MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idpm2idmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idpm2idmp 22150
Description: The transformation of the identity polynomial matrix into polynomials over matrices results in the identity of the polynomials over matrices. (Contributed by AV, 18-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pm2mpval.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
pm2mpval.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpval.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
pm2mpval.m = ( ·𝑠𝑄)
pm2mpval.e = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
pm2mpval.x 𝑋 = (var1𝐴)
pm2mpval.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpval.q 𝑄 = (Poly1𝐴)
pm2mpval.t 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
Assertion
Ref Expression
idpm2idmp ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r𝐶)) = (1r𝑄))

Proof of Theorem idpm2idmp
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm2mpval.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 pm2mpval.c . . . . 5 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
31, 2pmatring 22041 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
4 pm2mpval.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐶)
5 eqid 2736 . . . . 5 (1r𝐶) = (1r𝐶)
64, 5ringidcl 19989 . . . 4 (𝐶 ∈ Ring → (1r𝐶) ∈ 𝐵)
73, 6syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐶) ∈ 𝐵)
8 pm2mpval.m . . . 4 = ( ·𝑠𝑄)
9 pm2mpval.e . . . 4 = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
10 pm2mpval.x . . . 4 𝑋 = (var1𝐴)
11 pm2mpval.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
12 pm2mpval.q . . . 4 𝑄 = (Poly1𝐴)
13 pm2mpval.t . . . 4 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
141, 2, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13pm2mpfval 22145 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(1r𝐶)) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((1r𝐶) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))
157, 14mpd3an3 1462 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r𝐶)) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((1r𝐶) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))
16 eqid 2736 . . . . . . 7 (0g𝐴) = (0g𝐴)
17 eqid 2736 . . . . . . 7 (1r𝐴) = (1r𝐴)
181, 2, 5, 11, 16, 17decpmatid 22119 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1r𝐶) decompPMat 𝑘) = if(𝑘 = 0, (1r𝐴), (0g𝐴)))
19183expa 1118 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1r𝐶) decompPMat 𝑘) = if(𝑘 = 0, (1r𝐴), (0g𝐴)))
2019oveq1d 7372 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((1r𝐶) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)) = (if(𝑘 = 0, (1r𝐴), (0g𝐴)) (𝑘 𝑋)))
2120mpteq2dva 5205 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((1r𝐶) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, (1r𝐴), (0g𝐴)) (𝑘 𝑋))))
2221oveq2d 7373 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((1r𝐶) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, (1r𝐴), (0g𝐴)) (𝑘 𝑋)))))
23 ovif 7454 . . . . . 6 (if(𝑘 = 0, (1r𝐴), (0g𝐴)) (𝑘 𝑋)) = if(𝑘 = 0, ((1r𝐴) (𝑘 𝑋)), ((0g𝐴) (𝑘 𝑋)))
2411matring 21792 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
2512ply1sca 21624 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
2726adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
2827fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1r𝐴) = (1r‘(Scalar‘𝑄)))
2928oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1r𝐴) (𝑘 𝑋)) = ((1r‘(Scalar‘𝑄)) (𝑘 𝑋)))
3012ply1lmod 21623 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ LMod)
3124, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ LMod)
32 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘𝑄) = (mulGrp‘𝑄)
33 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
3412, 10, 32, 9, 33ply1moncl 21642 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 𝑋) ∈ (Base‘𝑄))
3524, 34sylan 580 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 𝑋) ∈ (Base‘𝑄))
36 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘𝑄) = (Scalar‘𝑄)
37 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (1r‘(Scalar‘𝑄)) = (1r‘(Scalar‘𝑄))
3833, 36, 8, 37lmodvs1 20350 . . . . . . . . 9 ((𝑄 ∈ LMod ∧ (𝑘 𝑋) ∈ (Base‘𝑄)) → ((1r‘(Scalar‘𝑄)) (𝑘 𝑋)) = (𝑘 𝑋))
3931, 35, 38syl2an2r 683 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1r‘(Scalar‘𝑄)) (𝑘 𝑋)) = (𝑘 𝑋))
4029, 39eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1r𝐴) (𝑘 𝑋)) = (𝑘 𝑋))
4127fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0g𝐴) = (0g‘(Scalar‘𝑄)))
4241oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((0g𝐴) (𝑘 𝑋)) = ((0g‘(Scalar‘𝑄)) (𝑘 𝑋)))
43 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (0g‘(Scalar‘𝑄)) = (0g‘(Scalar‘𝑄))
44 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (0g𝑄) = (0g𝑄)
4533, 36, 8, 43, 44lmod0vs 20355 . . . . . . . . 9 ((𝑄 ∈ LMod ∧ (𝑘 𝑋) ∈ (Base‘𝑄)) → ((0g‘(Scalar‘𝑄)) (𝑘 𝑋)) = (0g𝑄))
4631, 35, 45syl2an2r 683 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((0g‘(Scalar‘𝑄)) (𝑘 𝑋)) = (0g𝑄))
4742, 46eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((0g𝐴) (𝑘 𝑋)) = (0g𝑄))
4840, 47ifeq12d 4507 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 = 0, ((1r𝐴) (𝑘 𝑋)), ((0g𝐴) (𝑘 𝑋))) = if(𝑘 = 0, (𝑘 𝑋), (0g𝑄)))
4923, 48eqtrid 2788 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑘 = 0, (1r𝐴), (0g𝐴)) (𝑘 𝑋)) = if(𝑘 = 0, (𝑘 𝑋), (0g𝑄)))
5049mpteq2dva 5205 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, (1r𝐴), (0g𝐴)) (𝑘 𝑋))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, (𝑘 𝑋), (0g𝑄))))
5150oveq2d 7373 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, (1r𝐴), (0g𝐴)) (𝑘 𝑋)))) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, (𝑘 𝑋), (0g𝑄)))))
5212ply1ring 21619 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring)
53 ringmnd 19974 . . . . 5 (𝑄 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Mnd)
5424, 52, 533syl 18 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Mnd)
55 nn0ex 12419 . . . . 5 0 ∈ V
5655a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ℕ0 ∈ V)
57 0nn0 12428 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
5857a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0 ∈ ℕ0)
59 eqid 2736 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, (𝑘 𝑋), (0g𝑄))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, (𝑘 𝑋), (0g𝑄)))
6035ralrimiva 3143 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 𝑋) ∈ (Base‘𝑄))
6144, 54, 56, 58, 59, 60gsummpt1n0 19742 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, (𝑘 𝑋), (0g𝑄)))) = 0 / 𝑘(𝑘 𝑋))
62 c0ex 11149 . . . . 5 0 ∈ V
63 csbov1g 7402 . . . . 5 (0 ∈ V → 0 / 𝑘(𝑘 𝑋) = (0 / 𝑘𝑘 𝑋))
6462, 63mp1i 13 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0 / 𝑘(𝑘 𝑋) = (0 / 𝑘𝑘 𝑋))
65 csbvarg 4391 . . . . . 6 (0 ∈ V → 0 / 𝑘𝑘 = 0)
6662, 65mp1i 13 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0 / 𝑘𝑘 = 0)
6766oveq1d 7372 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0 / 𝑘𝑘 𝑋) = (0 𝑋))
6812, 10, 32, 9ply1idvr1 21664 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ring → (0 𝑋) = (1r𝑄))
6924, 68syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0 𝑋) = (1r𝑄))
7064, 67, 693eqtrd 2780 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0 / 𝑘(𝑘 𝑋) = (1r𝑄))
7151, 61, 703eqtrd 2780 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, (1r𝐴), (0g𝐴)) (𝑘 𝑋)))) = (1r𝑄))
7215, 22, 713eqtrd 2780 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r𝐶)) = (1r𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  csb 3855  ifcif 4486  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  0cc0 11051  0cn0 12413  Basecbs 17083  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  Mndcmnd 18556  .gcmg 18872  mulGrpcmgp 19896  1rcur 19913  Ringcrg 19964  LModclmod 20322  var1cv1 21547  Poly1cpl1 21548   Mat cmat 21754   decompPMat cdecpmat 22111   pMatToMatPoly cpm2mp 22141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-ascl 21261  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313  df-opsr 21315  df-psr1 21551  df-vr1 21552  df-ply1 21553  df-coe1 21554  df-mamu 21733  df-mat 21755  df-decpmat 22112  df-pm2mp 22142
This theorem is referenced by:  pm2mpmhm  22169
  Copyright terms: Public domain W3C validator