MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pm2mpval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pm2mpval 22160
Description: Value of the transformation of a polynomial matrix into a polynomial over matrices. (Contributed by AV, 5-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pm2mpval.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
pm2mpval.c ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
pm2mpval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
pm2mpval.m โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)
pm2mpval.e โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))
pm2mpval.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐ด)
pm2mpval.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
pm2mpval.q ๐‘„ = (Poly1โ€˜๐ด)
pm2mpval.t ๐‘‡ = (๐‘ pMatToMatPoly ๐‘…)
Assertion
Ref Expression
pm2mpval ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘‡ = (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘š decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))))))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘š   ๐‘˜,๐‘,๐‘š   ๐‘…,๐‘˜,๐‘š   ๐‘š,๐‘‰
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘˜,๐‘š)   ๐ต(๐‘˜)   ๐ถ(๐‘˜,๐‘š)   ๐‘ƒ(๐‘˜,๐‘š)   ๐‘„(๐‘˜,๐‘š)   ๐‘‡(๐‘˜,๐‘š)   โ†‘ (๐‘˜,๐‘š)   โˆ— (๐‘˜,๐‘š)   ๐‘‰(๐‘˜)   ๐‘‹(๐‘˜,๐‘š)

Proof of Theorem pm2mpval
Dummy variables ๐‘› ๐‘Ÿ ๐‘Ž ๐‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm2mpval.t . 2 ๐‘‡ = (๐‘ pMatToMatPoly ๐‘…)
2 df-pm2mp 22158 . . . 4 pMatToMatPoly = (๐‘› โˆˆ Fin, ๐‘Ÿ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘š โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘› Mat (Poly1โ€˜๐‘Ÿ))) โ†ฆ โฆ‹(๐‘› Mat ๐‘Ÿ) / ๐‘ŽโฆŒโฆ‹(Poly1โ€˜๐‘Ž) / ๐‘žโฆŒ(๐‘ž ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘š decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ž)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ž))(var1โ€˜๐‘Ž)))))))
32a1i 11 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ pMatToMatPoly = (๐‘› โˆˆ Fin, ๐‘Ÿ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘š โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘› Mat (Poly1โ€˜๐‘Ÿ))) โ†ฆ โฆ‹(๐‘› Mat ๐‘Ÿ) / ๐‘ŽโฆŒโฆ‹(Poly1โ€˜๐‘Ž) / ๐‘žโฆŒ(๐‘ž ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘š decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ž)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ž))(var1โ€˜๐‘Ž))))))))
4 simpl 484 . . . . . . . 8 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ ๐‘› = ๐‘)
5 fveq2 6843 . . . . . . . . 9 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (Poly1โ€˜๐‘Ÿ) = (Poly1โ€˜๐‘…))
65adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (Poly1โ€˜๐‘Ÿ) = (Poly1โ€˜๐‘…))
74, 6oveq12d 7376 . . . . . . 7 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (๐‘› Mat (Poly1โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐‘ Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))
87fveq2d 6847 . . . . . 6 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (Baseโ€˜(๐‘› Mat (Poly1โ€˜๐‘Ÿ))) = (Baseโ€˜(๐‘ Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))
9 pm2mpval.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
10 pm2mpval.c . . . . . . . . 9 ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
11 pm2mpval.p . . . . . . . . . 10 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
1211oveq2i 7369 . . . . . . . . 9 (๐‘ Mat ๐‘ƒ) = (๐‘ Mat (Poly1โ€˜๐‘…))
1310, 12eqtri 2761 . . . . . . . 8 ๐ถ = (๐‘ Mat (Poly1โ€˜๐‘…))
1413fveq2i 6846 . . . . . . 7 (Baseโ€˜๐ถ) = (Baseโ€˜(๐‘ Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))
159, 14eqtri 2761 . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜(๐‘ Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))
168, 15eqtr4di 2791 . . . . 5 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (Baseโ€˜(๐‘› Mat (Poly1โ€˜๐‘Ÿ))) = ๐ต)
1716adantl 483 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…)) โ†’ (Baseโ€˜(๐‘› Mat (Poly1โ€˜๐‘Ÿ))) = ๐ต)
18 ovex 7391 . . . . . 6 (๐‘› Mat ๐‘Ÿ) โˆˆ V
19 fvexd 6858 . . . . . . 7 (๐‘Ž = (๐‘› Mat ๐‘Ÿ) โ†’ (Poly1โ€˜๐‘Ž) โˆˆ V)
20 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž = (๐‘› Mat ๐‘Ÿ) โˆง ๐‘ž = (Poly1โ€˜๐‘Ž)) โ†’ ๐‘ž = (Poly1โ€˜๐‘Ž))
21 fveq2 6843 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž = (๐‘› Mat ๐‘Ÿ) โ†’ (Poly1โ€˜๐‘Ž) = (Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)))
2221adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž = (๐‘› Mat ๐‘Ÿ) โˆง ๐‘ž = (Poly1โ€˜๐‘Ž)) โ†’ (Poly1โ€˜๐‘Ž) = (Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)))
2320, 22eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((๐‘Ž = (๐‘› Mat ๐‘Ÿ) โˆง ๐‘ž = (Poly1โ€˜๐‘Ž)) โ†’ ๐‘ž = (Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)))
2423fveq2d 6847 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž = (๐‘› Mat ๐‘Ÿ) โˆง ๐‘ž = (Poly1โ€˜๐‘Ž)) โ†’ ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ž) = ( ยท๐‘  โ€˜(Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ))))
25 eqidd 2734 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž = (๐‘› Mat ๐‘Ÿ) โˆง ๐‘ž = (Poly1โ€˜๐‘Ž)) โ†’ (๐‘š decompPMat ๐‘˜) = (๐‘š decompPMat ๐‘˜))
2623fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž = (๐‘› Mat ๐‘Ÿ) โˆง ๐‘ž = (Poly1โ€˜๐‘Ž)) โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘ž) = (mulGrpโ€˜(Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ))))
2726fveq2d 6847 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž = (๐‘› Mat ๐‘Ÿ) โˆง ๐‘ž = (Poly1โ€˜๐‘Ž)) โ†’ (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ž)) = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜(Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)))))
28 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž = (๐‘› Mat ๐‘Ÿ) โˆง ๐‘ž = (Poly1โ€˜๐‘Ž)) โ†’ ๐‘˜ = ๐‘˜)
29 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž = (๐‘› Mat ๐‘Ÿ) โ†’ (var1โ€˜๐‘Ž) = (var1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)))
3029adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž = (๐‘› Mat ๐‘Ÿ) โˆง ๐‘ž = (Poly1โ€˜๐‘Ž)) โ†’ (var1โ€˜๐‘Ž) = (var1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)))
3127, 28, 30oveq123d 7379 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž = (๐‘› Mat ๐‘Ÿ) โˆง ๐‘ž = (Poly1โ€˜๐‘Ž)) โ†’ (๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ž))(var1โ€˜๐‘Ž)) = (๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜(Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ))))(var1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ))))
3224, 25, 31oveq123d 7379 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž = (๐‘› Mat ๐‘Ÿ) โˆง ๐‘ž = (Poly1โ€˜๐‘Ž)) โ†’ ((๐‘š decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ž)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ž))(var1โ€˜๐‘Ž))) = ((๐‘š decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜(Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)))(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜(Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ))))(var1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)))))
3332mpteq2dv 5208 . . . . . . . 8 ((๐‘Ž = (๐‘› Mat ๐‘Ÿ) โˆง ๐‘ž = (Poly1โ€˜๐‘Ž)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘š decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ž)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ž))(var1โ€˜๐‘Ž)))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘š decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜(Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)))(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜(Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ))))(var1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ))))))
3423, 33oveq12d 7376 . . . . . . 7 ((๐‘Ž = (๐‘› Mat ๐‘Ÿ) โˆง ๐‘ž = (Poly1โ€˜๐‘Ž)) โ†’ (๐‘ž ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘š decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ž)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ž))(var1โ€˜๐‘Ž))))) = ((Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)) ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘š decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜(Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)))(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜(Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ))))(var1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)))))))
3519, 34csbied 3894 . . . . . 6 (๐‘Ž = (๐‘› Mat ๐‘Ÿ) โ†’ โฆ‹(Poly1โ€˜๐‘Ž) / ๐‘žโฆŒ(๐‘ž ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘š decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ž)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ž))(var1โ€˜๐‘Ž))))) = ((Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)) ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘š decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜(Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)))(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜(Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ))))(var1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)))))))
3618, 35csbie 3892 . . . . 5 โฆ‹(๐‘› Mat ๐‘Ÿ) / ๐‘ŽโฆŒโฆ‹(Poly1โ€˜๐‘Ž) / ๐‘žโฆŒ(๐‘ž ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘š decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ž)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ž))(var1โ€˜๐‘Ž))))) = ((Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)) ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘š decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜(Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)))(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜(Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ))))(var1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ))))))
37 oveq12 7367 . . . . . . . . 9 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (๐‘› Mat ๐‘Ÿ) = (๐‘ Mat ๐‘…))
3837fveq2d 6847 . . . . . . . 8 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)) = (Poly1โ€˜(๐‘ Mat ๐‘…)))
39 pm2mpval.q . . . . . . . . 9 ๐‘„ = (Poly1โ€˜๐ด)
40 pm2mpval.a . . . . . . . . . 10 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
4140fveq2i 6846 . . . . . . . . 9 (Poly1โ€˜๐ด) = (Poly1โ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))
4239, 41eqtri 2761 . . . . . . . 8 ๐‘„ = (Poly1โ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))
4338, 42eqtr4di 2791 . . . . . . 7 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)) = ๐‘„)
4438fveq2d 6847 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ ( ยท๐‘  โ€˜(Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ))) = ( ยท๐‘  โ€˜(Poly1โ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))))
45 pm2mpval.m . . . . . . . . . . 11 โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)
4642fveq2i 6846 . . . . . . . . . . 11 ( ยท๐‘  โ€˜๐‘„) = ( ยท๐‘  โ€˜(Poly1โ€˜(๐‘ Mat ๐‘…)))
4745, 46eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜(Poly1โ€˜(๐‘ Mat ๐‘…)))
4844, 47eqtr4di 2791 . . . . . . . . 9 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ ( ยท๐‘  โ€˜(Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ))) = โˆ— )
49 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (๐‘š decompPMat ๐‘˜) = (๐‘š decompPMat ๐‘˜))
5038fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (mulGrpโ€˜(Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ))) = (mulGrpโ€˜(Poly1โ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))))
5150fveq2d 6847 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (.gโ€˜(mulGrpโ€˜(Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)))) = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜(Poly1โ€˜(๐‘ Mat ๐‘…)))))
52 pm2mpval.e . . . . . . . . . . . 12 โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))
5342fveq2i 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (mulGrpโ€˜๐‘„) = (mulGrpโ€˜(Poly1โ€˜(๐‘ Mat ๐‘…)))
5453fveq2i 6846 . . . . . . . . . . . 12 (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„)) = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜(Poly1โ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))))
5552, 54eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜(Poly1โ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))))
5651, 55eqtr4di 2791 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (.gโ€˜(mulGrpโ€˜(Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)))) = โ†‘ )
57 eqidd 2734 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ ๐‘˜ = ๐‘˜)
5837fveq2d 6847 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (var1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)) = (var1โ€˜(๐‘ Mat ๐‘…)))
59 pm2mpval.x . . . . . . . . . . . 12 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐ด)
6040fveq2i 6846 . . . . . . . . . . . 12 (var1โ€˜๐ด) = (var1โ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))
6159, 60eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 ๐‘‹ = (var1โ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))
6258, 61eqtr4di 2791 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (var1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)) = ๐‘‹)
6356, 57, 62oveq123d 7379 . . . . . . . . 9 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜(Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ))))(var1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ))) = (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))
6448, 49, 63oveq123d 7379 . . . . . . . 8 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ ((๐‘š decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜(Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)))(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜(Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ))))(var1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)))) = ((๐‘š decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))
6564mpteq2dv 5208 . . . . . . 7 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘š decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜(Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)))(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜(Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ))))(var1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ))))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘š decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))))
6643, 65oveq12d 7376 . . . . . 6 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ ((Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)) ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘š decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜(Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)))(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜(Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ))))(var1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)))))) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘š decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))))
6766adantl 483 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…)) โ†’ ((Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)) ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘š decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜(Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)))(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜(Poly1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ))))(var1โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)))))) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘š decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))))
6836, 67eqtrid 2785 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…)) โ†’ โฆ‹(๐‘› Mat ๐‘Ÿ) / ๐‘ŽโฆŒโฆ‹(Poly1โ€˜๐‘Ž) / ๐‘žโฆŒ(๐‘ž ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘š decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ž)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ž))(var1โ€˜๐‘Ž))))) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘š decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))))
6917, 68mpteq12dv 5197 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…)) โ†’ (๐‘š โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘› Mat (Poly1โ€˜๐‘Ÿ))) โ†ฆ โฆ‹(๐‘› Mat ๐‘Ÿ) / ๐‘ŽโฆŒโฆ‹(Poly1โ€˜๐‘Ž) / ๐‘žโฆŒ(๐‘ž ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘š decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ž)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ž))(var1โ€˜๐‘Ž)))))) = (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘š decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))))))
70 simpl 484 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
71 elex 3462 . . . 4 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
7271adantl 483 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
739fvexi 6857 . . . . 5 ๐ต โˆˆ V
7473mptex 7174 . . . 4 (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘š decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))))) โˆˆ V
7574a1i 11 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘š decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))))) โˆˆ V)
763, 69, 70, 72, 75ovmpod 7508 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘ pMatToMatPoly ๐‘…) = (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘š decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))))))
771, 76eqtrid 2785 1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘‡ = (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘š decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3444  โฆ‹csb 3856   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   โˆˆ cmpo 7360  Fincfn 8886  โ„•0cn0 12418  Basecbs 17088   ยท๐‘  cvsca 17142   ฮฃg cgsu 17327  .gcmg 18877  mulGrpcmgp 19901  var1cv1 21563  Poly1cpl1 21564   Mat cmat 21770   decompPMat cdecpmat 22127   pMatToMatPoly cpm2mp 22157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-pm2mp 22158
This theorem is referenced by:  pm2mpfval  22161  pm2mpf  22163
  Copyright terms: Public domain W3C validator