Theorem pm2mpf1 22993

Description: The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is a 1-1 function mapping polynomial matrices to polynomials over matrices. (Contributed by AV, 14-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pm2mpval.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pm2mpval.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
pm2mpval.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
pm2mpval.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
pm2mpval.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
pm2mpval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpval.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
pm2mpval.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
pm2mpcl.l	⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)

Assertion

Ref	Expression
pm2mpf1	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵–1-1→𝐿)

Proof of Theorem pm2mpf1

Dummy variables 𝑛 𝑘 𝑎 𝑏 𝑖 𝑗 𝑢 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2mpval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		pm2mpval.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
3		pm2mpval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		pm2mpval.m	. . 3 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
5		pm2mpval.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
6		pm2mpval.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
7		pm2mpval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
8		pm2mpval.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
9		pm2mpval.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
10		pm2mpcl.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pm2mpf 22992	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵⟶𝐿)
12	7	matring 22637	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
13	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ Ring)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pm2mpcl 22991	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑢) ∈ 𝐿)
15	14	3expa 1136	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑢) ∈ 𝐿)
16	15	adantrr 730	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘𝑢) ∈ 𝐿)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pm2mpcl 22991	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑤) ∈ 𝐿)
18	17	3expia 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑤 ∈ 𝐵 → (𝑇‘𝑤) ∈ 𝐿))
19	18	adantld 496	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑤) ∈ 𝐿))
20	19	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘𝑤) ∈ 𝐿)
21		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘(𝑇‘𝑢)) = (coe1‘(𝑇‘𝑢))
22		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘(𝑇‘𝑤)) = (coe1‘(𝑇‘𝑤))
23	8, 10, 21, 22	ply1coe1eq 22497	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ (𝑇‘𝑢) ∈ 𝐿 ∧ (𝑇‘𝑤) ∈ 𝐿) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛) ↔ (𝑇‘𝑢) = (𝑇‘𝑤)))
24	23	bicomd 226	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ (𝑇‘𝑢) ∈ 𝐿 ∧ (𝑇‘𝑤) ∈ 𝐿) → ((𝑇‘𝑢) = (𝑇‘𝑤) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)))
25	13, 16, 20, 24	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑇‘𝑢) = (𝑇‘𝑤) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)))
26		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ Fin)
27		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
28		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → 𝑢 ∈ 𝐵)
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	pm2mpfval 22990	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑢) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑢 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
30	26, 27, 28, 29	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘𝑢) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑢 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
31	30	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑇‘𝑢) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑢 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
32	31	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝑇‘𝑢)) = (coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑢 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))))
33	32	fveq1d 6890	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑢 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛))
34		simplll 787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
35	28	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → 𝑢 ∈ 𝐵)
36	35	anim1i 627	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0))
37	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	pm2mpf1lem 22988	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑢 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛) = (𝑢 decompPMat 𝑛))
38	34, 36, 37	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑢 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛) = (𝑢 decompPMat 𝑛))
39	33, 38	eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = (𝑢 decompPMat 𝑛))
40		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → 𝑤 ∈ 𝐵)
41	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	pm2mpfval 22990	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑤) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
42	26, 27, 40, 41	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘𝑤) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
43	42	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (coe1‘(𝑇‘𝑤)) = (coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))))
44	43	fveq1d 6890	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛))
45	44	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛))
46	40	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → 𝑤 ∈ 𝐵)
47	46	anim1i 627	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0))
48	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	pm2mpf1lem 22988	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛) = (𝑤 decompPMat 𝑛))
49	34, 47, 48	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛) = (𝑤 decompPMat 𝑛))
50	45, 49	eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛) = (𝑤 decompPMat 𝑛))
51	39, 50	eqeq12d 2782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛) ↔ (𝑢 decompPMat 𝑛) = (𝑤 decompPMat 𝑛)))
52	2, 3	decpmatval 22959	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑢 decompPMat 𝑛) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛)))
53	28, 52	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑢 decompPMat 𝑛) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛)))
54	2, 3	decpmatval 22959	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑤 decompPMat 𝑛) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛)))
55	40, 54	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑤 decompPMat 𝑛) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛)))
56	53, 55	eqeq12d 2782	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑢 decompPMat 𝑛) = (𝑤 decompPMat 𝑛) ↔ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))))
57		eqid 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
58		eqid 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
59		simplll 787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ Fin)
60		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
61		eqid 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
62		simp2 1155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
63		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
64	3	eleq2i 2858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐵 ↔ 𝑢 ∈ (Base‘𝐶))
65	64	birani 509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐶))
66	65	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐶))
67	66	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐶))
68	67, 3	eleqtrrdi 2877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑢 ∈ 𝐵)
69	2, 61, 3, 62, 63, 68	matecld 22620	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑢𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
70		simp1r 1217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ0)
71		eqid 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (coe1‘(𝑖𝑢𝑗)) = (coe1‘(𝑖𝑢𝑗))
72	71, 61, 1, 57	coe1fvalcl 22409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑖𝑢𝑗) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
73	69, 70, 72	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
74	7, 57, 58, 59, 60, 73	matbas2d 22617	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛)) ∈ (Base‘𝐴))
75	3	eleq2i 2858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 ↔ 𝑤 ∈ (Base‘𝐶))
76	75	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (Base‘𝐶))
77	76	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → 𝑤 ∈ (Base‘𝐶))
78	77	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑤 ∈ (Base‘𝐶))
79	78	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑤 ∈ (Base‘𝐶))
80	79, 3	eleqtrrdi 2877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑤 ∈ 𝐵)
81	2, 61, 3, 62, 63, 80	matecld 22620	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑤𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
82		eqid 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (coe1‘(𝑖𝑤𝑗)) = (coe1‘(𝑖𝑤𝑗))
83	82, 61, 1, 57	coe1fvalcl 22409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑖𝑤𝑗) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
84	81, 70, 83	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
85	7, 57, 58, 59, 60, 84	matbas2d 22617	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛)) ∈ (Base‘𝐴))
86	7, 58	eqmat 22618	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛)) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛)) ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦)))
87	74, 85, 86	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦)))
88	56, 87	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑢 decompPMat 𝑛) = (𝑤 decompPMat 𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦)))
89	88	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑢 decompPMat 𝑛) = (𝑤 decompPMat 𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦)))
90		oveq1 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦))
91		oveq1 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦))
92	90, 91	eqeq12d 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦) ↔ (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦)))
93		oveq2 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑏))
94		oveq2 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑏))
95	93, 94	eqeq12d 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦) ↔ (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑏) = (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑏)))
96	92, 95	rspc2va 3596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦)) → (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑏) = (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑏))
97		eqidd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛)))
98		oveq12 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → (𝑖𝑢𝑗) = (𝑎𝑢𝑏))
99	98	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → (coe1‘(𝑖𝑢𝑗)) = (coe1‘(𝑎𝑢𝑏)))
100	99	fveq1d 6890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛))
101	100	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏)) → ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛))
102		simplll 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑎 ∈ 𝑁)
103		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ 𝑁)
104		fvexd 6903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) ∈ V)
105	97, 101, 102, 103, 104	ovmpod 7575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑏) = ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛))
106		eqidd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛)))
107		oveq12 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → (𝑖𝑤𝑗) = (𝑎𝑤𝑏))
108	107	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → (coe1‘(𝑖𝑤𝑗)) = (coe1‘(𝑎𝑤𝑏)))
109	108	fveq1d 6890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛))
110	109	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏)) → ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛))
111		fvexd 6903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛) ∈ V)
112	106, 110, 102, 103, 111	ovmpod 7575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑏) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛))
113	105, 112	eqeq12d 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑏) = (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑏) ↔ ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))
114	113	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑏) = (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑏) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))
115	114	exp31 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑏) = (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑏) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))))
116	115	com14 97	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑏) = (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑏) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))))
117	96, 116	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦)) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))))
118	117	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛))))))
119	118	com25 100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛))))))
120	119	pm2.43i 53	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))))
121	120	impcom 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛))))
122	121	imp 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))
123	89, 122	sylbid 243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑢 decompPMat 𝑛) = (𝑤 decompPMat 𝑛) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))
124	51, 123	sylbid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))
125	124	ralimdva 3180	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))
126	125	impancom 457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) → ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))
127	126	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛))
128	27	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
129		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → 𝑎 ∈ 𝑁)
130		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → 𝑏 ∈ 𝑁)
131	65	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐶))
132	131	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐶))
133	132, 3	eleqtrrdi 2877	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → 𝑢 ∈ 𝐵)
134	2, 61, 3, 129, 130, 133	matecld 22620	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → (𝑎𝑢𝑏) ∈ (Base‘𝑃))
135	77	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → 𝑤 ∈ (Base‘𝐶))
136	135, 3	eleqtrrdi 2877	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → 𝑤 ∈ 𝐵)
137	2, 61, 3, 129, 130, 136	matecld 22620	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → (𝑎𝑤𝑏) ∈ (Base‘𝑃))
138		eqid 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (coe1‘(𝑎𝑢𝑏)) = (coe1‘(𝑎𝑢𝑏))
139		eqid 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (coe1‘(𝑎𝑤𝑏)) = (coe1‘(𝑎𝑤𝑏))
140	1, 61, 138, 139	ply1coe1eq 22497	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎𝑢𝑏) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑎𝑤𝑏) ∈ (Base‘𝑃)) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛) ↔ (𝑎𝑢𝑏) = (𝑎𝑤𝑏)))
141	140	bicomd 226	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎𝑢𝑏) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑎𝑤𝑏) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑎𝑢𝑏) = (𝑎𝑤𝑏) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))
142	128, 134, 137, 141	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → ((𝑎𝑢𝑏) = (𝑎𝑤𝑏) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))
143	127, 142	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → (𝑎𝑢𝑏) = (𝑎𝑤𝑏))
144	143	ralrimivva 3211	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) → ∀𝑎 ∈ 𝑁 ∀𝑏 ∈ 𝑁 (𝑎𝑢𝑏) = (𝑎𝑤𝑏))
145	2, 3	eqmat 22618	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑢 = 𝑤 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑁 ∀𝑏 ∈ 𝑁 (𝑎𝑢𝑏) = (𝑎𝑤𝑏)))
146	145	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) → (𝑢 = 𝑤 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑁 ∀𝑏 ∈ 𝑁 (𝑎𝑢𝑏) = (𝑎𝑤𝑏)))
147	144, 146	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛)) → 𝑢 = 𝑤)
148	147	ex 418	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇‘𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇‘𝑤))‘𝑛) → 𝑢 = 𝑤))
149	25, 148	sylbid 243	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑇‘𝑢) = (𝑇‘𝑤) → 𝑢 = 𝑤))
150	149	ralrimivva 3211	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 ((𝑇‘𝑢) = (𝑇‘𝑤) → 𝑢 = 𝑤))
151		dff13 7259	. 2 ⊢ (𝑇:𝐵–1-1→𝐿 ↔ (𝑇:𝐵⟶𝐿 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 ((𝑇‘𝑢) = (𝑇‘𝑤) → 𝑢 = 𝑤)))
152	11, 150, 151	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵–1-1→𝐿)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  Vcvv 3458   ↦ cmpt 5197  ⟶wf 6539  –1-1→wf1 6540  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ∈ cmpo 7425  Fincfn 8952  ℕ₀cn0 12522  Basecbs 17294   ·_𝑠 cvsca 17339   Σ_g cgsu 17518  ._gcmg 19164  mulGrpcmgp 20247  Ringcrg 20346  var₁cv1 22373  Poly₁cpl1 22374  coe₁cco1 22375   Mat cmat 22601   decompPMat cdecpmat 22956   pMatToMatPoly cpm2mp 22986

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-ofr 7688  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-hom 17359  df-cco 17360  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-prds 17525  df-pws 17527  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-mhm 18872  df-submnd 18873  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036  df-mulg 19165  df-subg 19220  df-ghm 19315  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-srg 20300  df-ring 20348  df-subrng 20682  df-subrg 20706  df-lmod 21020  df-lss 21090  df-sra 21331  df-rgmod 21332  df-dsmm 21919  df-frlm 21934  df-psr 22096  df-mvr 22097  df-mpl 22098  df-opsr 22100  df-psr1 22377  df-vr1 22378  df-ply1 22379  df-coe1 22380  df-mamu 22585  df-mat 22602  df-decpmat 22957  df-pm2mp 22987

This theorem is used by:  pm2mpf1o  23009