Theorem pr2ne 9505

Description: If an unordered pair has two elements they are different. (Contributed by FL, 14-Feb-2010.)

Assertion

Ref	Expression
pr2ne	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))

Proof of Theorem pr2ne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq2 4625	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
2	1	eqcoms 2746	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
3		enpr1g 8622	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴, 𝐴} ≈ 1o)
4		entr 8607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ≈ {𝐴, 𝐴} ∧ {𝐴, 𝐴} ≈ 1o) → {𝐴, 𝐵} ≈ 1o)
5		1sdom2 8796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1o ≺ 2o
6		sdomnen 8584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1o ≺ 2o → ¬ 1o ≈ 2o)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 1o ≈ 2o
8		ensym 8604	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 1o → 1o ≈ {𝐴, 𝐵})
9		entr 8607	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1o ≈ {𝐴, 𝐵} ∧ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o) → 1o ≈ 2o)
10	9	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1o ≈ {𝐴, 𝐵} → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → 1o ≈ 2o))
11	8, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 1o → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → 1o ≈ 2o))
12	7, 11	mtoi 202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 1o → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
13	12	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 1o → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
14	4, 13	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ≈ {𝐴, 𝐴} ∧ {𝐴, 𝐴} ≈ 1o) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
15	14	ex 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ {𝐴, 𝐴} → ({𝐴, 𝐴} ≈ 1o → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)))
16		prex 5299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
17		eqeng 8589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ V → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → {𝐴, 𝐵} ≈ {𝐴, 𝐴}))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → {𝐴, 𝐵} ≈ {𝐴, 𝐴})
19	15, 18	syl11 33	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴, 𝐴} ≈ 1o → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)))
20	19	a1dd 50	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴, 𝐴} ≈ 1o → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → (𝐵 ∈ 𝐷 → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))))
21	3, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → (𝐵 ∈ 𝐷 → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))))
22	21	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐷 → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))))
23	22	imp 410	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)))
24	23	pm2.43a 54	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
25	2, 24	syl5 34	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴 = 𝐵 → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
26	25	necon2ad 2949	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → 𝐴 ≠ 𝐵))
27		pr2nelem 9504	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
28	27	3expia 1122	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴 ≠ 𝐵 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
29	26, 28	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2934  Vcvv 3398  {cpr 4518   class class class wbr 5030  1_oc1o 8124  2_oc2o 8125   ≈ cen 8552   ≺ csdm 8554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-om 7600  df-1o 8131  df-2o 8132  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558

This theorem is referenced by:  prdom2  9506  isprm2lem  16122  pmtrrn2  18706  mdetunilem7  21369  trsp2cyc  30967  en2pr  40699  pr2cv  40700  pren2  40705