Theorem phplem1 9168

Description: Lemma for Pigeonhole Principle. A natural number is equinumerous to its successor minus any element of the successor. (Contributed by NM, 26-May-1998.) Avoid ax-pow 5321. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
phplem1	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem phplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ∈ ω)
2		peano2 7866	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
3		enrefnn 9023	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ≈ suc 𝐴)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ≈ suc 𝐴)
5	4	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → suc 𝐴 ≈ suc 𝐴)
6		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐵 ∈ suc 𝐴)
7		dif1ennn 9127	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ suc 𝐴 ≈ suc 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴)
8	1, 5, 6, 7	syl3anc 1389	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴)
9		nnfi 9132	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
10		ensymfib 9148	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) ↔ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴))
11	1, 9, 10	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → (𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) ↔ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴))
12	8, 11	mpbird 259	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141   ∖ cdif 3901  {csn 4581   class class class wbr 5099  suc csuc 6344  ωcom 7842   ≈ cen 8920  Fincfn 8923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-om 7843  df-1o 8432  df-en 8924  df-fin 8927

This theorem is referenced by:  phplem2  9169  php  9171