MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pm2mpcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pm2mpcl 21956
Description: The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices maps polynomial matrices to polynomials over matrices. (Contributed by AV, 5-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pm2mpval.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
pm2mpval.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpval.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
pm2mpval.m = ( ·𝑠𝑄)
pm2mpval.e = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
pm2mpval.x 𝑋 = (var1𝐴)
pm2mpval.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpval.q 𝑄 = (Poly1𝐴)
pm2mpval.t 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
pm2mpcl.l 𝐿 = (Base‘𝑄)
Assertion
Ref Expression
pm2mpcl ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ 𝐿)

Proof of Theorem pm2mpcl
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm2mpval.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 pm2mpval.c . . 3 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
3 pm2mpval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
4 pm2mpval.m . . 3 = ( ·𝑠𝑄)
5 pm2mpval.e . . 3 = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
6 pm2mpval.x . . 3 𝑋 = (var1𝐴)
7 pm2mpval.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
8 pm2mpval.q . . 3 𝑄 = (Poly1𝐴)
9 pm2mpval.t . . 3 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9pm2mpfval 21955 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑀 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))
11 pm2mpcl.l . . 3 𝐿 = (Base‘𝑄)
12 eqid 2738 . . 3 (0g𝑄) = (0g𝑄)
137matring 21602 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
148ply1ring 21429 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring)
15 ringcmn 19830 . . . . 5 (𝑄 ∈ Ring → 𝑄 ∈ CMnd)
1613, 14, 153syl 18 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ CMnd)
17163adant3 1131 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑄 ∈ CMnd)
18 nn0ex 12249 . . . 4 0 ∈ V
1918a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ℕ0 ∈ V)
20133adant3 1131 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)
2120adantr 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ Ring)
22 simpl2 1191 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
23 simpl3 1192 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀𝐵)
24 simpr 485 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
25 eqid 2738 . . . . . . 7 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
261, 2, 3, 7, 25decpmatcl 21926 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
2722, 23, 24, 26syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
28 eqid 2738 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑄) = (mulGrp‘𝑄)
2925, 8, 6, 4, 28, 5, 11ply1tmcl 21453 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Ring ∧ (𝑀 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐿)
3021, 27, 24, 29syl3anc 1370 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐿)
3130fmpttd 6981 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑀 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))):ℕ0𝐿)
328ply1lmod 21433 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ LMod)
3320, 32syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑄 ∈ LMod)
34 eqidd 2739 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (Scalar‘𝑄) = (Scalar‘𝑄))
358, 6, 28, 5, 11ply1moncl 21452 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 𝑋) ∈ 𝐿)
3620, 35sylan 580 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 𝑋) ∈ 𝐿)
37 eqid 2738 . . . 4 (0g‘(Scalar‘𝑄)) = (0g‘(Scalar‘𝑄))
38 eqid 2738 . . . . . . 7 (0g𝐴) = (0g𝐴)
391, 2, 3, 7, 38decpmatfsupp 21928 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑀 decompPMat 𝑘)) finSupp (0g𝐴))
40393adant1 1129 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑀 decompPMat 𝑘)) finSupp (0g𝐴))
418ply1sca 21434 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
4241eqcomd 2744 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Ring → (Scalar‘𝑄) = 𝐴)
4320, 42syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (Scalar‘𝑄) = 𝐴)
4443fveq2d 6770 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (0g‘(Scalar‘𝑄)) = (0g𝐴))
4540, 44breqtrrd 5101 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑀 decompPMat 𝑘)) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑄)))
4619, 33, 34, 11, 27, 36, 12, 37, 4, 45mptscmfsupp0 20198 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑀 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))) finSupp (0g𝑄))
4711, 12, 17, 19, 31, 46gsumcl 19526 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑀 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))) ∈ 𝐿)
4810, 47eqeltrd 2839 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ 𝐿)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  Vcvv 3429   class class class wbr 5073  cmpt 5156  cfv 6426  (class class class)co 7267  Fincfn 8720   finSupp cfsupp 9115  0cn0 12243  Basecbs 16922  Scalarcsca 16975   ·𝑠 cvsca 16976  0gc0g 17160   Σg cgsu 17161  .gcmg 18710  CMndccmn 19396  mulGrpcmgp 19730  Ringcrg 19793  LModclmod 20133  var1cv1 21357  Poly1cpl1 21358   Mat cmat 21564   decompPMat cdecpmat 21921   pMatToMatPoly cpm2mp 21951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-se 5540  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-isom 6435  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-of 7523  df-ofr 7524  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-supp 7965  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-er 8485  df-map 8604  df-pm 8605  df-ixp 8673  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-fsupp 9116  df-sup 9188  df-oi 9256  df-card 9707  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-7 12051  df-8 12052  df-9 12053  df-n0 12244  df-z 12330  df-dec 12448  df-uz 12593  df-fz 13250  df-fzo 13393  df-seq 13732  df-hash 14055  df-struct 16858  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-sca 16988  df-vsca 16989  df-ip 16990  df-tset 16991  df-ple 16992  df-ds 16994  df-hom 16996  df-cco 16997  df-0g 17162  df-gsum 17163  df-prds 17168  df-pws 17170  df-mre 17305  df-mrc 17306  df-acs 17308  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-mhm 18440  df-submnd 18441  df-grp 18590  df-minusg 18591  df-sbg 18592  df-mulg 18711  df-subg 18762  df-ghm 18842  df-cntz 18933  df-cmn 19398  df-abl 19399  df-mgp 19731  df-ur 19748  df-ring 19795  df-subrg 20032  df-lmod 20135  df-lss 20204  df-sra 20444  df-rgmod 20445  df-dsmm 20949  df-frlm 20964  df-psr 21122  df-mvr 21123  df-mpl 21124  df-opsr 21126  df-psr1 21361  df-vr1 21362  df-ply1 21363  df-coe1 21364  df-mamu 21543  df-mat 21565  df-decpmat 21922  df-pm2mp 21952
This theorem is referenced by:  pm2mpf  21957  pm2mpf1  21958
  Copyright terms: Public domain W3C validator