Theorem pr2ne 9913

Description: If an unordered pair has two elements, then they are different. (Contributed by FL, 14-Feb-2010.) Avoid ax-pow 5308, ax-un 7678. (Revised by BTernaryTau, 30-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pr2ne	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))

Proof of Theorem pr2ne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snnen2o 9143	. . . 4 ⊢ ¬ {𝐴} ≈ 2o
2		dfsn2 4591	. . . . . 6 ⊢ {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
3		preq2 4689	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐴} = {𝐴, 𝐵})
4	2, 3	eqtr2id 2782	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
5	4	breq1d 5106	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ {𝐴} ≈ 2o))
6	1, 5	mtbiri 327	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
7	6	necon2ai 2959	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → 𝐴 ≠ 𝐵)
8		enpr2 9912	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
9	8	3expia 1121	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴 ≠ 𝐵 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
10	7, 9	impbid2 226	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  {csn 4578  {cpr 4580   class class class wbr 5096  2_oc2o 8389   ≈ cen 8878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-1o 8395  df-2o 8396  df-en 8882

This theorem is referenced by:  prdom2  9914  isprm2lem  16606  pmtrrn2  19387  mdetunilem7  22560  trsp2cyc  33154  en2pr  43730  pr2cv  43731  pren2  43736