Theorem idpm2idmp 22150

Description: The transformation of the identity polynomial matrix into polynomials over matrices results in the identity of the polynomials over matrices. (Contributed by AV, 18-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pm2mpval.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pm2mpval.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
pm2mpval.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
pm2mpval.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
pm2mpval.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
pm2mpval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpval.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
pm2mpval.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
idpm2idmp	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r‘𝐶)) = (1r‘𝑄))

Proof of Theorem idpm2idmp

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2mpval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		pm2mpval.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
3	1, 2	pmatring 22041	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
4		pm2mpval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
5		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐶) = (1r‘𝐶)
6	4, 5	ringidcl 19989	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Ring → (1r‘𝐶) ∈ 𝐵)
7	3, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐶) ∈ 𝐵)
8		pm2mpval.m	. . . 4 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
9		pm2mpval.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
10		pm2mpval.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
11		pm2mpval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
12		pm2mpval.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
13		pm2mpval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
14	1, 2, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13	pm2mpfval 22145	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(1r‘𝐶)) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((1r‘𝐶) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
15	7, 14	mpd3an3 1462	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r‘𝐶)) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((1r‘𝐶) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
16		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘𝐴)
17		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
18	1, 2, 5, 11, 16, 17	decpmatid 22119	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1r‘𝐶) decompPMat 𝑘) = if(𝑘 = 0, (1r‘𝐴), (0g‘𝐴)))
19	18	3expa 1118	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1r‘𝐶) decompPMat 𝑘) = if(𝑘 = 0, (1r‘𝐴), (0g‘𝐴)))
20	19	oveq1d 7372	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((1r‘𝐶) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (if(𝑘 = 0, (1r‘𝐴), (0g‘𝐴)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))
21	20	mpteq2dva 5205	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((1r‘𝐶) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, (1r‘𝐴), (0g‘𝐴)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))
22	21	oveq2d 7373	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((1r‘𝐶) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, (1r‘𝐴), (0g‘𝐴)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
23		ovif 7454	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑘 = 0, (1r‘𝐴), (0g‘𝐴)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = if(𝑘 = 0, ((1r‘𝐴) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)), ((0g‘𝐴) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))
24	11	matring 21792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
25	12	ply1sca 21624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
28	27	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1r‘𝐴) = (1r‘(Scalar‘𝑄)))
29	28	oveq1d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1r‘𝐴) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = ((1r‘(Scalar‘𝑄)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))
30	12	ply1lmod 21623	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ LMod)
31	24, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ LMod)
32		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘𝑄) = (mulGrp‘𝑄)
33		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
34	12, 10, 32, 9, 33	ply1moncl 21642	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑄))
35	24, 34	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑄))
36		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑄) = (Scalar‘𝑄)
37		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑄)) = (1r‘(Scalar‘𝑄))
38	33, 36, 8, 37	lmodvs1 20350	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ LMod ∧ (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑄)) → ((1r‘(Scalar‘𝑄)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (𝑘 ↑ 𝑋))
39	31, 35, 38	syl2an2r 683	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1r‘(Scalar‘𝑄)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (𝑘 ↑ 𝑋))
40	29, 39	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1r‘𝐴) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (𝑘 ↑ 𝑋))
41	27	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0g‘𝐴) = (0g‘(Scalar‘𝑄)))
42	41	oveq1d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((0g‘𝐴) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = ((0g‘(Scalar‘𝑄)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))
43		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑄)) = (0g‘(Scalar‘𝑄))
44		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑄) = (0g‘𝑄)
45	33, 36, 8, 43, 44	lmod0vs 20355	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ LMod ∧ (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑄)) → ((0g‘(Scalar‘𝑄)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑄))
46	31, 35, 45	syl2an2r 683	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((0g‘(Scalar‘𝑄)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑄))
47	42, 46	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((0g‘𝐴) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑄))
48	40, 47	ifeq12d 4507	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 = 0, ((1r‘𝐴) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)), ((0g‘𝐴) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = if(𝑘 = 0, (𝑘 ↑ 𝑋), (0g‘𝑄)))
49	23, 48	eqtrid 2788	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑘 = 0, (1r‘𝐴), (0g‘𝐴)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = if(𝑘 = 0, (𝑘 ↑ 𝑋), (0g‘𝑄)))
50	49	mpteq2dva 5205	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, (1r‘𝐴), (0g‘𝐴)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, (𝑘 ↑ 𝑋), (0g‘𝑄))))
51	50	oveq2d 7373	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, (1r‘𝐴), (0g‘𝐴)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, (𝑘 ↑ 𝑋), (0g‘𝑄)))))
52	12	ply1ring 21619	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring)
53		ringmnd 19974	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Mnd)
54	24, 52, 53	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Mnd)
55		nn0ex 12419	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
56	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ℕ0 ∈ V)
57		0nn0 12428	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
58	57	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0 ∈ ℕ0)
59		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, (𝑘 ↑ 𝑋), (0g‘𝑄))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, (𝑘 ↑ 𝑋), (0g‘𝑄)))
60	35	ralrimiva 3143	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑄))
61	44, 54, 56, 58, 59, 60	gsummpt1n0 19742	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, (𝑘 ↑ 𝑋), (0g‘𝑄)))) = ⦋0 / 𝑘⦌(𝑘 ↑ 𝑋))
62		c0ex 11149	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
63		csbov1g 7402	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ V → ⦋0 / 𝑘⦌(𝑘 ↑ 𝑋) = (⦋0 / 𝑘⦌𝑘 ↑ 𝑋))
64	62, 63	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ⦋0 / 𝑘⦌(𝑘 ↑ 𝑋) = (⦋0 / 𝑘⦌𝑘 ↑ 𝑋))
65		csbvarg 4391	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ V → ⦋0 / 𝑘⦌𝑘 = 0)
66	62, 65	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ⦋0 / 𝑘⦌𝑘 = 0)
67	66	oveq1d 7372	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (⦋0 / 𝑘⦌𝑘 ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
68	12, 10, 32, 9	ply1idvr1 21664	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑄))
69	24, 68	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑄))
70	64, 67, 69	3eqtrd 2780	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ⦋0 / 𝑘⦌(𝑘 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑄))
71	51, 61, 70	3eqtrd 2780	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, (1r‘𝐴), (0g‘𝐴)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (1r‘𝑄))
72	15, 22, 71	3eqtrd 2780	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r‘𝐶)) = (1r‘𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3445  ⦋csb 3855  ifcif 4486   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  0cc0 11051  ℕ₀cn0 12413  Basecbs 17083  Scalarcsca 17136   ·_𝑠 cvsca 17137  0_gc0g 17321   Σ_g cgsu 17322  Mndcmnd 18556  ._gcmg 18872  mulGrpcmgp 19896  1_rcur 19913  Ringcrg 19964  LModclmod 20322  var₁cv1 21547  Poly₁cpl1 21548   Mat cmat 21754   decompPMat cdecpmat 22111   pMatToMatPoly cpm2mp 22141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-ascl 21261  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313  df-opsr 21315  df-psr1 21551  df-vr1 21552  df-ply1 21553  df-coe1 21554  df-mamu 21733  df-mat 21755  df-decpmat 22112  df-pm2mp 22142

This theorem is referenced by:  pm2mpmhm  22169