MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mp2pm2mp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mp2pm2mp 22668
Description: A polynomial over matrices transformed into a polynomial matrix transformed back into the polynomial over matrices. (Contributed by AV, 12-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mp2pm2mp.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
mp2pm2mp.q ๐‘„ = (Poly1โ€˜๐ด)
mp2pm2mp.l ๐ฟ = (Baseโ€˜๐‘„)
mp2pm2mp.m ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
mp2pm2mp.e ๐ธ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
mp2pm2mp.y ๐‘Œ = (var1โ€˜๐‘…)
mp2pm2mp.i ๐ผ = (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))))
mp2pm2mplem2.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
mp2pm2mp.t ๐‘‡ = (๐‘ pMatToMatPoly ๐‘…)
Assertion
Ref Expression
mp2pm2mp ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ผโ€˜๐‘‚)) = ๐‘‚)
Distinct variable groups:   ๐ธ,๐‘   ๐ฟ,๐‘   ๐‘–,๐‘,๐‘—,๐‘   ๐‘–,๐‘‚,๐‘—,๐‘,๐‘˜   ๐‘ƒ,๐‘   ๐‘…,๐‘   ๐‘Œ,๐‘   ยท ,๐‘   ๐‘˜,๐ฟ   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘—,๐‘˜   ๐‘…,๐‘˜   ยท ,๐‘˜   ๐‘–,๐ธ,๐‘—   ๐‘–,๐ฟ,๐‘—   ๐‘˜,๐‘   ๐‘…,๐‘–,๐‘—   ๐‘–,๐‘Œ,๐‘—   ยท ,๐‘–,๐‘—   ๐ด,๐‘–,๐‘—,๐‘˜   ๐‘˜,๐ธ   ๐‘˜,๐‘Œ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘)   ๐‘„(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘)   ๐‘‡(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘)   ๐ผ(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘)

Proof of Theorem mp2pm2mp
Dummy variables ๐‘› ๐‘™ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mp2pm2mp.a . . . 4 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
2 mp2pm2mp.q . . . 4 ๐‘„ = (Poly1โ€˜๐ด)
3 mp2pm2mp.l . . . 4 ๐ฟ = (Baseโ€˜๐‘„)
4 mp2pm2mplem2.p . . . 4 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
5 mp2pm2mp.m . . . 4 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
6 mp2pm2mp.e . . . 4 ๐ธ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
7 mp2pm2mp.y . . . 4 ๐‘Œ = (var1โ€˜๐‘…)
8 mp2pm2mp.i . . . 4 ๐ผ = (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))))
9 eqid 2726 . . . 4 (๐‘ Mat ๐‘ƒ) = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
10 eqid 2726 . . . 4 (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘ƒ)) = (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘ƒ))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10mply1topmatcl 22662 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐ผโ€˜๐‘‚) โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘ƒ)))
12 eqid 2726 . . . 4 ( ยท๐‘  โ€˜๐‘„) = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)
13 eqid 2726 . . . 4 (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„)) = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))
14 eqid 2726 . . . 4 (var1โ€˜๐ด) = (var1โ€˜๐ด)
15 mp2pm2mp.t . . . 4 ๐‘‡ = (๐‘ pMatToMatPoly ๐‘…)
164, 9, 10, 12, 13, 14, 1, 2, 15pm2mpfval 22653 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐ผโ€˜๐‘‚) โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘ƒ))) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ผโ€˜๐‘‚)) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))
1711, 16syld3an3 1406 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ผโ€˜๐‘‚)) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))
181matring 22300 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
19183adant3 1129 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
20 eqid 2726 . . . . 5 (0gโ€˜๐‘„) = (0gโ€˜๐‘„)
212ply1ring 22121 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ Ring โ†’ ๐‘„ โˆˆ Ring)
22 ringcmn 20181 . . . . . . 7 (๐‘„ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘„ โˆˆ CMnd)
2318, 21, 223syl 18 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘„ โˆˆ CMnd)
24233adant3 1129 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ๐‘„ โˆˆ CMnd)
25 nn0ex 12482 . . . . . 6 โ„•0 โˆˆ V
2625a1i 11 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ โ„•0 โˆˆ V)
2719adantr 480 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
28 simpl2 1189 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2911adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ผโ€˜๐‘‚) โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘ƒ)))
30 simpr 484 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
31 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (Baseโ€˜๐ด) = (Baseโ€˜๐ด)
324, 9, 10, 1, 31decpmatcl 22624 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐ผโ€˜๐‘‚) โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘ƒ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
3328, 29, 30, 32syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
34 eqid 2726 . . . . . . . 8 (mulGrpโ€˜๐‘„) = (mulGrpโ€˜๐‘„)
3531, 2, 14, 12, 34, 13, 3ply1tmcl 22146 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ Ring โˆง ((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))) โˆˆ ๐ฟ)
3627, 33, 30, 35syl3anc 1368 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))) โˆˆ ๐ฟ)
3736fmpttd 7110 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))):โ„•0โŸถ๐ฟ)
38 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜) = ((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘›))
3938oveqd 7422 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) = (๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘›)๐‘—))
40 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (๐‘˜๐ธ๐‘Œ) = (๐‘›๐ธ๐‘Œ))
4139, 40oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)) = ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘›)๐‘—) ยท (๐‘›๐ธ๐‘Œ)))
4241cbvmptv 5254 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘›)๐‘—) ยท (๐‘›๐ธ๐‘Œ)))
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘›)๐‘—) ยท (๐‘›๐ธ๐‘Œ))))
4443oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘›)๐‘—) ยท (๐‘›๐ธ๐‘Œ)))))
4544mpoeq3ia 7483 . . . . . . . 8 (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘›)๐‘—) ยท (๐‘›๐ธ๐‘Œ)))))
4645mpteq2i 5246 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))))) = (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘›)๐‘—) ยท (๐‘›๐ธ๐‘Œ))))))
478, 46eqtri 2754 . . . . . 6 ๐ผ = (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘›)๐‘—) ยท (๐‘›๐ธ๐‘Œ))))))
481, 2, 3, 5, 6, 7, 47, 4, 12, 13, 14mp2pm2mplem5 22667 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))) finSupp (0gโ€˜๐‘„))
493, 20, 24, 26, 37, 48gsumcl 19835 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ ๐ฟ)
50 simp3 1135 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ)
5119, 49, 503jca 1125 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐ด โˆˆ Ring โˆง (๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ))
521, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 4mp2pm2mplem4 22666 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›) = ((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘›))
5352oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))) = (((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))
5453adantlr 712 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))) = (((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))
5554mpteq2dva 5241 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))
5655oveq2d 7421 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))
5756fveq2d 6889 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•0) โ†’ (coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))) = (coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))))
5857fveq1d 6887 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™) = ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™))
5919, 50jca 511 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐ด โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ))
6059adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ))
61 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (coe1โ€˜๐‘‚) = (coe1โ€˜๐‘‚)
622, 14, 3, 12, 34, 13, 61ply1coe 22172 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ๐‘‚ = (๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))
6360, 62syl 17 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘‚ = (๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))
6463eqcomd 2732 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) = ๐‘‚)
6564fveq2d 6889 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•0) โ†’ (coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))) = (coe1โ€˜๐‘‚))
6665fveq1d 6887 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™) = ((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘™))
6758, 66eqtrd 2766 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™) = ((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘™))
6867ralrimiva 3140 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™) = ((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘™))
69 eqid 2726 . . . 4 (coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))) = (coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))
702, 3, 69, 61eqcoe1ply1eq 22173 . . 3 ((๐ด โˆˆ Ring โˆง (๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™) = ((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘™) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) = ๐‘‚))
7151, 68, 70sylc 65 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) = ๐‘‚)
7217, 71eqtrd 2766 1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ผโ€˜๐‘‚)) = ๐‘‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  Vcvv 3468   โ†ฆ cmpt 5224  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โˆˆ cmpo 7407  Fincfn 8941  โ„•0cn0 12476  Basecbs 17153   ยท๐‘  cvsca 17210  0gc0g 17394   ฮฃg cgsu 17395  .gcmg 18995  CMndccmn 19700  mulGrpcmgp 20039  Ringcrg 20138  var1cv1 22050  Poly1cpl1 22051  coe1cco1 22052   Mat cmat 22262   decompPMat cdecpmat 22619   pMatToMatPoly cpm2mp 22649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-srg 20092  df-ring 20140  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-psr 21803  df-mvr 21804  df-mpl 21805  df-opsr 21807  df-psr1 22054  df-vr1 22055  df-ply1 22056  df-coe1 22057  df-mamu 22241  df-mat 22263  df-decpmat 22620  df-pm2mp 22650
This theorem is referenced by:  pm2mpfo  22671
  Copyright terms: Public domain W3C validator