Theorem idpm2idmp 22724

Description: The transformation of the identity polynomial matrix into polynomials over matrices results in the identity of the polynomials over matrices. (Contributed by AV, 18-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pm2mpval.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pm2mpval.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
pm2mpval.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
pm2mpval.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
pm2mpval.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
pm2mpval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpval.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
pm2mpval.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
idpm2idmp	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r‘𝐶)) = (1r‘𝑄))

Proof of Theorem idpm2idmp

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2mpval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		pm2mpval.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
3	1, 2	pmatring 22615	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
4		pm2mpval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
5		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐶) = (1r‘𝐶)
6	4, 5	ringidcl 20210	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Ring → (1r‘𝐶) ∈ 𝐵)
7	3, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐶) ∈ 𝐵)
8		pm2mpval.m	. . . 4 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
9		pm2mpval.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
10		pm2mpval.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
11		pm2mpval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
12		pm2mpval.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
13		pm2mpval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
14	1, 2, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13	pm2mpfval 22719	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(1r‘𝐶)) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((1r‘𝐶) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
15	7, 14	mpd3an3 1463	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r‘𝐶)) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((1r‘𝐶) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
16		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘𝐴)
17		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
18	1, 2, 5, 11, 16, 17	decpmatid 22693	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1r‘𝐶) decompPMat 𝑘) = if(𝑘 = 0, (1r‘𝐴), (0g‘𝐴)))
19	18	3expa 1118	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1r‘𝐶) decompPMat 𝑘) = if(𝑘 = 0, (1r‘𝐴), (0g‘𝐴)))
20	19	oveq1d 7414	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((1r‘𝐶) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (if(𝑘 = 0, (1r‘𝐴), (0g‘𝐴)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))
21	20	mpteq2dva 5211	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((1r‘𝐶) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, (1r‘𝐴), (0g‘𝐴)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))
22	21	oveq2d 7415	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((1r‘𝐶) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, (1r‘𝐴), (0g‘𝐴)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
23		ovif 7499	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑘 = 0, (1r‘𝐴), (0g‘𝐴)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = if(𝑘 = 0, ((1r‘𝐴) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)), ((0g‘𝐴) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))
24	11	matring 22366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
25	12	ply1sca 22173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
28	27	fveq2d 6876	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1r‘𝐴) = (1r‘(Scalar‘𝑄)))
29	28	oveq1d 7414	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1r‘𝐴) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = ((1r‘(Scalar‘𝑄)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))
30	12	ply1lmod 22172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ LMod)
31	24, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ LMod)
32		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘𝑄) = (mulGrp‘𝑄)
33		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
34	12, 10, 32, 9, 33	ply1moncl 22193	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑄))
35	24, 34	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑄))
36		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑄) = (Scalar‘𝑄)
37		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑄)) = (1r‘(Scalar‘𝑄))
38	33, 36, 8, 37	lmodvs1 20832	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ LMod ∧ (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑄)) → ((1r‘(Scalar‘𝑄)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (𝑘 ↑ 𝑋))
39	31, 35, 38	syl2an2r 685	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1r‘(Scalar‘𝑄)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (𝑘 ↑ 𝑋))
40	29, 39	eqtrd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1r‘𝐴) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (𝑘 ↑ 𝑋))
41	27	fveq2d 6876	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0g‘𝐴) = (0g‘(Scalar‘𝑄)))
42	41	oveq1d 7414	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((0g‘𝐴) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = ((0g‘(Scalar‘𝑄)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))
43		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑄)) = (0g‘(Scalar‘𝑄))
44		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑄) = (0g‘𝑄)
45	33, 36, 8, 43, 44	lmod0vs 20837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ LMod ∧ (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑄)) → ((0g‘(Scalar‘𝑄)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑄))
46	31, 35, 45	syl2an2r 685	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((0g‘(Scalar‘𝑄)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑄))
47	42, 46	eqtrd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((0g‘𝐴) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑄))
48	40, 47	ifeq12d 4520	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 = 0, ((1r‘𝐴) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)), ((0g‘𝐴) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = if(𝑘 = 0, (𝑘 ↑ 𝑋), (0g‘𝑄)))
49	23, 48	eqtrid 2781	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑘 = 0, (1r‘𝐴), (0g‘𝐴)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = if(𝑘 = 0, (𝑘 ↑ 𝑋), (0g‘𝑄)))
50	49	mpteq2dva 5211	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, (1r‘𝐴), (0g‘𝐴)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, (𝑘 ↑ 𝑋), (0g‘𝑄))))
51	50	oveq2d 7415	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, (1r‘𝐴), (0g‘𝐴)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, (𝑘 ↑ 𝑋), (0g‘𝑄)))))
52	12	ply1ring 22168	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring)
53		ringmnd 20188	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Mnd)
54	24, 52, 53	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Mnd)
55		nn0ex 12499	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
56	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ℕ0 ∈ V)
57		0nn0 12508	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
58	57	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0 ∈ ℕ0)
59		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, (𝑘 ↑ 𝑋), (0g‘𝑄))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, (𝑘 ↑ 𝑋), (0g‘𝑄)))
60	35	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑄))
61	44, 54, 56, 58, 59, 60	gsummpt1n0 19931	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, (𝑘 ↑ 𝑋), (0g‘𝑄)))) = ⦋0 / 𝑘⦌(𝑘 ↑ 𝑋))
62		c0ex 11221	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
63		csbov1g 7446	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ V → ⦋0 / 𝑘⦌(𝑘 ↑ 𝑋) = (⦋0 / 𝑘⦌𝑘 ↑ 𝑋))
64	62, 63	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ⦋0 / 𝑘⦌(𝑘 ↑ 𝑋) = (⦋0 / 𝑘⦌𝑘 ↑ 𝑋))
65		csbvarg 4407	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ V → ⦋0 / 𝑘⦌𝑘 = 0)
66	62, 65	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ⦋0 / 𝑘⦌𝑘 = 0)
67	66	oveq1d 7414	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (⦋0 / 𝑘⦌𝑘 ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
68	12, 10, 32, 9	ply1idvr1 22217	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑄))
69	24, 68	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑄))
70	64, 67, 69	3eqtrd 2773	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ⦋0 / 𝑘⦌(𝑘 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑄))
71	51, 61, 70	3eqtrd 2773	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, (1r‘𝐴), (0g‘𝐴)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (1r‘𝑄))
72	15, 22, 71	3eqtrd 2773	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r‘𝐶)) = (1r‘𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3457  ⦋csb 3872  ifcif 4498   ↦ cmpt 5198  ‘cfv 6527  (class class class)co 7399  Fincfn 8953  0cc0 11121  ℕ₀cn0 12493  Basecbs 17213  Scalarcsca 17259   ·_𝑠 cvsca 17260  0_gc0g 17438   Σ_g cgsu 17439  Mndcmnd 18697  ._gcmg 19035  mulGrpcmgp 20085  1_rcur 20126  Ringcrg 20178  LModclmod 20802  var₁cv1 22096  Poly₁cpl1 22097   Mat cmat 22330   decompPMat cdecpmat 22685   pMatToMatPoly cpm2mp 22715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-ot 4608  df-uni 4881  df-int 4920  df-iun 4966  df-iin 4967  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-of 7665  df-ofr 7666  df-om 7856  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8154  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8474  df-2o 8475  df-er 8713  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9368  df-sup 9448  df-oi 9516  df-card 9945  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12233  df-2 12295  df-3 12296  df-4 12297  df-5 12298  df-6 12299  df-7 12300  df-8 12301  df-9 12302  df-n0 12494  df-z 12581  df-dec 12701  df-uz 12845  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-seq 14009  df-hash 14337  df-struct 17151  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17214  df-ress 17237  df-plusg 17269  df-mulr 17270  df-sca 17272  df-vsca 17273  df-ip 17274  df-tset 17275  df-ple 17276  df-ds 17278  df-hom 17280  df-cco 17281  df-0g 17440  df-gsum 17441  df-prds 17446  df-pws 17448  df-mre 17583  df-mrc 17584  df-acs 17586  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-sbg 18906  df-mulg 19036  df-subg 19091  df-ghm 19181  df-cntz 19285  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20086  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-lmod 20804  df-lss 20874  df-sra 21116  df-rgmod 21117  df-dsmm 21677  df-frlm 21692  df-psr 21854  df-mvr 21855  df-mpl 21856  df-opsr 21858  df-psr1 22100  df-vr1 22101  df-ply1 22102  df-coe1 22103  df-mamu 22314  df-mat 22331  df-decpmat 22686  df-pm2mp 22716

This theorem is referenced by:  pm2mpmhm  22743