Theorem pm2mpf1 22826

Description: The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is a 1-1 function mapping polynomial matrices to polynomials over matrices. (Contributed by AV, 14-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pm2mpval.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pm2mpval.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
pm2mpval.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
pm2mpval.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
pm2mpval.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
pm2mpval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpval.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
pm2mpval.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
pm2mpcl.l	⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)

Assertion

Ref	Expression
pm2mpf1	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵–1-1→𝐿)

Proof of Theorem pm2mpf1

Dummy variables 𝑛 𝑘 𝑎 𝑏 𝑖 𝑗 𝑢 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2mpval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		pm2mpval.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
3		pm2mpval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		pm2mpval.m	. . 3 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
5		pm2mpval.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
6		pm2mpval.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
7		pm2mpval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
8		pm2mpval.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
9		pm2mpval.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
10		pm2mpcl.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pm2mpf 22825	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵⟶𝐿)
12	7	matring 22470	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ Ring)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pm2mpcl 22824	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑢) ∈ 𝐿)
15	14	3expa 1118	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑢) ∈ 𝐿)
16	15	adantrr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘𝑢) ∈ 𝐿)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pm2mpcl 22824	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑤) ∈ 𝐿)
18	17	3expia 1121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑤 ∈ 𝐵 → (𝑇‘𝑤) ∈ 𝐿))
19	18	adantld 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑤) ∈ 𝐿))
20	19	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘𝑤) ∈ 𝐿)
21		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘(𝑇‘𝑢)) = (coe1‘(𝑇‘𝑢))
22		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘(𝑇‘𝑤)) = (coe1‘(𝑇‘𝑤))
23	8, 10, 21, 22	ply1coe1eq 22325	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ (𝑇‘𝑢) ∈ 𝐿 ∧ (𝑇‘𝑤) ∈ 𝐿) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛) ↔ (𝑇‘𝑢) = (𝑇‘𝑤)))
24	23	bicomd 223	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ (𝑇‘𝑢) ∈ 𝐿 ∧ (𝑇‘𝑤) ∈ 𝐿) → ((𝑇‘𝑢) = (𝑇‘𝑤) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)))
25	13, 16, 20, 24	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑇‘𝑢) = (𝑇‘𝑤) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)))
26		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ Fin)
27		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
28		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → 𝑢 ∈ 𝐵)
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	pm2mpfval 22823	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑢) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑢 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
30	26, 27, 28, 29	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘𝑢) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑢 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
31	30	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑇‘𝑢) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑢 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
32	31	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝑇‘𝑢)) = (coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑢 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))))
33	32	fveq1d 6922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑢 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛))
34		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
35	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → 𝑢 ∈ 𝐵)
36	35	anim1i 614	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0))
37	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	pm2mpf1lem 22821	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑢 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛) = (𝑢 decompPMat 𝑛))
38	34, 36, 37	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑢 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛) = (𝑢 decompPMat 𝑛))
39	33, 38	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = (𝑢 decompPMat 𝑛))
40		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → 𝑤 ∈ 𝐵)
41	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	pm2mpfval 22823	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑤) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
42	26, 27, 40, 41	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘𝑤) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
43	42	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (coe1‘(𝑇‘𝑤)) = (coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))))
44	43	fveq1d 6922	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛))
45	44	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛))
46	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → 𝑤 ∈ 𝐵)
47	46	anim1i 614	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0))
48	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	pm2mpf1lem 22821	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛) = (𝑤 decompPMat 𝑛))
49	34, 47, 48	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛) = (𝑤 decompPMat 𝑛))
50	45, 49	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛) = (𝑤 decompPMat 𝑛))
51	39, 50	eqeq12d 2756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛) ↔ (𝑢 decompPMat 𝑛) = (𝑤 decompPMat 𝑛)))
52	2, 3	decpmatval 22792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑢 decompPMat 𝑛) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛)))
53	28, 52	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑢 decompPMat 𝑛) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛)))
54	2, 3	decpmatval 22792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑤 decompPMat 𝑛) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛)))
55	40, 54	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑤 decompPMat 𝑛) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛)))
56	53, 55	eqeq12d 2756	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑢 decompPMat 𝑛) = (𝑤 decompPMat 𝑛) ↔ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))))
57		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
58		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
59		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ Fin)
60		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
61		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
62		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
63		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
64	3	eleq2i 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐵 ↔ 𝑢 ∈ (Base‘𝐶))
65	64	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐵 → 𝑢 ∈ (Base‘𝐶))
66	65	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐶))
67	66	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐶))
68	67	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐶))
69	68, 3	eleqtrrdi 2855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑢 ∈ 𝐵)
70	2, 61, 3, 62, 63, 69	matecld 22453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑢𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
71		simp1r 1198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ0)
72		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (coe1‘(𝑖𝑢𝑗)) = (coe1‘(𝑖𝑢𝑗))
73	72, 61, 1, 57	coe1fvalcl 22235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑖𝑢𝑗) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
74	70, 71, 73	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
75	7, 57, 58, 59, 60, 74	matbas2d 22450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛)) ∈ (Base‘𝐴))
76	3	eleq2i 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 ↔ 𝑤 ∈ (Base‘𝐶))
77	76	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (Base‘𝐶))
78	77	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → 𝑤 ∈ (Base‘𝐶))
79	78	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑤 ∈ (Base‘𝐶))
80	79	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑤 ∈ (Base‘𝐶))
81	80, 3	eleqtrrdi 2855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑤 ∈ 𝐵)
82	2, 61, 3, 62, 63, 81	matecld 22453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑤𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
83		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (coe1‘(𝑖𝑤𝑗)) = (coe1‘(𝑖𝑤𝑗))
84	83, 61, 1, 57	coe1fvalcl 22235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑖𝑤𝑗) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
85	82, 71, 84	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
86	7, 57, 58, 59, 60, 85	matbas2d 22450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛)) ∈ (Base‘𝐴))
87	7, 58	eqmat 22451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛)) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛)) ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦)))
88	75, 86, 87	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦)))
89	56, 88	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑢 decompPMat 𝑛) = (𝑤 decompPMat 𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦)))
90	89	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑢 decompPMat 𝑛) = (𝑤 decompPMat 𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦)))
91		oveq1 7455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦))
92		oveq1 7455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦))
93	91, 92	eqeq12d 2756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦) ↔ (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦)))
94		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑏))
95		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑏))
96	94, 95	eqeq12d 2756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦) ↔ (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑏) = (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑏)))
97	93, 96	rspc2va 3647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦)) → (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑏) = (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑏))
98		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛)))
99		oveq12 7457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → (𝑖𝑢𝑗) = (𝑎𝑢𝑏))
100	99	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → (coe1‘(𝑖𝑢𝑗)) = (coe1‘(𝑎𝑢𝑏)))
101	100	fveq1d 6922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛))
102	101	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏)) → ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛))
103		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑎 ∈ 𝑁)
104		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ 𝑁)
105		fvexd 6935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) ∈ V)
106	98, 102, 103, 104, 105	ovmpod 7602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑏) = ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛))
107		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛)))
108		oveq12 7457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → (𝑖𝑤𝑗) = (𝑎𝑤𝑏))
109	108	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → (coe1‘(𝑖𝑤𝑗)) = (coe1‘(𝑎𝑤𝑏)))
110	109	fveq1d 6922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛))
111	110	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏)) → ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛))
112		fvexd 6935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛) ∈ V)
113	107, 111, 103, 104, 112	ovmpod 7602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑏) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛))
114	106, 113	eqeq12d 2756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑏) = (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑏) ↔ ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))
115	114	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑏) = (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑏) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))
116	115	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑏) = (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑏) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))))
117	116	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑏) = (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑏) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))))
118	97, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦)) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))))
119	118	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛))))))
120	119	com25 99	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛))))))
121	120	pm2.43i 52	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))))
122	121	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛))))
123	122	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))
124	90, 123	sylbid 240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑢 decompPMat 𝑛) = (𝑤 decompPMat 𝑛) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))
125	51, 124	sylbid 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))
126	125	ralimdva 3173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))
127	126	impancom 451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) → ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))
128	127	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛))
129	27	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
130		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → 𝑎 ∈ 𝑁)
131		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → 𝑏 ∈ 𝑁)
132	66	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐶))
133	132	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐶))
134	133, 3	eleqtrrdi 2855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → 𝑢 ∈ 𝐵)
135	2, 61, 3, 130, 131, 134	matecld 22453	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → (𝑎𝑢𝑏) ∈ (Base‘𝑃))
136	78	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → 𝑤 ∈ (Base‘𝐶))
137	136, 3	eleqtrrdi 2855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → 𝑤 ∈ 𝐵)
138	2, 61, 3, 130, 131, 137	matecld 22453	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → (𝑎𝑤𝑏) ∈ (Base‘𝑃))
139		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (coe1‘(𝑎𝑢𝑏)) = (coe1‘(𝑎𝑢𝑏))
140		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (coe1‘(𝑎𝑤𝑏)) = (coe1‘(𝑎𝑤𝑏))
141	1, 61, 139, 140	ply1coe1eq 22325	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎𝑢𝑏) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑎𝑤𝑏) ∈ (Base‘𝑃)) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛) ↔ (𝑎𝑢𝑏) = (𝑎𝑤𝑏)))
142	141	bicomd 223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎𝑢𝑏) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑎𝑤𝑏) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑎𝑢𝑏) = (𝑎𝑤𝑏) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))
143	129, 135, 138, 142	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → ((𝑎𝑢𝑏) = (𝑎𝑤𝑏) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))
144	128, 143	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → (𝑎𝑢𝑏) = (𝑎𝑤𝑏))
145	144	ralrimivva 3208	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) → ∀𝑎 ∈ 𝑁 ∀𝑏 ∈ 𝑁 (𝑎𝑢𝑏) = (𝑎𝑤𝑏))
146	2, 3	eqmat 22451	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑢 = 𝑤 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑁 ∀𝑏 ∈ 𝑁 (𝑎𝑢𝑏) = (𝑎𝑤𝑏)))
147	146	ad2antlr 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) → (𝑢 = 𝑤 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑁 ∀𝑏 ∈ 𝑁 (𝑎𝑢𝑏) = (𝑎𝑤𝑏)))
148	145, 147	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) → 𝑢 = 𝑤)
149	148	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛) → 𝑢 = 𝑤))
150	25, 149	sylbid 240	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑇‘𝑢) = (𝑇‘𝑤) → 𝑢 = 𝑤))
151	150	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 ((𝑇‘𝑢) = (𝑇‘𝑤) → 𝑢 = 𝑤))
152		dff13 7292	. 2 ⊢ (𝑇:𝐵–1-1→𝐿 ↔ (𝑇:𝐵⟶𝐿 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 ((𝑇‘𝑢) = (𝑇‘𝑤) → 𝑢 = 𝑤)))
153	11, 151, 152	sylanbrc 582	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵–1-1→𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  Vcvv 3488   ↦ cmpt 5249  ⟶wf 6569  –1-1→wf1 6570  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450  Fincfn 9003  ℕ₀cn0 12553  Basecbs 17258   ·_𝑠 cvsca 17315   Σ_g cgsu 17500  ._gcmg 19107  mulGrpcmgp 20161  Ringcrg 20260  var₁cv1 22198  Poly₁cpl1 22199  coe₁cco1 22200   Mat cmat 22432   decompPMat cdecpmat 22789   pMatToMatPoly cpm2mp 22819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-srg 20214  df-ring 20262  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-dsmm 21775  df-frlm 21790  df-psr 21952  df-mvr 21953  df-mpl 21954  df-opsr 21956  df-psr1 22202  df-vr1 22203  df-ply1 22204  df-coe1 22205  df-mamu 22416  df-mat 22433  df-decpmat 22790  df-pm2mp 22820

This theorem is referenced by:  pm2mpf1o  22842