Theorem ressbasssg 17180

Description: The base set of a restriction to 𝐴 is a subset of 𝐴 and the base set 𝐵 of the original structure. (Contributed by SN, 10-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbasssg	⊢ (Base‘𝑅) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)

Proof of Theorem ressbasssg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbas.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
2		ressbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	1, 2	ressbas 17178	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
4		ssid 4004	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)
5	3, 4	eqsstrrdi 4037	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵))
6		reldmress 17174	. . . . . 6 ⊢ Rel dom ↾s
7	6	ovprc2 7448	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝐴) = ∅)
8	1, 7	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝑅 = ∅)
9	8	fveq2d 6895	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘∅))
10		base0 17148	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
11		0ss 4396	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)
12	10, 11	eqsstrri 4017	. . 3 ⊢ (Base‘∅) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)
13	9, 12	eqsstrdi 4036	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵))
14	5, 13	pm2.61i 182	1 ⊢ (Base‘𝑅) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143   ↾_s cress 17172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-1cn 11167  ax-addcl 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-nn 12212  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173

This theorem is referenced by:  ressbasss  17182  ressbasss2  17184