Theorem subcmn 19869

Description: A submonoid of a commutative monoid is also commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgabl.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subcmn	⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝐻 ∈ CMnd)

Proof of Theorem subcmn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2735	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻))
2		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
3		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
4	2, 3	mndidcl 18774	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Mnd → (0g‘𝐻) ∈ (Base‘𝐻))
5		n0i 4345	. . . . . 6 ⊢ ((0g‘𝐻) ∈ (Base‘𝐻) → ¬ (Base‘𝐻) = ∅)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Mnd → ¬ (Base‘𝐻) = ∅)
7		subgabl.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
8		reldmress 17275	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel dom ↾s
9	8	ovprc2 7470	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (𝐺 ↾s 𝑆) = ∅)
10	7, 9	eqtrid 2786	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → 𝐻 = ∅)
11	10	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (Base‘𝐻) = (Base‘∅))
12		base0 17249	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
13	11, 12	eqtr4di 2792	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (Base‘𝐻) = ∅)
14	6, 13	nsyl2 141	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Mnd → 𝑆 ∈ V)
15	14	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝑆 ∈ V)
16		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
17	7, 16	ressplusg 17335	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
18	15, 17	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
19		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝐻 ∈ Mnd)
20		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝐺 ∈ CMnd)
21		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
22	7, 21	ressbasss 17283	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝐺)
23	22	sseli 3990	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
24	22	sseli 3990	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (Base‘𝐻) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
25	21, 16	cmncom 19830	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
26	20, 23, 24, 25	syl3an 1159	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
27	1, 18, 19, 26	iscmnd 19826	1 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝐻 ∈ CMnd)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  Vcvv 3477  ∅c0 4338  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244   ↾_s cress 17273  +_gcplusg 17297  0_gc0g 17485  Mndcmnd 18759  CMndccmn 19812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-cmn 19814

This theorem is referenced by:  submcmn  19870  unitabl  20400  subrgcrng  20591  xrge0cmn  21443  tsmssubm  24166  amgmlem  27047  amgmwlem  49032  amgmlemALT  49033