MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mp2pm2mp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mp2pm2mp 22741
Description: A polynomial over matrices transformed into a polynomial matrix transformed back into the polynomial over matrices. (Contributed by AV, 12-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mp2pm2mp.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
mp2pm2mp.q ๐‘„ = (Poly1โ€˜๐ด)
mp2pm2mp.l ๐ฟ = (Baseโ€˜๐‘„)
mp2pm2mp.m ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
mp2pm2mp.e ๐ธ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
mp2pm2mp.y ๐‘Œ = (var1โ€˜๐‘…)
mp2pm2mp.i ๐ผ = (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))))
mp2pm2mplem2.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
mp2pm2mp.t ๐‘‡ = (๐‘ pMatToMatPoly ๐‘…)
Assertion
Ref Expression
mp2pm2mp ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ผโ€˜๐‘‚)) = ๐‘‚)
Distinct variable groups:   ๐ธ,๐‘   ๐ฟ,๐‘   ๐‘–,๐‘,๐‘—,๐‘   ๐‘–,๐‘‚,๐‘—,๐‘,๐‘˜   ๐‘ƒ,๐‘   ๐‘…,๐‘   ๐‘Œ,๐‘   ยท ,๐‘   ๐‘˜,๐ฟ   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘—,๐‘˜   ๐‘…,๐‘˜   ยท ,๐‘˜   ๐‘–,๐ธ,๐‘—   ๐‘–,๐ฟ,๐‘—   ๐‘˜,๐‘   ๐‘…,๐‘–,๐‘—   ๐‘–,๐‘Œ,๐‘—   ยท ,๐‘–,๐‘—   ๐ด,๐‘–,๐‘—,๐‘˜   ๐‘˜,๐ธ   ๐‘˜,๐‘Œ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘)   ๐‘„(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘)   ๐‘‡(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘)   ๐ผ(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘)

Proof of Theorem mp2pm2mp
Dummy variables ๐‘› ๐‘™ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mp2pm2mp.a . . . 4 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
2 mp2pm2mp.q . . . 4 ๐‘„ = (Poly1โ€˜๐ด)
3 mp2pm2mp.l . . . 4 ๐ฟ = (Baseโ€˜๐‘„)
4 mp2pm2mplem2.p . . . 4 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
5 mp2pm2mp.m . . . 4 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
6 mp2pm2mp.e . . . 4 ๐ธ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
7 mp2pm2mp.y . . . 4 ๐‘Œ = (var1โ€˜๐‘…)
8 mp2pm2mp.i . . . 4 ๐ผ = (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))))
9 eqid 2728 . . . 4 (๐‘ Mat ๐‘ƒ) = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
10 eqid 2728 . . . 4 (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘ƒ)) = (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘ƒ))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10mply1topmatcl 22735 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐ผโ€˜๐‘‚) โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘ƒ)))
12 eqid 2728 . . . 4 ( ยท๐‘  โ€˜๐‘„) = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)
13 eqid 2728 . . . 4 (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„)) = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))
14 eqid 2728 . . . 4 (var1โ€˜๐ด) = (var1โ€˜๐ด)
15 mp2pm2mp.t . . . 4 ๐‘‡ = (๐‘ pMatToMatPoly ๐‘…)
164, 9, 10, 12, 13, 14, 1, 2, 15pm2mpfval 22726 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐ผโ€˜๐‘‚) โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘ƒ))) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ผโ€˜๐‘‚)) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))
1711, 16syld3an3 1406 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ผโ€˜๐‘‚)) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))
181matring 22373 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
19183adant3 1129 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
20 eqid 2728 . . . . 5 (0gโ€˜๐‘„) = (0gโ€˜๐‘„)
212ply1ring 22185 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ Ring โ†’ ๐‘„ โˆˆ Ring)
22 ringcmn 20232 . . . . . . 7 (๐‘„ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘„ โˆˆ CMnd)
2318, 21, 223syl 18 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘„ โˆˆ CMnd)
24233adant3 1129 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ๐‘„ โˆˆ CMnd)
25 nn0ex 12518 . . . . . 6 โ„•0 โˆˆ V
2625a1i 11 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ โ„•0 โˆˆ V)
2719adantr 479 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
28 simpl2 1189 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2911adantr 479 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ผโ€˜๐‘‚) โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘ƒ)))
30 simpr 483 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
31 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (Baseโ€˜๐ด) = (Baseโ€˜๐ด)
324, 9, 10, 1, 31decpmatcl 22697 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐ผโ€˜๐‘‚) โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘ƒ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
3328, 29, 30, 32syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
34 eqid 2728 . . . . . . . 8 (mulGrpโ€˜๐‘„) = (mulGrpโ€˜๐‘„)
3531, 2, 14, 12, 34, 13, 3ply1tmcl 22210 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ Ring โˆง ((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))) โˆˆ ๐ฟ)
3627, 33, 30, 35syl3anc 1368 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))) โˆˆ ๐ฟ)
3736fmpttd 7130 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))):โ„•0โŸถ๐ฟ)
38 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜) = ((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘›))
3938oveqd 7443 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) = (๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘›)๐‘—))
40 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (๐‘˜๐ธ๐‘Œ) = (๐‘›๐ธ๐‘Œ))
4139, 40oveq12d 7444 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)) = ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘›)๐‘—) ยท (๐‘›๐ธ๐‘Œ)))
4241cbvmptv 5265 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘›)๐‘—) ยท (๐‘›๐ธ๐‘Œ)))
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘›)๐‘—) ยท (๐‘›๐ธ๐‘Œ))))
4443oveq2d 7442 . . . . . . . . 9 ((๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘›)๐‘—) ยท (๐‘›๐ธ๐‘Œ)))))
4544mpoeq3ia 7505 . . . . . . . 8 (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘›)๐‘—) ยท (๐‘›๐ธ๐‘Œ)))))
4645mpteq2i 5257 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))))) = (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘›)๐‘—) ยท (๐‘›๐ธ๐‘Œ))))))
478, 46eqtri 2756 . . . . . 6 ๐ผ = (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘›)๐‘—) ยท (๐‘›๐ธ๐‘Œ))))))
481, 2, 3, 5, 6, 7, 47, 4, 12, 13, 14mp2pm2mplem5 22740 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))) finSupp (0gโ€˜๐‘„))
493, 20, 24, 26, 37, 48gsumcl 19884 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ ๐ฟ)
50 simp3 1135 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ)
5119, 49, 503jca 1125 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐ด โˆˆ Ring โˆง (๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ))
521, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 4mp2pm2mplem4 22739 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›) = ((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘›))
5352oveq1d 7441 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))) = (((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))
5453adantlr 713 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))) = (((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))
5554mpteq2dva 5252 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))
5655oveq2d 7442 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))
5756fveq2d 6906 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•0) โ†’ (coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))) = (coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))))
5857fveq1d 6904 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™) = ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™))
5919, 50jca 510 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐ด โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ))
6059adantr 479 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ))
61 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (coe1โ€˜๐‘‚) = (coe1โ€˜๐‘‚)
622, 14, 3, 12, 34, 13, 61ply1coe 22236 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ๐‘‚ = (๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))
6360, 62syl 17 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘‚ = (๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))
6463eqcomd 2734 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) = ๐‘‚)
6564fveq2d 6906 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•0) โ†’ (coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))) = (coe1โ€˜๐‘‚))
6665fveq1d 6904 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™) = ((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘™))
6758, 66eqtrd 2768 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™) = ((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘™))
6867ralrimiva 3143 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™) = ((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘™))
69 eqid 2728 . . . 4 (coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))) = (coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))
702, 3, 69, 61eqcoe1ply1eq 22237 . . 3 ((๐ด โˆˆ Ring โˆง (๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™) = ((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘™) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) = ๐‘‚))
7151, 68, 70sylc 65 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) = ๐‘‚)
7217, 71eqtrd 2768 1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ผโ€˜๐‘‚)) = ๐‘‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3058  Vcvv 3473   โ†ฆ cmpt 5235  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   โˆˆ cmpo 7428  Fincfn 8972  โ„•0cn0 12512  Basecbs 17189   ยท๐‘  cvsca 17246  0gc0g 17430   ฮฃg cgsu 17431  .gcmg 19037  CMndccmn 19749  mulGrpcmgp 20088  Ringcrg 20187  var1cv1 22113  Poly1cpl1 22114  coe1cco1 22115   Mat cmat 22335   decompPMat cdecpmat 22692   pMatToMatPoly cpm2mp 22722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-ofr 7693  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-sup 9475  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-hash 14332  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-hom 17266  df-cco 17267  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-prds 17438  df-pws 17440  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19038  df-subg 19092  df-ghm 19182  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-srg 20141  df-ring 20189  df-subrng 20497  df-subrg 20522  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-sra 21072  df-rgmod 21073  df-dsmm 21680  df-frlm 21695  df-psr 21856  df-mvr 21857  df-mpl 21858  df-opsr 21860  df-psr1 22117  df-vr1 22118  df-ply1 22119  df-coe1 22120  df-mamu 22319  df-mat 22336  df-decpmat 22693  df-pm2mp 22723
This theorem is referenced by:  pm2mpfo  22744
  Copyright terms: Public domain W3C validator