Theorem phplem1 9209

Description: Lemma for Pigeonhole Principle. A natural number is equinumerous to its successor minus any element of the successor. (Contributed by NM, 26-May-1998.) Avoid ax-pow 5356. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
phplem1	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem phplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ∈ ω)
2		peano2 7878	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
3		enrefnn 9049	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ≈ suc 𝐴)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ≈ suc 𝐴)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → suc 𝐴 ≈ suc 𝐴)
6		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐵 ∈ suc 𝐴)
7		dif1ennn 9163	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ suc 𝐴 ≈ suc 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴)
8	1, 5, 6, 7	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴)
9		nnfi 9169	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
10		ensymfib 9189	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) ↔ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴))
11	1, 9, 10	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → (𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) ↔ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴))
12	8, 11	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   ∖ cdif 3940  {csn 4623   class class class wbr 5141  suc csuc 6360  ωcom 7852   ≈ cen 8938  Fincfn 8941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7853  df-1o 8467  df-en 8942  df-fin 8945

This theorem is referenced by:  phplem2  9210  php  9212