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Theorem pm2mpf1 21404
Description: The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is a 1-1 function mapping polynomial matrices to polynomials over matrices. (Contributed by AV, 14-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pm2mpval.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
pm2mpval.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpval.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
pm2mpval.m = ( ·𝑠𝑄)
pm2mpval.e = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
pm2mpval.x 𝑋 = (var1𝐴)
pm2mpval.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpval.q 𝑄 = (Poly1𝐴)
pm2mpval.t 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
pm2mpcl.l 𝐿 = (Base‘𝑄)
Assertion
Ref Expression
pm2mpf1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵1-1𝐿)

Proof of Theorem pm2mpf1
Dummy variables 𝑛 𝑘 𝑎 𝑏 𝑖 𝑗 𝑢 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm2mpval.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 pm2mpval.c . . 3 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
3 pm2mpval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
4 pm2mpval.m . . 3 = ( ·𝑠𝑄)
5 pm2mpval.e . . 3 = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
6 pm2mpval.x . . 3 𝑋 = (var1𝐴)
7 pm2mpval.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
8 pm2mpval.q . . 3 𝑄 = (Poly1𝐴)
9 pm2mpval.t . . 3 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
10 pm2mpcl.l . . 3 𝐿 = (Base‘𝑄)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pm2mpf 21403 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵𝐿)
127matring 21048 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
1312adantr 484 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) → 𝐴 ∈ Ring)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pm2mpcl 21402 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑢𝐵) → (𝑇𝑢) ∈ 𝐿)
15143expa 1115 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑢𝐵) → (𝑇𝑢) ∈ 𝐿)
1615adantrr 716 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) → (𝑇𝑢) ∈ 𝐿)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pm2mpcl 21402 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑤𝐵) → (𝑇𝑤) ∈ 𝐿)
18173expia 1118 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑤𝐵 → (𝑇𝑤) ∈ 𝐿))
1918adantld 494 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑢𝐵𝑤𝐵) → (𝑇𝑤) ∈ 𝐿))
2019imp 410 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) → (𝑇𝑤) ∈ 𝐿)
21 eqid 2798 . . . . . . 7 (coe1‘(𝑇𝑢)) = (coe1‘(𝑇𝑢))
22 eqid 2798 . . . . . . 7 (coe1‘(𝑇𝑤)) = (coe1‘(𝑇𝑤))
238, 10, 21, 22ply1coe1eq 20927 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Ring ∧ (𝑇𝑢) ∈ 𝐿 ∧ (𝑇𝑤) ∈ 𝐿) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇𝑤))‘𝑛) ↔ (𝑇𝑢) = (𝑇𝑤)))
2423bicomd 226 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Ring ∧ (𝑇𝑢) ∈ 𝐿 ∧ (𝑇𝑤) ∈ 𝐿) → ((𝑇𝑢) = (𝑇𝑤) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇𝑤))‘𝑛)))
2513, 16, 20, 24syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) → ((𝑇𝑢) = (𝑇𝑤) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇𝑤))‘𝑛)))
26 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) → 𝑁 ∈ Fin)
27 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
28 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) → 𝑢𝐵)
291, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9pm2mpfval 21401 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑢𝐵) → (𝑇𝑢) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑢 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))
3026, 27, 28, 29syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) → (𝑇𝑢) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑢 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))
3130ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑇𝑢) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑢 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))
3231fveq2d 6649 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝑇𝑢)) = (coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑢 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))))
3332fveq1d 6647 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑇𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑢 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))‘𝑛))
34 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3528adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑢𝐵)
3635anim1i 617 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑢𝐵𝑛 ∈ ℕ0))
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8pm2mpf1lem 21399 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑛 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑢 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))‘𝑛) = (𝑢 decompPMat 𝑛))
3834, 36, 37syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑢 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))‘𝑛) = (𝑢 decompPMat 𝑛))
3933, 38eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑇𝑢))‘𝑛) = (𝑢 decompPMat 𝑛))
40 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) → 𝑤𝐵)
411, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9pm2mpfval 21401 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑤𝐵) → (𝑇𝑤) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))
4226, 27, 40, 41syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) → (𝑇𝑤) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))
4342fveq2d 6649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) → (coe1‘(𝑇𝑤)) = (coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))))
4443fveq1d 6647 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) → ((coe1‘(𝑇𝑤))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))‘𝑛))
4544ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑇𝑤))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))‘𝑛))
4640adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑤𝐵)
4746anim1i 617 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑤𝐵𝑛 ∈ ℕ0))
481, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8pm2mpf1lem 21399 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑤𝐵𝑛 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))‘𝑛) = (𝑤 decompPMat 𝑛))
4934, 47, 48syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))‘𝑛) = (𝑤 decompPMat 𝑛))
5045, 49eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑇𝑤))‘𝑛) = (𝑤 decompPMat 𝑛))
5139, 50eqeq12d 2814 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((coe1‘(𝑇𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇𝑤))‘𝑛) ↔ (𝑢 decompPMat 𝑛) = (𝑤 decompPMat 𝑛)))
522, 3decpmatval 21370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢𝐵𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑢 decompPMat 𝑛) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛)))
5328, 52sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑢 decompPMat 𝑛) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛)))
542, 3decpmatval 21370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤𝐵𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑤 decompPMat 𝑛) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛)))
5540, 54sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑤 decompPMat 𝑛) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛)))
5653, 55eqeq12d 2814 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑢 decompPMat 𝑛) = (𝑤 decompPMat 𝑛) ↔ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))))
57 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
58 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
59 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ Fin)
60 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
61 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
62 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
63 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
643eleq2i 2881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑢𝐵𝑢 ∈ (Base‘𝐶))
6564biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑢𝐵𝑢 ∈ (Base‘𝐶))
6665adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑢𝐵𝑤𝐵) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐶))
6766ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐶))
68673ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐶))
6968, 3eleqtrrdi 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑢𝐵)
702, 61, 3, 62, 63, 69matecld 21031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑢𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
71 simp1r 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ0)
72 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (coe1‘(𝑖𝑢𝑗)) = (coe1‘(𝑖𝑢𝑗))
7372, 61, 1, 57coe1fvalcl 20841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖𝑢𝑗) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
7470, 71, 73syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
757, 57, 58, 59, 60, 74matbas2d 21028 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛)) ∈ (Base‘𝐴))
763eleq2i 2881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤𝐵𝑤 ∈ (Base‘𝐶))
7776biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤𝐵𝑤 ∈ (Base‘𝐶))
7877ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) → 𝑤 ∈ (Base‘𝐶))
7978adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑤 ∈ (Base‘𝐶))
80793ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑤 ∈ (Base‘𝐶))
8180, 3eleqtrrdi 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑤𝐵)
822, 61, 3, 62, 63, 81matecld 21031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑤𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
83 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (coe1‘(𝑖𝑤𝑗)) = (coe1‘(𝑖𝑤𝑗))
8483, 61, 1, 57coe1fvalcl 20841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖𝑤𝑗) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
8582, 71, 84syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
867, 57, 58, 59, 60, 85matbas2d 21028 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛)) ∈ (Base‘𝐴))
877, 58eqmat 21029 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛)) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛)) ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛)) ↔ ∀𝑥𝑁𝑦𝑁 (𝑥(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦)))
8875, 86, 87syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛)) ↔ ∀𝑥𝑁𝑦𝑁 (𝑥(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦)))
8956, 88bitrd 282 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑢 decompPMat 𝑛) = (𝑤 decompPMat 𝑛) ↔ ∀𝑥𝑁𝑦𝑁 (𝑥(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦)))
9089adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑢 decompPMat 𝑛) = (𝑤 decompPMat 𝑛) ↔ ∀𝑥𝑁𝑦𝑁 (𝑥(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦)))
91 oveq1 7142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑎(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦))
92 oveq1 7142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑎(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦))
9391, 92eqeq12d 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦) ↔ (𝑎(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑎(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦)))
94 oveq2 7143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑏 → (𝑎(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑎(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑏))
95 oveq2 7143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑏 → (𝑎(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑎(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑏))
9694, 95eqeq12d 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑏 → ((𝑎(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑎(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦) ↔ (𝑎(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑏) = (𝑎(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑏)))
9793, 96rspc2va 3582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ∀𝑥𝑁𝑦𝑁 (𝑥(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦)) → (𝑎(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑏) = (𝑎(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑏))
98 eqidd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛)))
99 oveq12 7144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑖 = 𝑎𝑗 = 𝑏) → (𝑖𝑢𝑗) = (𝑎𝑢𝑏))
10099fveq2d 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑖 = 𝑎𝑗 = 𝑏) → (coe1‘(𝑖𝑢𝑗)) = (coe1‘(𝑎𝑢𝑏)))
101100fveq1d 6647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑖 = 𝑎𝑗 = 𝑏) → ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛))
102101adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 = 𝑎𝑗 = 𝑏)) → ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛))
103 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑎𝑁)
104 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑏𝑁)
105 fvexd 6660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) ∈ V)
10698, 102, 103, 104, 105ovmpod 7281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑎(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑏) = ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛))
107 eqidd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛)))
108 oveq12 7144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑖 = 𝑎𝑗 = 𝑏) → (𝑖𝑤𝑗) = (𝑎𝑤𝑏))
109108fveq2d 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑖 = 𝑎𝑗 = 𝑏) → (coe1‘(𝑖𝑤𝑗)) = (coe1‘(𝑎𝑤𝑏)))
110109fveq1d 6647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑖 = 𝑎𝑗 = 𝑏) → ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛))
111110adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 = 𝑎𝑗 = 𝑏)) → ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛))
112 fvexd 6660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛) ∈ V)
113107, 111, 103, 104, 112ovmpod 7281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑎(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑏) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛))
114106, 113eqeq12d 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑎(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑏) = (𝑎(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑏) ↔ ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))
115114biimpd 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑎(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑏) = (𝑎(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑏) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))
116115exp31 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎𝑁𝑏𝑁) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑎(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑏) = (𝑎(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑏) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))))
117116com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑏) = (𝑎(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑏) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑎𝑁𝑏𝑁) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))))
11897, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ∀𝑥𝑁𝑦𝑁 (𝑥(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦)) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑎𝑁𝑏𝑁) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))))
119118ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎𝑁𝑏𝑁) → (∀𝑥𝑁𝑦𝑁 (𝑥(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑎𝑁𝑏𝑁) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛))))))
120119com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎𝑁𝑏𝑁) → ((𝑎𝑁𝑏𝑁) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (∀𝑥𝑁𝑦𝑁 (𝑥(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛))))))
121120pm2.43i 52 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎𝑁𝑏𝑁) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (∀𝑥𝑁𝑦𝑁 (𝑥(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))))
122121impcom 411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (∀𝑥𝑁𝑦𝑁 (𝑥(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛))))
123122imp 410 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (∀𝑥𝑁𝑦𝑁 (𝑥(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑢𝑗))‘𝑛))𝑦) = (𝑥(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑤𝑗))‘𝑛))𝑦) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))
12490, 123sylbid 243 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑢 decompPMat 𝑛) = (𝑤 decompPMat 𝑛) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))
12551, 124sylbid 243 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((coe1‘(𝑇𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇𝑤))‘𝑛) → ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))
126125ralimdva 3144 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇𝑤))‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))
127126impancom 455 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇𝑤))‘𝑛)) → ((𝑎𝑁𝑏𝑁) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))
128127imp 410 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛))
12927ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
130 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑎𝑁)
131 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑏𝑁)
13266ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇𝑤))‘𝑛)) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐶))
133132adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐶))
134133, 3eleqtrrdi 2901 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑢𝐵)
1352, 61, 3, 130, 131, 134matecld 21031 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑎𝑢𝑏) ∈ (Base‘𝑃))
13678ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑤 ∈ (Base‘𝐶))
137136, 3eleqtrrdi 2901 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑤𝐵)
1382, 61, 3, 130, 131, 137matecld 21031 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑎𝑤𝑏) ∈ (Base‘𝑃))
139 eqid 2798 . . . . . . . . . . 11 (coe1‘(𝑎𝑢𝑏)) = (coe1‘(𝑎𝑢𝑏))
140 eqid 2798 . . . . . . . . . . 11 (coe1‘(𝑎𝑤𝑏)) = (coe1‘(𝑎𝑤𝑏))
1411, 61, 139, 140ply1coe1eq 20927 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎𝑢𝑏) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑎𝑤𝑏) ∈ (Base‘𝑃)) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛) ↔ (𝑎𝑢𝑏) = (𝑎𝑤𝑏)))
142141bicomd 226 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎𝑢𝑏) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑎𝑤𝑏) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑎𝑢𝑏) = (𝑎𝑤𝑏) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))
143129, 135, 138, 142syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → ((𝑎𝑢𝑏) = (𝑎𝑤𝑏) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑎𝑢𝑏))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑎𝑤𝑏))‘𝑛)))
144128, 143mpbird 260 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇𝑤))‘𝑛)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑎𝑢𝑏) = (𝑎𝑤𝑏))
145144ralrimivva 3156 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇𝑤))‘𝑛)) → ∀𝑎𝑁𝑏𝑁 (𝑎𝑢𝑏) = (𝑎𝑤𝑏))
1462, 3eqmat 21029 . . . . . . 7 ((𝑢𝐵𝑤𝐵) → (𝑢 = 𝑤 ↔ ∀𝑎𝑁𝑏𝑁 (𝑎𝑢𝑏) = (𝑎𝑤𝑏)))
147146ad2antlr 726 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇𝑤))‘𝑛)) → (𝑢 = 𝑤 ↔ ∀𝑎𝑁𝑏𝑁 (𝑎𝑢𝑏) = (𝑎𝑤𝑏)))
148145, 147mpbird 260 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇𝑤))‘𝑛)) → 𝑢 = 𝑤)
149148ex 416 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑇𝑢))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑇𝑤))‘𝑛) → 𝑢 = 𝑤))
15025, 149sylbid 243 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑢𝐵𝑤𝐵)) → ((𝑇𝑢) = (𝑇𝑤) → 𝑢 = 𝑤))
151150ralrimivva 3156 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑢𝐵𝑤𝐵 ((𝑇𝑢) = (𝑇𝑤) → 𝑢 = 𝑤))
152 dff13 6991 . 2 (𝑇:𝐵1-1𝐿 ↔ (𝑇:𝐵𝐿 ∧ ∀𝑢𝐵𝑤𝐵 ((𝑇𝑢) = (𝑇𝑤) → 𝑢 = 𝑤)))
15311, 151, 152sylanbrc 586 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵1-1𝐿)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111  wral 3106  Vcvv 3441  cmpt 5110  wf 6320  1-1wf1 6321  cfv 6324  (class class class)co 7135  cmpo 7137  Fincfn 8492  0cn0 11885  Basecbs 16475   ·𝑠 cvsca 16561   Σg cgsu 16706  .gcmg 18216  mulGrpcmgp 19232  Ringcrg 19290  var1cv1 20805  Poly1cpl1 20806  coe1cco1 20807   Mat cmat 21012   decompPMat cdecpmat 21367   pMatToMatPoly cpm2mp 21397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-ofr 7390  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-srg 19249  df-ring 19292  df-subrg 19526  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-dsmm 20421  df-frlm 20436  df-psr 20594  df-mvr 20595  df-mpl 20596  df-opsr 20598  df-psr1 20809  df-vr1 20810  df-ply1 20811  df-coe1 20812  df-mamu 20991  df-mat 21013  df-decpmat 21368  df-pm2mp 21398
This theorem is referenced by:  pm2mpf1o  21420
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