Theorem phplem1 9168

Description: Lemma for Pigeonhole Principle. A natural number is equinumerous to its successor minus any element of the successor. (Contributed by NM, 26-May-1998.) Avoid ax-pow 5320. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
phplem1	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem phplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ∈ ω)
2		peano2 7866	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
3		enrefnn 9018	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ≈ suc 𝐴)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ≈ suc 𝐴)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → suc 𝐴 ≈ suc 𝐴)
6		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐵 ∈ suc 𝐴)
7		dif1ennn 9125	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ suc 𝐴 ≈ suc 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴)
8	1, 5, 6, 7	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴)
9		nnfi 9131	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
10		ensymfib 9148	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) ↔ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴))
11	1, 9, 10	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → (𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) ↔ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴))
12	8, 11	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3911  {csn 4589   class class class wbr 5107  suc csuc 6334  ωcom 7842   ≈ cen 8915  Fincfn 8918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-om 7843  df-1o 8434  df-en 8919  df-fin 8922

This theorem is referenced by:  phplem2  9169  php  9171