Theorem phplem1 9238

Description: Lemma for Pigeonhole Principle. A natural number is equinumerous to its successor minus any element of the successor. (Contributed by NM, 26-May-1998.) Avoid ax-pow 5369. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
phplem1	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem phplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ∈ ω)
2		peano2 7902	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
3		enrefnn 9078	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ≈ suc 𝐴)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ≈ suc 𝐴)
5	4	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → suc 𝐴 ≈ suc 𝐴)
6		simpr 483	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐵 ∈ suc 𝐴)
7		dif1ennn 9192	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ suc 𝐴 ≈ suc 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴)
8	1, 5, 6, 7	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴)
9		nnfi 9198	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
10		ensymfib 9218	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) ↔ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴))
11	1, 9, 10	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → (𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) ↔ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴))
12	8, 11	mpbird 256	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098   ∖ cdif 3946  {csn 4632   class class class wbr 5152  suc csuc 6376  ωcom 7876   ≈ cen 8967  Fincfn 8970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-om 7877  df-1o 8493  df-en 8971  df-fin 8974

This theorem is referenced by:  phplem2  9239  php  9241