Theorem phplem1 9128

Description: Lemma for Pigeonhole Principle. A natural number is equinumerous to its successor minus any element of the successor. (Contributed by NM, 26-May-1998.) Avoid ax-pow 5307. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
phplem1	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem phplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ∈ ω)
2		peano2 7830	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
3		enrefnn 8979	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ≈ suc 𝐴)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ≈ suc 𝐴)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → suc 𝐴 ≈ suc 𝐴)
6		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐵 ∈ suc 𝐴)
7		dif1ennn 9085	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ suc 𝐴 ≈ suc 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴)
8	1, 5, 6, 7	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴)
9		nnfi 9091	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
10		ensymfib 9108	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) ↔ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴))
11	1, 9, 10	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → (𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) ↔ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴))
12	8, 11	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3902  {csn 4579   class class class wbr 5095  suc csuc 6313  ωcom 7806   ≈ cen 8876  Fincfn 8879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-om 7807  df-1o 8395  df-en 8880  df-fin 8883

This theorem is referenced by:  phplem2  9129  php  9131