Theorem ressbasssg 17140

Description: The base set of a restriction to 𝐴 is a subset of 𝐴 and the base set 𝐵 of the original structure. (Contributed by SN, 10-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbasssg	⊢ (Base‘𝑅) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)

Proof of Theorem ressbasssg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbas.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
2		ressbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	1, 2	ressbas 17139	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
4		ssid 3955	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)
5	3, 4	eqsstrrdi 3978	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵))
6		reldmress 17135	. . . . . 6 ⊢ Rel dom ↾s
7	6	ovprc2 7381	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝐴) = ∅)
8	1, 7	eqtrid 2777	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝑅 = ∅)
9	8	fveq2d 6821	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘∅))
10		base0 17117	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
11		0ss 4348	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)
12	10, 11	eqsstrri 3980	. . 3 ⊢ (Base‘∅) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)
13	9, 12	eqsstrdi 3977	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵))
14	5, 13	pm2.61i 182	1 ⊢ (Base‘𝑅) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  Vcvv 3434   ∩ cin 3899   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  Basecbs 17112   ↾_s cress 17133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-1cn 11056  ax-addcl 11058

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-nn 12118  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134

This theorem is referenced by:  ressbasss  17142  ressbasss2  17144  unitscyglem5  42211