Theorem pm2mpf1 23030

Description: The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is a 1-1 function mapping polynomial matrices to polynomials over matrices. (Contributed by AV, 14-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pm2mpval.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pm2mpval.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
pm2mpval.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
pm2mpval.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
pm2mpval.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
pm2mpval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpval.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
pm2mpval.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
pm2mpcl.l	⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)

Assertion

Ref	Expression
pm2mpf1	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵–1-1→𝐿)

Proof of Theorem pm2mpf1

Dummy variables 𝑛 𝑘 𝑎 𝑏 𝑖 𝑗 𝑢 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2mpval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		pm2mpval.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
3		pm2mpval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		pm2mpval.m	. . 3 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
5		pm2mpval.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
6		pm2mpval.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
7		pm2mpval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
8		pm2mpval.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
9		pm2mpval.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
10		pm2mpcl.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pm2mpf 23029	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵⟶𝐿)
12	7	matring 22671	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
13	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ Ring)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pm2mpcl 23028	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑢) ∈ 𝐿)
15	14	3expa 1136	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑢) ∈ 𝐿)
16	15	adantrr 730	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘𝑢) ∈ 𝐿)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pm2mpcl 23028	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑤) ∈ 𝐿)
18	17	3expia 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑤 ∈ 𝐵 → (𝑇‘𝑤) ∈ 𝐿))
19	18	adantld 496	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑤) ∈ 𝐿))
20	19	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘𝑤) ∈ 𝐿)
21		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘(𝑇‘𝑢)) = (coe1‘(𝑇‘𝑢))
22		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘(𝑇‘𝑤)) = (coe1‘(𝑇‘𝑤))
23	8, 10, 21, 22	ply1coe1eq 22531	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ (𝑇‘𝑢) ∈ 𝐿 ∧ (𝑇‘𝑤) ∈ 𝐿) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛) ↔ (𝑇‘𝑢) = (𝑇‘𝑤)))
24	23	bicomd 226	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ (𝑇‘𝑢) ∈ 𝐿 ∧ (𝑇‘𝑤) ∈ 𝐿) → ((𝑇‘𝑢) = (𝑇‘𝑤) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)))
25	13, 16, 20, 24	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑇‘𝑢) = (𝑇‘𝑤) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)))
26		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ Fin)
27		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
28		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → 𝑢 ∈ 𝐵)
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	pm2mpfval 23027	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑢) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑢 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
30	26, 27, 28, 29	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘𝑢) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑢 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
31	30	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑇‘𝑢) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑢 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
32	31	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝑇‘𝑢)) = (coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑢 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))))
33	32	fveq1d 6884	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑢 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛))
34		simplll 787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
35	28	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → 𝑢 ∈ 𝐵)
36	35	anim1i 627	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0))
37	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	pm2mpf1lem 23025	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑢 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛) = (𝑢 decompPMat 𝑛))
38	34, 36, 37	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑢 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛) = (𝑢 decompPMat 𝑛))
39	33, 38	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = (𝑢 decompPMat 𝑛))
40		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → 𝑤 ∈ 𝐵)
41	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	pm2mpfval 23027	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑤) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
42	26, 27, 40, 41	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘𝑤) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
43	42	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (coe1‘(𝑇‘𝑤)) = (coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))))
44	43	fveq1d 6884	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛))
45	44	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛))
46	40	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → 𝑤 ∈ 𝐵)
47	46	anim1i 627	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0))
48	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	pm2mpf1lem 23025	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛) = (𝑤 decompPMat 𝑛))
49	34, 47, 48	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛) = (𝑤 decompPMat 𝑛))
50	45, 49	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛) = (𝑤 decompPMat 𝑛))
51	39, 50	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛) ↔ (𝑢 decompPMat 𝑛) = (𝑤 decompPMat 𝑛)))
52	2, 3	decpmatval 22996	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑢 decompPMat 𝑛) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛)))
53	28, 52	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑢 decompPMat 𝑛) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛)))
54	2, 3	decpmatval 22996	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑤 decompPMat 𝑛) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛)))
55	40, 54	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑤 decompPMat 𝑛) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛)))
56	53, 55	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑢 decompPMat 𝑛) = (𝑤 decompPMat 𝑛) ↔ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))))
57		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
58		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
59		simplll 787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ Fin)
60		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
61		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
62		simp2 1155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
63		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
64	3	eleq2i 2854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐵 ↔ 𝑢 ∈ (Base‘𝐶))
65	64	birani 509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐶))
66	65	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐶))
67	66	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐶))
68	67, 3	eleqtrrdi 2873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑢 ∈ 𝐵)
69	2, 61, 3, 62, 63, 68	matecld 22654	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑢𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
70		simp1r 1217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ0)
71		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (coe1‘(𝑖𝑢𝑗)) = (coe1‘(𝑖𝑢𝑗))
72	71, 61, 1, 57	coe1fvalcl 22443	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑖𝑢𝑗) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
73	69, 70, 72	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
74	7, 57, 58, 59, 60, 73	matbas2d 22651	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛)) ∈ (Base‘𝐴))
75	3	eleq2i 2854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 ↔ 𝑤 ∈ (Base‘𝐶))
76	75	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (Base‘𝐶))
77	76	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → 𝑤 ∈ (Base‘𝐶))
78	77	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑤 ∈ (Base‘𝐶))
79	78	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑤 ∈ (Base‘𝐶))
80	79, 3	eleqtrrdi 2873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑤 ∈ 𝐵)
81	2, 61, 3, 62, 63, 80	matecld 22654	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑤𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
82		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (coe1‘(𝑖𝑤𝑗)) = (coe1‘(𝑖𝑤𝑗))
83	82, 61, 1, 57	coe1fvalcl 22443	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑖𝑤𝑗) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
84	81, 70, 83	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
85	7, 57, 58, 59, 60, 84	matbas2d 22651	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛)) ∈ (Base‘𝐴))
86	7, 58	eqmat 22652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛)) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛)) ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦)))
87	74, 85, 86	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦)))
88	56, 87	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑢 decompPMat 𝑛) = (𝑤 decompPMat 𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦)))
89	88	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑢 decompPMat 𝑛) = (𝑤 decompPMat 𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦)))
90		oveq1 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦))
91		oveq1 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦))
92	90, 91	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦) ↔ (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦)))
93		oveq2 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑏))
94		oveq2 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑏))
95	93, 94	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦) ↔ (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑏) = (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑏)))
96	92, 95	rspc2va 3591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦)) → (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑏) = (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑏))
97		eqidd 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛)))
98		oveq12 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → (𝑖𝑢𝑗) = (𝑎𝑢𝑏))
99	98	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → (coe1‘(𝑖𝑢𝑗)) = (coe1‘(𝑎𝑢𝑏)))
100	99	fveq1d 6884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛))
101	100	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏)) → ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛))
102		simplll 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑎 ∈ 𝑁)
103		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ 𝑁)
104		fvexd 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) ∈ V)
105	97, 101, 102, 103, 104	ovmpod 7569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑏) = ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛))
106		eqidd 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛)))
107		oveq12 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → (𝑖𝑤𝑗) = (𝑎𝑤𝑏))
108	107	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → (coe1‘(𝑖𝑤𝑗)) = (coe1‘(𝑎𝑤𝑏)))
109	108	fveq1d 6884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛))
110	109	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏)) → ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛))
111		fvexd 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛) ∈ V)
112	106, 110, 102, 103, 111	ovmpod 7569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑏) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛))
113	105, 112	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑏) = (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑏) ↔ ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))
114	113	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑏) = (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑏) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))
115	114	exp31 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑏) = (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑏) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))))
116	115	com14 97	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑏) = (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑏) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))))
117	96, 116	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦)) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))))
118	117	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛))))))
119	118	com25 100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛))))))
120	119	pm2.43i 53	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))))
121	120	impcom 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛))))
122	121	imp 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))
123	89, 122	sylbid 243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑢 decompPMat 𝑛) = (𝑤 decompPMat 𝑛) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))
124	51, 123	sylbid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))
125	124	ralimdva 3176	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))
126	125	impancom 457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) → ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))
127	126	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛))
128	27	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
129		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → 𝑎 ∈ 𝑁)
130		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → 𝑏 ∈ 𝑁)
131	65	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐶))
132	131	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐶))
133	132, 3	eleqtrrdi 2873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → 𝑢 ∈ 𝐵)
134	2, 61, 3, 129, 130, 133	matecld 22654	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → (𝑎𝑢𝑏) ∈ (Base‘𝑃))
135	77	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → 𝑤 ∈ (Base‘𝐶))
136	135, 3	eleqtrrdi 2873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → 𝑤 ∈ 𝐵)
137	2, 61, 3, 129, 130, 136	matecld 22654	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → (𝑎𝑤𝑏) ∈ (Base‘𝑃))
138		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (coe1‘(𝑎𝑢𝑏)) = (coe1‘(𝑎𝑢𝑏))
139		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (coe1‘(𝑎𝑤𝑏)) = (coe1‘(𝑎𝑤𝑏))
140	1, 61, 138, 139	ply1coe1eq 22531	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎𝑢𝑏) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑎𝑤𝑏) ∈ (Base‘𝑃)) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛) ↔ (𝑎𝑢𝑏) = (𝑎𝑤𝑏)))
141	140	bicomd 226	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎𝑢𝑏) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑎𝑤𝑏) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑎𝑢𝑏) = (𝑎𝑤𝑏) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))
142	128, 134, 137, 141	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → ((𝑎𝑢𝑏) = (𝑎𝑤𝑏) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))
143	127, 142	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → (𝑎𝑢𝑏) = (𝑎𝑤𝑏))
144	143	ralrimivva 3207	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) → ∀𝑎 ∈ 𝑁 ∀𝑏 ∈ 𝑁 (𝑎𝑢𝑏) = (𝑎𝑤𝑏))
145	2, 3	eqmat 22652	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑢 = 𝑤 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑁 ∀𝑏 ∈ 𝑁 (𝑎𝑢𝑏) = (𝑎𝑤𝑏)))
146	145	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) → (𝑢 = 𝑤 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑁 ∀𝑏 ∈ 𝑁 (𝑎𝑢𝑏) = (𝑎𝑤𝑏)))
147	144, 146	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) → 𝑢 = 𝑤)
148	147	ex 418	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛) → 𝑢 = 𝑤))
149	25, 148	sylbid 243	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑇‘𝑢) = (𝑇‘𝑤) → 𝑢 = 𝑤))
150	149	ralrimivva 3207	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 ((𝑇‘𝑢) = (𝑇‘𝑤) → 𝑢 = 𝑤))
151		dff13 7255	. 2 ⊢ (𝑇:𝐵–1-1→𝐿 ↔ (𝑇:𝐵⟶𝐿 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 ((𝑇‘𝑢) = (𝑇‘𝑤) → 𝑢 = 𝑤)))
152	11, 150, 151	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵–1-1→𝐿)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  Vcvv 3453   ↦ cmpt 5190  ⟶wf 6533  –1-1→wf1 6534  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∈ cmpo 7419  Fincfn 8956  ℕ₀cn0 12532  Basecbs 17307   ·_𝑠 cvsca 17352   Σ_g cgsu 17531  ._gcmg 19196  mulGrpcmgp 20279  Ringcrg 20378  var₁cv1 22407  Poly₁cpl1 22408  coe₁cco1 22409   Mat cmat 22635   decompPMat cdecpmat 22993   pMatToMatPoly cpm2mp 23023

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-sup 9416  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-hash 14399  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-hom 17372  df-cco 17373  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-prds 17538  df-pws 17540  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-mhm 18897  df-submnd 18898  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-mulg 19197  df-subg 19252  df-ghm 19347  df-cntz 19450  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-srg 20332  df-ring 20380  df-subrng 20714  df-subrg 20738  df-lmod 21052  df-lss 21122  df-sra 21363  df-rgmod 21364  df-dsmm 21951  df-frlm 21966  df-psr 22130  df-mvr 22131  df-mpl 22132  df-opsr 22134  df-psr1 22411  df-vr1 22412  df-ply1 22413  df-coe1 22414  df-mamu 22619  df-mat 22636  df-decpmat 22994  df-pm2mp 23024

This theorem is used by:  pm2mpf1o  23046