MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem phplem1 8429
Description: Lemma for Pigeonhole Principle. If we join a natural number to itself minus an element, we end up with its successor minus the same element. (Contributed by NM, 25-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
phplem1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem phplem1
StepHypRef Expression
1 nnord 7353 . . 3 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
2 nordeq 5997 . . . 4 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)
3 disjsn2 4479 . . . 4 (𝐴𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
42, 3syl 17 . . 3 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
51, 4sylan 575 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
6 undif4 4259 . . 3 (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ → ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (({𝐴} ∪ 𝐴) ∖ {𝐵}))
7 df-suc 5984 . . . . 5 suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
87equncomi 3982 . . . 4 suc 𝐴 = ({𝐴} ∪ 𝐴)
98difeq1i 3947 . . 3 (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) = (({𝐴} ∪ 𝐴) ∖ {𝐵})
106, 9syl6eqr 2832 . 2 (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ → ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
115, 10syl 17 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  cdif 3789  cun 3790  cin 3791  c0 4141  {csn 4398  Ord word 5977  suc csuc 5980  ωcom 7345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pr 5140  ax-un 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-tr 4990  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-om 7346
This theorem is referenced by:  phplem2  8430
  Copyright terms: Public domain W3C validator