MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idpm2idmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idpm2idmp 22166
Description: The transformation of the identity polynomial matrix into polynomials over matrices results in the identity of the polynomials over matrices. (Contributed by AV, 18-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pm2mpval.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
pm2mpval.c 𝐢 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpval.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
pm2mpval.m βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘„)
pm2mpval.e ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘„))
pm2mpval.x 𝑋 = (var1β€˜π΄)
pm2mpval.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpval.q 𝑄 = (Poly1β€˜π΄)
pm2mpval.t 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
Assertion
Ref Expression
idpm2idmp ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (π‘‡β€˜(1rβ€˜πΆ)) = (1rβ€˜π‘„))

Proof of Theorem idpm2idmp
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm2mpval.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
2 pm2mpval.c . . . . 5 𝐢 = (𝑁 Mat 𝑃)
31, 2pmatring 22057 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐢 ∈ Ring)
4 pm2mpval.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
5 eqid 2733 . . . . 5 (1rβ€˜πΆ) = (1rβ€˜πΆ)
64, 5ringidcl 19994 . . . 4 (𝐢 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΆ) ∈ 𝐡)
73, 6syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (1rβ€˜πΆ) ∈ 𝐡)
8 pm2mpval.m . . . 4 βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘„)
9 pm2mpval.e . . . 4 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘„))
10 pm2mpval.x . . . 4 𝑋 = (var1β€˜π΄)
11 pm2mpval.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
12 pm2mpval.q . . . 4 𝑄 = (Poly1β€˜π΄)
13 pm2mpval.t . . . 4 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
141, 2, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13pm2mpfval 22161 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜πΆ) ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜(1rβ€˜πΆ)) = (𝑄 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (((1rβ€˜πΆ) decompPMat π‘˜) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))
157, 14mpd3an3 1463 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (π‘‡β€˜(1rβ€˜πΆ)) = (𝑄 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (((1rβ€˜πΆ) decompPMat π‘˜) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))
16 eqid 2733 . . . . . . 7 (0gβ€˜π΄) = (0gβ€˜π΄)
17 eqid 2733 . . . . . . 7 (1rβ€˜π΄) = (1rβ€˜π΄)
181, 2, 5, 11, 16, 17decpmatid 22135 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((1rβ€˜πΆ) decompPMat π‘˜) = if(π‘˜ = 0, (1rβ€˜π΄), (0gβ€˜π΄)))
19183expa 1119 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((1rβ€˜πΆ) decompPMat π‘˜) = if(π‘˜ = 0, (1rβ€˜π΄), (0gβ€˜π΄)))
2019oveq1d 7373 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((1rβ€˜πΆ) decompPMat π‘˜) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (if(π‘˜ = 0, (1rβ€˜π΄), (0gβ€˜π΄)) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))
2120mpteq2dva 5206 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (((1rβ€˜πΆ) decompPMat π‘˜) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ = 0, (1rβ€˜π΄), (0gβ€˜π΄)) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋))))
2221oveq2d 7374 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑄 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (((1rβ€˜πΆ) decompPMat π‘˜) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))) = (𝑄 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ = 0, (1rβ€˜π΄), (0gβ€˜π΄)) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))
23 ovif 7455 . . . . . 6 (if(π‘˜ = 0, (1rβ€˜π΄), (0gβ€˜π΄)) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = if(π‘˜ = 0, ((1rβ€˜π΄) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)), ((0gβ€˜π΄) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))
2411matring 21808 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐴 ∈ Ring)
2512ply1sca 21640 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Ring β†’ 𝐴 = (Scalarβ€˜π‘„))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐴 = (Scalarβ€˜π‘„))
2726adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐴 = (Scalarβ€˜π‘„))
2827fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (1rβ€˜π΄) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)))
2928oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((1rβ€˜π΄) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))
3012ply1lmod 21639 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Ring β†’ 𝑄 ∈ LMod)
3124, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑄 ∈ LMod)
32 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (mulGrpβ€˜π‘„) = (mulGrpβ€˜π‘„)
33 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘„) = (Baseβ€˜π‘„)
3412, 10, 32, 9, 33ply1moncl 21658 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Ring ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘„))
3524, 34sylan 581 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘„))
36 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Scalarβ€˜π‘„) = (Scalarβ€˜π‘„)
37 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘„))
3833, 36, 8, 37lmodvs1 20365 . . . . . . . . 9 ((𝑄 ∈ LMod ∧ (π‘˜ ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘„)) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (π‘˜ ↑ 𝑋))
3931, 35, 38syl2an2r 684 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (π‘˜ ↑ 𝑋))
4029, 39eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((1rβ€˜π΄) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (π‘˜ ↑ 𝑋))
4127fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (0gβ€˜π΄) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)))
4241oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((0gβ€˜π΄) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))
43 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„))
44 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜π‘„) = (0gβ€˜π‘„)
4533, 36, 8, 43, 44lmod0vs 20370 . . . . . . . . 9 ((𝑄 ∈ LMod ∧ (π‘˜ ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘„)) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘„))
4631, 35, 45syl2an2r 684 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘„))
4742, 46eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((0gβ€˜π΄) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘„))
4840, 47ifeq12d 4508 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if(π‘˜ = 0, ((1rβ€˜π΄) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)), ((0gβ€˜π΄) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋))) = if(π‘˜ = 0, (π‘˜ ↑ 𝑋), (0gβ€˜π‘„)))
4923, 48eqtrid 2785 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (if(π‘˜ = 0, (1rβ€˜π΄), (0gβ€˜π΄)) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = if(π‘˜ = 0, (π‘˜ ↑ 𝑋), (0gβ€˜π‘„)))
5049mpteq2dva 5206 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ = 0, (1rβ€˜π΄), (0gβ€˜π΄)) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, (π‘˜ ↑ 𝑋), (0gβ€˜π‘„))))
5150oveq2d 7374 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑄 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ = 0, (1rβ€˜π΄), (0gβ€˜π΄)) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))) = (𝑄 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, (π‘˜ ↑ 𝑋), (0gβ€˜π‘„)))))
5212ply1ring 21635 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ring β†’ 𝑄 ∈ Ring)
53 ringmnd 19979 . . . . 5 (𝑄 ∈ Ring β†’ 𝑄 ∈ Mnd)
5424, 52, 533syl 18 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑄 ∈ Mnd)
55 nn0ex 12424 . . . . 5 β„•0 ∈ V
5655a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ β„•0 ∈ V)
57 0nn0 12433 . . . . 5 0 ∈ β„•0
5857a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 0 ∈ β„•0)
59 eqid 2733 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, (π‘˜ ↑ 𝑋), (0gβ€˜π‘„))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, (π‘˜ ↑ 𝑋), (0gβ€˜π‘„)))
6035ralrimiva 3140 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (π‘˜ ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘„))
6144, 54, 56, 58, 59, 60gsummpt1n0 19747 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑄 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, (π‘˜ ↑ 𝑋), (0gβ€˜π‘„)))) = ⦋0 / π‘˜β¦Œ(π‘˜ ↑ 𝑋))
62 c0ex 11154 . . . . 5 0 ∈ V
63 csbov1g 7403 . . . . 5 (0 ∈ V β†’ ⦋0 / π‘˜β¦Œ(π‘˜ ↑ 𝑋) = (⦋0 / π‘˜β¦Œπ‘˜ ↑ 𝑋))
6462, 63mp1i 13 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ ⦋0 / π‘˜β¦Œ(π‘˜ ↑ 𝑋) = (⦋0 / π‘˜β¦Œπ‘˜ ↑ 𝑋))
65 csbvarg 4392 . . . . . 6 (0 ∈ V β†’ ⦋0 / π‘˜β¦Œπ‘˜ = 0)
6662, 65mp1i 13 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ ⦋0 / π‘˜β¦Œπ‘˜ = 0)
6766oveq1d 7373 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (⦋0 / π‘˜β¦Œπ‘˜ ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
6812, 10, 32, 9ply1idvr1 21680 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ring β†’ (0 ↑ 𝑋) = (1rβ€˜π‘„))
6924, 68syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (0 ↑ 𝑋) = (1rβ€˜π‘„))
7064, 67, 693eqtrd 2777 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ ⦋0 / π‘˜β¦Œ(π‘˜ ↑ 𝑋) = (1rβ€˜π‘„))
7151, 61, 703eqtrd 2777 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑄 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ = 0, (1rβ€˜π΄), (0gβ€˜π΄)) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))) = (1rβ€˜π‘„))
7215, 22, 713eqtrd 2777 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (π‘‡β€˜(1rβ€˜πΆ)) = (1rβ€˜π‘„))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444  β¦‹csb 3856  ifcif 4487   ↦ cmpt 5189  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  0cc0 11056  β„•0cn0 12418  Basecbs 17088  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  0gc0g 17326   Ξ£g cgsu 17327  Mndcmnd 18561  .gcmg 18877  mulGrpcmgp 19901  1rcur 19918  Ringcrg 19969  LModclmod 20336  var1cv1 21563  Poly1cpl1 21564   Mat cmat 21770   decompPMat cdecpmat 22127   pMatToMatPoly cpm2mp 22157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-subrg 20234  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-ascl 21277  df-psr 21327  df-mvr 21328  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-psr1 21567  df-vr1 21568  df-ply1 21569  df-coe1 21570  df-mamu 21749  df-mat 21771  df-decpmat 22128  df-pm2mp 22158
This theorem is referenced by:  pm2mpmhm  22185
  Copyright terms: Public domain W3C validator