![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > pm2mpfval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A polynomial matrix transformed into a polynomial over matrices. (Contributed by AV, 4-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
pm2mpval.p | โข ๐ = (Poly1โ๐ ) |
pm2mpval.c | โข ๐ถ = (๐ Mat ๐) |
pm2mpval.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ถ) |
pm2mpval.m | โข โ = ( ยท๐ โ๐) |
pm2mpval.e | โข โ = (.gโ(mulGrpโ๐)) |
pm2mpval.x | โข ๐ = (var1โ๐ด) |
pm2mpval.a | โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) |
pm2mpval.q | โข ๐ = (Poly1โ๐ด) |
pm2mpval.t | โข ๐ = (๐ pMatToMatPoly ๐ ) |
Ref | Expression |
---|---|
pm2mpfval | โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ต) โ (๐โ๐) = (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐ decompPMat ๐) โ (๐ โ ๐))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | pm2mpval.p | . . . 4 โข ๐ = (Poly1โ๐ ) | |
2 | pm2mpval.c | . . . 4 โข ๐ถ = (๐ Mat ๐) | |
3 | pm2mpval.b | . . . 4 โข ๐ต = (Baseโ๐ถ) | |
4 | pm2mpval.m | . . . 4 โข โ = ( ยท๐ โ๐) | |
5 | pm2mpval.e | . . . 4 โข โ = (.gโ(mulGrpโ๐)) | |
6 | pm2mpval.x | . . . 4 โข ๐ = (var1โ๐ด) | |
7 | pm2mpval.a | . . . 4 โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) | |
8 | pm2mpval.q | . . . 4 โข ๐ = (Poly1โ๐ด) | |
9 | pm2mpval.t | . . . 4 โข ๐ = (๐ pMatToMatPoly ๐ ) | |
10 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 | pm2mpval 22715 | . . 3 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ ๐) โ ๐ = (๐ โ ๐ต โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐ decompPMat ๐) โ (๐ โ ๐)))))) |
11 | 10 | 3adant3 1129 | . 2 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ = (๐ โ ๐ต โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐ decompPMat ๐) โ (๐ โ ๐)))))) |
12 | oveq1 7423 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐ โ (๐ decompPMat ๐) = (๐ decompPMat ๐)) | |
13 | 12 | oveq1d 7431 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ ((๐ decompPMat ๐) โ (๐ โ ๐)) = ((๐ decompPMat ๐) โ (๐ โ ๐))) |
14 | 13 | mpteq2dv 5245 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ (๐ โ โ0 โฆ ((๐ decompPMat ๐) โ (๐ โ ๐))) = (๐ โ โ0 โฆ ((๐ decompPMat ๐) โ (๐ โ ๐)))) |
15 | 14 | oveq2d 7432 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐ decompPMat ๐) โ (๐ โ ๐)))) = (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐ decompPMat ๐) โ (๐ โ ๐))))) |
16 | 15 | adantl 480 | . 2 โข (((๐ โ Fin โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ = ๐) โ (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐ decompPMat ๐) โ (๐ โ ๐)))) = (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐ decompPMat ๐) โ (๐ โ ๐))))) |
17 | simp3 1135 | . 2 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ ๐ต) | |
18 | ovexd 7451 | . 2 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐ decompPMat ๐) โ (๐ โ ๐)))) โ V) | |
19 | 11, 16, 17, 18 | fvmptd 7007 | 1 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ต) โ (๐โ๐) = (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐ decompPMat ๐) โ (๐ โ ๐))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 Vcvv 3463 โฆ cmpt 5226 โcfv 6543 (class class class)co 7416 Fincfn 8962 โ0cn0 12502 Basecbs 17179 ยท๐ cvsca 17236 ฮฃg cgsu 17421 .gcmg 19027 mulGrpcmgp 20078 var1cv1 22103 Poly1cpl1 22104 Mat cmat 22325 decompPMat cdecpmat 22682 pMatToMatPoly cpm2mp 22712 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-rep 5280 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pr 5423 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-ral 3052 df-rex 3061 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3769 df-csb 3885 df-dif 3942 df-un 3944 df-in 3946 df-ss 3956 df-nul 4319 df-if 4525 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-id 5570 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-ov 7419 df-oprab 7420 df-mpo 7421 df-pm2mp 22713 |
This theorem is referenced by: pm2mpcl 22717 pm2mpf1 22719 pm2mpcoe1 22720 idpm2idmp 22721 mp2pm2mp 22731 pm2mpghm 22736 pm2mpmhmlem2 22739 monmat2matmon 22744 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |