Theorem ressbasssg 17376

Description: The base set of a restriction to 𝐴 is a subset of 𝐴 and the base set 𝐵 of the original structure. (Contributed by SN, 10-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbasssg	⊢ (Base‘𝑅) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)

Proof of Theorem ressbasssg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbas.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
2		ressbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	1, 2	ressbas 17375	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
4		ssid 3952	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)
5	3, 4	eqsstrrdi 3975	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵))
6		reldmress 17371	. . . . . 6 ⊢ Rel dom ↾s
7	6	ovprc2 7448	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝐴) = ∅)
8	1, 7	eqtrid 2807	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝑅 = ∅)
9	8	fveq2d 6877	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘∅))
10		base0 17353	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
11		0ss 4349	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)
12	10, 11	eqsstrri 3977	. . 3 ⊢ (Base‘∅) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)
13	9, 12	eqsstrdi 3974	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵))
14	5, 13	pm2.61i 184	1 ⊢ (Base‘𝑅) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ∅c0 4278  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17348   ↾_s cress 17369

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-1cn 11229  ax-addcl 11231

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-nn 12305  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370

This theorem is used by:  ressbasss  17378  ressbasss2  17380  unitscyglem5  43169