MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pm2mpf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pm2mpf1 22521
Description: The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is a 1-1 function mapping polynomial matrices to polynomials over matrices. (Contributed by AV, 14-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pm2mpval.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
pm2mpval.c ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
pm2mpval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
pm2mpval.m โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)
pm2mpval.e โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))
pm2mpval.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐ด)
pm2mpval.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
pm2mpval.q ๐‘„ = (Poly1โ€˜๐ด)
pm2mpval.t ๐‘‡ = (๐‘ pMatToMatPoly ๐‘…)
pm2mpcl.l ๐ฟ = (Baseโ€˜๐‘„)
Assertion
Ref Expression
pm2mpf1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘‡:๐ตโ€“1-1โ†’๐ฟ)

Proof of Theorem pm2mpf1
Dummy variables ๐‘› ๐‘˜ ๐‘Ž ๐‘ ๐‘– ๐‘— ๐‘ข ๐‘ค ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm2mpval.p . . 3 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
2 pm2mpval.c . . 3 ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
3 pm2mpval.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
4 pm2mpval.m . . 3 โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)
5 pm2mpval.e . . 3 โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))
6 pm2mpval.x . . 3 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐ด)
7 pm2mpval.a . . 3 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
8 pm2mpval.q . . 3 ๐‘„ = (Poly1โ€˜๐ด)
9 pm2mpval.t . . 3 ๐‘‡ = (๐‘ pMatToMatPoly ๐‘…)
10 pm2mpcl.l . . 3 ๐ฟ = (Baseโ€˜๐‘„)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pm2mpf 22520 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘‡:๐ตโŸถ๐ฟ)
127matring 22165 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
1312adantr 479 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pm2mpcl 22519 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ข) โˆˆ ๐ฟ)
15143expa 1116 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ข) โˆˆ ๐ฟ)
1615adantrr 713 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ข) โˆˆ ๐ฟ)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pm2mpcl 22519 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ค) โˆˆ ๐ฟ)
18173expia 1119 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (๐‘ค โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ค) โˆˆ ๐ฟ))
1918adantld 489 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ค) โˆˆ ๐ฟ))
2019imp 405 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ค) โˆˆ ๐ฟ)
21 eqid 2730 . . . . . . 7 (coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) = (coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข))
22 eqid 2730 . . . . . . 7 (coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ค)) = (coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ค))
238, 10, 21, 22ply1coe1eq 22042 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Ring โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ข) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ค) โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ค))โ€˜๐‘›) โ†” (๐‘‡โ€˜๐‘ข) = (๐‘‡โ€˜๐‘ค)))
2423bicomd 222 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Ring โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ข) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ค) โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ข) = (๐‘‡โ€˜๐‘ค) โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ค))โ€˜๐‘›)))
2513, 16, 20, 24syl3anc 1369 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ข) = (๐‘‡โ€˜๐‘ค) โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ค))โ€˜๐‘›)))
26 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
27 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
28 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ ๐ต)
291, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9pm2mpfval 22518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ข) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ข decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))))
3026, 27, 28, 29syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ข) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ข decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))))
3130ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ข) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ข decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))))
3231fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) = (coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ข decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))))))
3332fveq1d 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ข decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))))โ€˜๐‘›))
34 simplll 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring))
3528adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ ๐ต)
3635anim1i 613 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0))
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8pm2mpf1lem 22516 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ข decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))))โ€˜๐‘›) = (๐‘ข decompPMat ๐‘›))
3834, 36, 37syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ข decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))))โ€˜๐‘›) = (๐‘ข decompPMat ๐‘›))
3933, 38eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข))โ€˜๐‘›) = (๐‘ข decompPMat ๐‘›))
40 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ๐ต)
411, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9pm2mpfval 22518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ค) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ค decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))))
4226, 27, 40, 41syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ค) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ค decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))))
4342fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ (coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ค)) = (coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ค decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))))))
4443fveq1d 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ค))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ค decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))))โ€˜๐‘›))
4544ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ค))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ค decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))))โ€˜๐‘›))
4640adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ๐ต)
4746anim1i 613 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0))
481, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8pm2mpf1lem 22516 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ค decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))))โ€˜๐‘›) = (๐‘ค decompPMat ๐‘›))
4934, 47, 48syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ค decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))))โ€˜๐‘›) = (๐‘ค decompPMat ๐‘›))
5045, 49eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ค))โ€˜๐‘›) = (๐‘ค decompPMat ๐‘›))
5139, 50eqeq12d 2746 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ค))โ€˜๐‘›) โ†” (๐‘ข decompPMat ๐‘›) = (๐‘ค decompPMat ๐‘›)))
522, 3decpmatval 22487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ข decompPMat ๐‘›) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›)))
5328, 52sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ข decompPMat ๐‘›) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›)))
542, 3decpmatval 22487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ค decompPMat ๐‘›) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›)))
5540, 54sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ค decompPMat ๐‘›) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›)))
5653, 55eqeq12d 2746 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ข decompPMat ๐‘›) = (๐‘ค decompPMat ๐‘›) โ†” (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›)) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›))))
57 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
58 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Baseโ€˜๐ด) = (Baseโ€˜๐ด)
59 simplll 771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
60 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
61 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Baseโ€˜๐‘ƒ) = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
62 simp2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
63 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘)
643eleq2i 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘ข โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))
6564biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ข โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))
6665adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))
6766ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))
68673ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))
6968, 3eleqtrrdi 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ข โˆˆ ๐ต)
702, 61, 3, 62, 63, 69matecld 22148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–๐‘ข๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
71 simp1r 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
72 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—)) = (coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))
7372, 61, 1, 57coe1fvalcl 21955 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘–๐‘ข๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7470, 71, 73syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
757, 57, 58, 59, 60, 74matbas2d 22145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›)) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
763eleq2i 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘ค โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘ค โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))
7776biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ค โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘ค โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))
7877ad2antll 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))
7978adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))
80793ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))
8180, 3eleqtrrdi 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ๐ต)
822, 61, 3, 62, 63, 81matecld 22148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–๐‘ค๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
83 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—)) = (coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))
8483, 61, 1, 57coe1fvalcl 21955 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘–๐‘ค๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
8582, 71, 84syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
867, 57, 58, 59, 60, 85matbas2d 22145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›)) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
877, 58eqmat 22146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›)) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›)) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด)) โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›)) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ (๐‘ฅ(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘ฆ)))
8875, 86, 87syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›)) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ (๐‘ฅ(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘ฆ)))
8956, 88bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ข decompPMat ๐‘›) = (๐‘ค decompPMat ๐‘›) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ (๐‘ฅ(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘ฆ)))
9089adantlr 711 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ข decompPMat ๐‘›) = (๐‘ค decompPMat ๐‘›) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ (๐‘ฅ(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘ฆ)))
91 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘ฅ(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘ฆ) = (๐‘Ž(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘ฆ))
92 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘ฅ(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘ฆ) = (๐‘Ž(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘ฆ))
9391, 92eqeq12d 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ ((๐‘ฅ(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘ฆ) โ†” (๐‘Ž(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘ฆ) = (๐‘Ž(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘ฆ)))
94 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ (๐‘Ž(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘ฆ) = (๐‘Ž(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘))
95 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ (๐‘Ž(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘ฆ) = (๐‘Ž(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘))
9694, 95eqeq12d 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ ((๐‘Ž(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘ฆ) = (๐‘Ž(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘ฆ) โ†” (๐‘Ž(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘) = (๐‘Ž(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘)))
9793, 96rspc2va 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ (๐‘ฅ(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘Ž(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘) = (๐‘Ž(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘))
98 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต))) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›)) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›)))
99 oveq12 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐‘– = ๐‘Ž โˆง ๐‘— = ๐‘) โ†’ (๐‘–๐‘ข๐‘—) = (๐‘Ž๐‘ข๐‘))
10099fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐‘– = ๐‘Ž โˆง ๐‘— = ๐‘) โ†’ (coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—)) = (coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ข๐‘)))
101100fveq1d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐‘– = ๐‘Ž โˆง ๐‘— = ๐‘) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ข๐‘))โ€˜๐‘›))
102101adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต))) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘– = ๐‘Ž โˆง ๐‘— = ๐‘)) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ข๐‘))โ€˜๐‘›))
103 simplll 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต))) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ ๐‘)
104 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต))) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)
105 fvexd 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต))) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ข๐‘))โ€˜๐‘›) โˆˆ V)
10698, 102, 103, 104, 105ovmpod 7562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต))) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘Ž(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘) = ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ข๐‘))โ€˜๐‘›))
107 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต))) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›)) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›)))
108 oveq12 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐‘– = ๐‘Ž โˆง ๐‘— = ๐‘) โ†’ (๐‘–๐‘ค๐‘—) = (๐‘Ž๐‘ค๐‘))
109108fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐‘– = ๐‘Ž โˆง ๐‘— = ๐‘) โ†’ (coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—)) = (coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ค๐‘)))
110109fveq1d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐‘– = ๐‘Ž โˆง ๐‘— = ๐‘) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ค๐‘))โ€˜๐‘›))
111110adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต))) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘– = ๐‘Ž โˆง ๐‘— = ๐‘)) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ค๐‘))โ€˜๐‘›))
112 fvexd 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต))) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ค๐‘))โ€˜๐‘›) โˆˆ V)
113107, 111, 103, 104, 112ovmpod 7562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต))) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘Ž(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘) = ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ค๐‘))โ€˜๐‘›))
114106, 113eqeq12d 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต))) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘Ž(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘) = (๐‘Ž(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘) โ†” ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ข๐‘))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ค๐‘))โ€˜๐‘›)))
115114biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต))) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘Ž(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘) = (๐‘Ž(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ข๐‘))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ค๐‘))โ€˜๐‘›)))
116115exp31 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘Ž(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘) = (๐‘Ž(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ข๐‘))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ค๐‘))โ€˜๐‘›)))))
117116com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘Ž(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘) = (๐‘Ž(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘) โ†’ (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ข๐‘))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ค๐‘))โ€˜๐‘›)))))
11897, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ (๐‘ฅ(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘ฆ)) โ†’ (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ข๐‘))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ค๐‘))โ€˜๐‘›)))))
119118ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ (๐‘ฅ(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ข๐‘))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ค๐‘))โ€˜๐‘›))))))
120119com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ (๐‘ฅ(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘ฆ) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ข๐‘))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ค๐‘))โ€˜๐‘›))))))
121120pm2.43i 52 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ (๐‘ฅ(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘ฆ) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ข๐‘))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ค๐‘))โ€˜๐‘›)))))
122121impcom 406 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ (๐‘ฅ(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘ฆ) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ข๐‘))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ค๐‘))โ€˜๐‘›))))
123122imp 405 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ (๐‘ฅ(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ข๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘ค๐‘—))โ€˜๐‘›))๐‘ฆ) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ข๐‘))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ค๐‘))โ€˜๐‘›)))
12490, 123sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ข decompPMat ๐‘›) = (๐‘ค decompPMat ๐‘›) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ข๐‘))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ค๐‘))โ€˜๐‘›)))
12551, 124sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ค))โ€˜๐‘›) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ข๐‘))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ค๐‘))โ€˜๐‘›)))
126125ralimdva 3165 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ค))โ€˜๐‘›) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ข๐‘))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ค๐‘))โ€˜๐‘›)))
127126impancom 450 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ค))โ€˜๐‘›)) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ข๐‘))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ค๐‘))โ€˜๐‘›)))
128127imp 405 . . . . . . . 8 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ค))โ€˜๐‘›)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ข๐‘))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ค๐‘))โ€˜๐‘›))
12927ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ค))โ€˜๐‘›)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
130 simprl 767 . . . . . . . . . 10 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ค))โ€˜๐‘›)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ ๐‘)
131 simprr 769 . . . . . . . . . 10 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ค))โ€˜๐‘›)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)
13266ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ค))โ€˜๐‘›)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))
133132adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ค))โ€˜๐‘›)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))
134133, 3eleqtrrdi 2842 . . . . . . . . . 10 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ค))โ€˜๐‘›)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ ๐ต)
1352, 61, 3, 130, 131, 134matecld 22148 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ค))โ€˜๐‘›)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘Ž๐‘ข๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
13678ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ค))โ€˜๐‘›)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))
137136, 3eleqtrrdi 2842 . . . . . . . . . 10 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ค))โ€˜๐‘›)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ๐ต)
1382, 61, 3, 130, 131, 137matecld 22148 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ค))โ€˜๐‘›)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘Ž๐‘ค๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
139 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ข๐‘)) = (coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ข๐‘))
140 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ค๐‘)) = (coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ค๐‘))
1411, 61, 139, 140ply1coe1eq 22042 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘Ž๐‘ข๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ) โˆง (๐‘Ž๐‘ค๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ)) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ข๐‘))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ค๐‘))โ€˜๐‘›) โ†” (๐‘Ž๐‘ข๐‘) = (๐‘Ž๐‘ค๐‘)))
142141bicomd 222 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘Ž๐‘ข๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ) โˆง (๐‘Ž๐‘ค๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘Ž๐‘ข๐‘) = (๐‘Ž๐‘ค๐‘) โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ข๐‘))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ค๐‘))โ€˜๐‘›)))
143129, 135, 138, 142syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ค))โ€˜๐‘›)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ((๐‘Ž๐‘ข๐‘) = (๐‘Ž๐‘ค๐‘) โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ข๐‘))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘Ž๐‘ค๐‘))โ€˜๐‘›)))
144128, 143mpbird 256 . . . . . . 7 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ค))โ€˜๐‘›)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘Ž๐‘ข๐‘) = (๐‘Ž๐‘ค๐‘))
145144ralrimivva 3198 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ค))โ€˜๐‘›)) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ (๐‘Ž๐‘ข๐‘) = (๐‘Ž๐‘ค๐‘))
1462, 3eqmat 22146 . . . . . . 7 ((๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ข = ๐‘ค โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ (๐‘Ž๐‘ข๐‘) = (๐‘Ž๐‘ค๐‘)))
147146ad2antlr 723 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ค))โ€˜๐‘›)) โ†’ (๐‘ข = ๐‘ค โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ (๐‘Ž๐‘ข๐‘) = (๐‘Ž๐‘ค๐‘)))
148145, 147mpbird 256 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ค))โ€˜๐‘›)) โ†’ ๐‘ข = ๐‘ค)
149148ex 411 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ค))โ€˜๐‘›) โ†’ ๐‘ข = ๐‘ค))
15025, 149sylbid 239 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ข) = (๐‘‡โ€˜๐‘ค) โ†’ ๐‘ข = ๐‘ค))
151150ralrimivva 3198 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ โˆ€๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ต ((๐‘‡โ€˜๐‘ข) = (๐‘‡โ€˜๐‘ค) โ†’ ๐‘ข = ๐‘ค))
152 dff13 7256 . 2 (๐‘‡:๐ตโ€“1-1โ†’๐ฟ โ†” (๐‘‡:๐ตโŸถ๐ฟ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ต ((๐‘‡โ€˜๐‘ข) = (๐‘‡โ€˜๐‘ค) โ†’ ๐‘ข = ๐‘ค)))
15311, 151, 152sylanbrc 581 1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘‡:๐ตโ€“1-1โ†’๐ฟ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆ€wral 3059  Vcvv 3472   โ†ฆ cmpt 5230  โŸถwf 6538  โ€“1-1โ†’wf1 6539  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   โˆˆ cmpo 7413  Fincfn 8941  โ„•0cn0 12476  Basecbs 17148   ยท๐‘  cvsca 17205   ฮฃg cgsu 17390  .gcmg 18986  mulGrpcmgp 20028  Ringcrg 20127  var1cv1 21919  Poly1cpl1 21920  coe1cco1 21921   Mat cmat 22127   decompPMat cdecpmat 22484   pMatToMatPoly cpm2mp 22514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-srg 20081  df-ring 20129  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-dsmm 21506  df-frlm 21521  df-psr 21681  df-mvr 21682  df-mpl 21683  df-opsr 21685  df-psr1 21923  df-vr1 21924  df-ply1 21925  df-coe1 21926  df-mamu 22106  df-mat 22128  df-decpmat 22485  df-pm2mp 22515
This theorem is referenced by:  pm2mpf1o  22537
  Copyright terms: Public domain W3C validator