Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressbasssg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressbasssg 40718
Description: The base set of a restriction to 𝐴 is a subset of 𝐴 and the base set 𝐵 of the original structure. (Contributed by SN, 10-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbasssg.r 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
ressbasssg.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ressbasssg (Base‘𝑅) ⊆ (𝐴𝐵)

Proof of Theorem ressbasssg
StepHypRef Expression
1 ressbasssg.r . . . 4 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
2 ressbasssg.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
31, 2ressbas 17126 . . 3 (𝐴 ∈ V → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
4 ssid 3970 . . 3 (𝐴𝐵) ⊆ (𝐴𝐵)
53, 4eqsstrrdi 4003 . 2 (𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) ⊆ (𝐴𝐵))
6 reldmress 17122 . . . . . 6 Rel dom ↾s
76ovprc2 7401 . . . . 5 𝐴 ∈ V → (𝑊s 𝐴) = ∅)
81, 7eqtrid 2785 . . . 4 𝐴 ∈ V → 𝑅 = ∅)
98fveq2d 6850 . . 3 𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘∅))
10 base0 17096 . . . 4 ∅ = (Base‘∅)
11 0ss 4360 . . . 4 ∅ ⊆ (𝐴𝐵)
1210, 11eqsstrri 3983 . . 3 (Base‘∅) ⊆ (𝐴𝐵)
139, 12eqsstrdi 4002 . 2 𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) ⊆ (𝐴𝐵))
145, 13pm2.61i 182 1 (Base‘𝑅) ⊆ (𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3447  cin 3913  wss 3914  c0 4286  cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  s cress 17120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-1cn 11117  ax-addcl 11119
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-nn 12162  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121
This theorem is referenced by:  ressbasss2  40719
  Copyright terms: Public domain W3C validator