Theorem ressbasssg 17207

Description: The base set of a restriction to 𝐴 is a subset of 𝐴 and the base set 𝐵 of the original structure. (Contributed by SN, 10-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbasssg	⊢ (Base‘𝑅) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)

Proof of Theorem ressbasssg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbas.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
2		ressbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	1, 2	ressbas 17206	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
4		ssid 3969	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)
5	3, 4	eqsstrrdi 3992	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵))
6		reldmress 17202	. . . . . 6 ⊢ Rel dom ↾s
7	6	ovprc2 7427	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝐴) = ∅)
8	1, 7	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝑅 = ∅)
9	8	fveq2d 6862	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘∅))
10		base0 17184	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
11		0ss 4363	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)
12	10, 11	eqsstrri 3994	. . 3 ⊢ (Base‘∅) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)
13	9, 12	eqsstrdi 3991	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵))
14	5, 13	pm2.61i 182	1 ⊢ (Base‘𝑅) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-1cn 11126  ax-addcl 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-nn 12187  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201

This theorem is referenced by:  ressbasss  17209  ressbasss2  17211  unitscyglem5  42187