Theorem phplem3OLD 9282

Description: Obsolete version of phplem1 9270 as of 23-Sep-2024. (Contributed by NM, 26-May-1998.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
phplem2OLD.1	⊢ 𝐴 ∈ V
phplem2OLD.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
phplem3OLD	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem phplem3OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsuci 6462	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ suc 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴))
2		phplem2OLD.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		phplem2OLD.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	phplem2OLD 9281	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
5	2	enref 9045	. . . 4 ⊢ 𝐴 ≈ 𝐴
6		nnord 7911	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
7		orddif 6491	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 = (suc 𝐴 ∖ {𝐴}))
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 = (suc 𝐴 ∖ {𝐴}))
9		sneq 4658	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
10	9	difeq2d 4149	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (suc 𝐴 ∖ {𝐴}) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
11	10	eqcoms 2748	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (suc 𝐴 ∖ {𝐴}) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
12	8, 11	sylan9eq 2800	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐴 = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
13	5, 12	breqtrid 5203	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
14	4, 13	jaodan 958	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
15	1, 14	sylan2 592	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973  {csn 4648   class class class wbr 5166  Ord word 6394  suc csuc 6397  ωcom 7903   ≈ cen 9000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-suc 6401  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-om 7904  df-en 9004

This theorem is referenced by:  phplem4OLD  9283  phpOLD  9285