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
25	21, 16	cmncom 19840	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
26	20, 23, 24, 25	syl3an 1160	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
27	1, 18, 19, 26	iscmnd 19836	1 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝐻 ∈ CMnd)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  ∅c0 4352  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  +_gcplusg 17311  0_gc0g 17499  Mndcmnd 18772  CMndccmn 19822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-cmn 19824

This theorem is referenced by:  submcmn  19880  unitabl  20410  subrgcrng  20603  xrge0cmn  21449  tsmssubm  24172  amgmlem  27051  amgmwlem  48896  amgmlemALT  48897