![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > pm2mpfval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A polynomial matrix transformed into a polynomial over matrices. (Contributed by AV, 4-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
pm2mpval.p | โข ๐ = (Poly1โ๐ ) |
pm2mpval.c | โข ๐ถ = (๐ Mat ๐) |
pm2mpval.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ถ) |
pm2mpval.m | โข โ = ( ยท๐ โ๐) |
pm2mpval.e | โข โ = (.gโ(mulGrpโ๐)) |
pm2mpval.x | โข ๐ = (var1โ๐ด) |
pm2mpval.a | โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) |
pm2mpval.q | โข ๐ = (Poly1โ๐ด) |
pm2mpval.t | โข ๐ = (๐ pMatToMatPoly ๐ ) |
Ref | Expression |
---|---|
pm2mpfval | โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ต) โ (๐โ๐) = (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐ decompPMat ๐) โ (๐ โ ๐))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | pm2mpval.p | . . . 4 โข ๐ = (Poly1โ๐ ) | |
2 | pm2mpval.c | . . . 4 โข ๐ถ = (๐ Mat ๐) | |
3 | pm2mpval.b | . . . 4 โข ๐ต = (Baseโ๐ถ) | |
4 | pm2mpval.m | . . . 4 โข โ = ( ยท๐ โ๐) | |
5 | pm2mpval.e | . . . 4 โข โ = (.gโ(mulGrpโ๐)) | |
6 | pm2mpval.x | . . . 4 โข ๐ = (var1โ๐ด) | |
7 | pm2mpval.a | . . . 4 โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) | |
8 | pm2mpval.q | . . . 4 โข ๐ = (Poly1โ๐ด) | |
9 | pm2mpval.t | . . . 4 โข ๐ = (๐ pMatToMatPoly ๐ ) | |
10 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 | pm2mpval 22652 | . . 3 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ ๐) โ ๐ = (๐ โ ๐ต โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐ decompPMat ๐) โ (๐ โ ๐)))))) |
11 | 10 | 3adant3 1129 | . 2 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ = (๐ โ ๐ต โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐ decompPMat ๐) โ (๐ โ ๐)))))) |
12 | oveq1 7412 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐ โ (๐ decompPMat ๐) = (๐ decompPMat ๐)) | |
13 | 12 | oveq1d 7420 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ ((๐ decompPMat ๐) โ (๐ โ ๐)) = ((๐ decompPMat ๐) โ (๐ โ ๐))) |
14 | 13 | mpteq2dv 5243 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ (๐ โ โ0 โฆ ((๐ decompPMat ๐) โ (๐ โ ๐))) = (๐ โ โ0 โฆ ((๐ decompPMat ๐) โ (๐ โ ๐)))) |
15 | 14 | oveq2d 7421 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐ decompPMat ๐) โ (๐ โ ๐)))) = (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐ decompPMat ๐) โ (๐ โ ๐))))) |
16 | 15 | adantl 481 | . 2 โข (((๐ โ Fin โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ = ๐) โ (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐ decompPMat ๐) โ (๐ โ ๐)))) = (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐ decompPMat ๐) โ (๐ โ ๐))))) |
17 | simp3 1135 | . 2 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ ๐ต) | |
18 | ovexd 7440 | . 2 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐ decompPMat ๐) โ (๐ โ ๐)))) โ V) | |
19 | 11, 16, 17, 18 | fvmptd 6999 | 1 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ต) โ (๐โ๐) = (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐ decompPMat ๐) โ (๐ โ ๐))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 Vcvv 3468 โฆ cmpt 5224 โcfv 6537 (class class class)co 7405 Fincfn 8941 โ0cn0 12476 Basecbs 17153 ยท๐ cvsca 17210 ฮฃg cgsu 17395 .gcmg 18995 mulGrpcmgp 20039 var1cv1 22050 Poly1cpl1 22051 Mat cmat 22262 decompPMat cdecpmat 22619 pMatToMatPoly cpm2mp 22649 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pr 5420 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-ral 3056 df-rex 3065 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-id 5567 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-pm2mp 22650 |
This theorem is referenced by: pm2mpcl 22654 pm2mpf1 22656 pm2mpcoe1 22657 idpm2idmp 22658 mp2pm2mp 22668 pm2mpghm 22673 pm2mpmhmlem2 22676 monmat2matmon 22681 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |