MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressbasssg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressbasssg 17282
Description: The base set of a restriction to 𝐴 is a subset of 𝐴 and the base set 𝐵 of the original structure. (Contributed by SN, 10-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbas.r 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
ressbas.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ressbasssg (Base‘𝑅) ⊆ (𝐴𝐵)

Proof of Theorem ressbasssg
StepHypRef Expression
1 ressbas.r . . . 4 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
2 ressbas.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
31, 2ressbas 17280 . . 3 (𝐴 ∈ V → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
4 ssid 4018 . . 3 (𝐴𝐵) ⊆ (𝐴𝐵)
53, 4eqsstrrdi 4051 . 2 (𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) ⊆ (𝐴𝐵))
6 reldmress 17276 . . . . . 6 Rel dom ↾s
76ovprc2 7471 . . . . 5 𝐴 ∈ V → (𝑊s 𝐴) = ∅)
81, 7eqtrid 2787 . . . 4 𝐴 ∈ V → 𝑅 = ∅)
98fveq2d 6911 . . 3 𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘∅))
10 base0 17250 . . . 4 ∅ = (Base‘∅)
11 0ss 4406 . . . 4 ∅ ⊆ (𝐴𝐵)
1210, 11eqsstrri 4031 . . 3 (Base‘∅) ⊆ (𝐴𝐵)
139, 12eqsstrdi 4050 . 2 𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) ⊆ (𝐴𝐵))
145, 13pm2.61i 182 1 (Base‘𝑅) ⊆ (𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cin 3962  wss 3963  c0 4339  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  s cress 17274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-1cn 11211  ax-addcl 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-nn 12265  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275
This theorem is referenced by:  ressbasss  17284  ressbasss2  17286  unitscyglem5  42181
  Copyright terms: Public domain W3C validator