Theorem idpm2idmp 21950

Description: The transformation of the identity polynomial matrix into polynomials over matrices results in the identity of the polynomials over matrices. (Contributed by AV, 18-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pm2mpval.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pm2mpval.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
pm2mpval.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
pm2mpval.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
pm2mpval.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
pm2mpval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpval.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
pm2mpval.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
idpm2idmp	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r‘𝐶)) = (1r‘𝑄))

Proof of Theorem idpm2idmp

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2mpval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		pm2mpval.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
3	1, 2	pmatring 21841	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
4		pm2mpval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
5		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐶) = (1r‘𝐶)
6	4, 5	ringidcl 19807	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Ring → (1r‘𝐶) ∈ 𝐵)
7	3, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐶) ∈ 𝐵)
8		pm2mpval.m	. . . 4 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
9		pm2mpval.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
10		pm2mpval.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
11		pm2mpval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
12		pm2mpval.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
13		pm2mpval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
14	1, 2, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13	pm2mpfval 21945	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(1r‘𝐶)) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((1r‘𝐶) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
15	7, 14	mpd3an3 1461	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r‘𝐶)) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((1r‘𝐶) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
16		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘𝐴)
17		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
18	1, 2, 5, 11, 16, 17	decpmatid 21919	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1r‘𝐶) decompPMat 𝑘) = if(𝑘 = 0, (1r‘𝐴), (0g‘𝐴)))
19	18	3expa 1117	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1r‘𝐶) decompPMat 𝑘) = if(𝑘 = 0, (1r‘𝐴), (0g‘𝐴)))
20	19	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((1r‘𝐶) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (if(𝑘 = 0, (1r‘𝐴), (0g‘𝐴)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))
21	20	mpteq2dva 5174	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((1r‘𝐶) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, (1r‘𝐴), (0g‘𝐴)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))
22	21	oveq2d 7291	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((1r‘𝐶) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, (1r‘𝐴), (0g‘𝐴)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
23		ovif 7372	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑘 = 0, (1r‘𝐴), (0g‘𝐴)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = if(𝑘 = 0, ((1r‘𝐴) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)), ((0g‘𝐴) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))
24	11	matring 21592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
25	12	ply1sca 21424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
28	27	fveq2d 6778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1r‘𝐴) = (1r‘(Scalar‘𝑄)))
29	28	oveq1d 7290	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1r‘𝐴) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = ((1r‘(Scalar‘𝑄)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))
30	12	ply1lmod 21423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ LMod)
31	24, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ LMod)
32		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘𝑄) = (mulGrp‘𝑄)
33		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
34	12, 10, 32, 9, 33	ply1moncl 21442	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑄))
35	24, 34	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑄))
36		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑄) = (Scalar‘𝑄)
37		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑄)) = (1r‘(Scalar‘𝑄))
38	33, 36, 8, 37	lmodvs1 20151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ LMod ∧ (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑄)) → ((1r‘(Scalar‘𝑄)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (𝑘 ↑ 𝑋))
39	31, 35, 38	syl2an2r 682	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1r‘(Scalar‘𝑄)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (𝑘 ↑ 𝑋))
40	29, 39	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1r‘𝐴) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (𝑘 ↑ 𝑋))
41	27	fveq2d 6778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0g‘𝐴) = (0g‘(Scalar‘𝑄)))
42	41	oveq1d 7290	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((0g‘𝐴) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = ((0g‘(Scalar‘𝑄)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))
43		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑄)) = (0g‘(Scalar‘𝑄))
44		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑄) = (0g‘𝑄)
45	33, 36, 8, 43, 44	lmod0vs 20156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ LMod ∧ (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑄)) → ((0g‘(Scalar‘𝑄)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑄))
46	31, 35, 45	syl2an2r 682	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((0g‘(Scalar‘𝑄)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑄))
47	42, 46	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((0g‘𝐴) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑄))
48	40, 47	ifeq12d 4480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 = 0, ((1r‘𝐴) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)), ((0g‘𝐴) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = if(𝑘 = 0, (𝑘 ↑ 𝑋), (0g‘𝑄)))
49	23, 48	eqtrid 2790	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑘 = 0, (1r‘𝐴), (0g‘𝐴)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = if(𝑘 = 0, (𝑘 ↑ 𝑋), (0g‘𝑄)))
50	49	mpteq2dva 5174	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, (1r‘𝐴), (0g‘𝐴)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, (𝑘 ↑ 𝑋), (0g‘𝑄))))
51	50	oveq2d 7291	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, (1r‘𝐴), (0g‘𝐴)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, (𝑘 ↑ 𝑋), (0g‘𝑄)))))
52	12	ply1ring 21419	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring)
53		ringmnd 19793	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Mnd)
54	24, 52, 53	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Mnd)
55		nn0ex 12239	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
56	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ℕ0 ∈ V)
57		0nn0 12248	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
58	57	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0 ∈ ℕ0)
59		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, (𝑘 ↑ 𝑋), (0g‘𝑄))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, (𝑘 ↑ 𝑋), (0g‘𝑄)))
60	35	ralrimiva 3103	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑄))
61	44, 54, 56, 58, 59, 60	gsummpt1n0 19566	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, (𝑘 ↑ 𝑋), (0g‘𝑄)))) = ⦋0 / 𝑘⦌(𝑘 ↑ 𝑋))
62		c0ex 10969	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
63		csbov1g 7320	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ V → ⦋0 / 𝑘⦌(𝑘 ↑ 𝑋) = (⦋0 / 𝑘⦌𝑘 ↑ 𝑋))
64	62, 63	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ⦋0 / 𝑘⦌(𝑘 ↑ 𝑋) = (⦋0 / 𝑘⦌𝑘 ↑ 𝑋))
65		csbvarg 4365	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ V → ⦋0 / 𝑘⦌𝑘 = 0)
66	62, 65	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ⦋0 / 𝑘⦌𝑘 = 0)
67	66	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (⦋0 / 𝑘⦌𝑘 ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
68	12, 10, 32, 9	ply1idvr1 21464	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑄))
69	24, 68	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑄))
70	64, 67, 69	3eqtrd 2782	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ⦋0 / 𝑘⦌(𝑘 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑄))
71	51, 61, 70	3eqtrd 2782	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, (1r‘𝐴), (0g‘𝐴)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (1r‘𝑄))
72	15, 22, 71	3eqtrd 2782	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r‘𝐶)) = (1r‘𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  ⦋csb 3832  ifcif 4459   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  0cc0 10871  ℕ₀cn0 12233  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  0_gc0g 17150   Σ_g cgsu 17151  Mndcmnd 18385  ._gcmg 18700  mulGrpcmgp 19720  1_rcur 19737  Ringcrg 19783  LModclmod 20123  var₁cv1 21347  Poly₁cpl1 21348   Mat cmat 21554   decompPMat cdecpmat 21911   pMatToMatPoly cpm2mp 21941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-dsmm 20939  df-frlm 20954  df-ascl 21062  df-psr 21112  df-mvr 21113  df-mpl 21114  df-opsr 21116  df-psr1 21351  df-vr1 21352  df-ply1 21353  df-coe1 21354  df-mamu 21533  df-mat 21555  df-decpmat 21912  df-pm2mp 21942

This theorem is referenced by:  pm2mpmhm  21969