MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pm2mpfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pm2mpfval 22653
Description: A polynomial matrix transformed into a polynomial over matrices. (Contributed by AV, 4-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pm2mpval.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
pm2mpval.c ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
pm2mpval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
pm2mpval.m โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)
pm2mpval.e โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))
pm2mpval.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐ด)
pm2mpval.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
pm2mpval.q ๐‘„ = (Poly1โ€˜๐ด)
pm2mpval.t ๐‘‡ = (๐‘ pMatToMatPoly ๐‘…)
Assertion
Ref Expression
pm2mpfval ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘€) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘€ decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘   ๐‘…,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘€
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)   ๐ถ(๐‘˜)   ๐‘ƒ(๐‘˜)   ๐‘„(๐‘˜)   ๐‘‡(๐‘˜)   โ†‘ (๐‘˜)   โˆ— (๐‘˜)   ๐‘‰(๐‘˜)   ๐‘‹(๐‘˜)

Proof of Theorem pm2mpfval
Dummy variable ๐‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm2mpval.p . . . 4 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
2 pm2mpval.c . . . 4 ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
3 pm2mpval.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
4 pm2mpval.m . . . 4 โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)
5 pm2mpval.e . . . 4 โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))
6 pm2mpval.x . . . 4 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐ด)
7 pm2mpval.a . . . 4 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
8 pm2mpval.q . . . 4 ๐‘„ = (Poly1โ€˜๐ด)
9 pm2mpval.t . . . 4 ๐‘‡ = (๐‘ pMatToMatPoly ๐‘…)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9pm2mpval 22652 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘‡ = (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘š decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))))))
11103adant3 1129 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‡ = (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘š decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))))))
12 oveq1 7412 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (๐‘š decompPMat ๐‘˜) = (๐‘€ decompPMat ๐‘˜))
1312oveq1d 7420 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ ((๐‘š decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)) = ((๐‘€ decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))
1413mpteq2dv 5243 . . . 4 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘š decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘€ decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))))
1514oveq2d 7421 . . 3 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘š decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘€ decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))))
1615adantl 481 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š = ๐‘€) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘š decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘€ decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))))
17 simp3 1135 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
18 ovexd 7440 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘€ decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))) โˆˆ V)
1911, 16, 17, 18fvmptd 6999 1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘€) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘€ decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3468   โ†ฆ cmpt 5224  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  โ„•0cn0 12476  Basecbs 17153   ยท๐‘  cvsca 17210   ฮฃg cgsu 17395  .gcmg 18995  mulGrpcmgp 20039  var1cv1 22050  Poly1cpl1 22051   Mat cmat 22262   decompPMat cdecpmat 22619   pMatToMatPoly cpm2mp 22649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-pm2mp 22650
This theorem is referenced by:  pm2mpcl  22654  pm2mpf1  22656  pm2mpcoe1  22657  idpm2idmp  22658  mp2pm2mp  22668  pm2mpghm  22673  pm2mpmhmlem2  22676  monmat2matmon  22681
  Copyright terms: Public domain W3C validator