Theorem pr2ne 9761

Description: If an unordered pair has two elements they are different. (Contributed by FL, 14-Feb-2010.)

Assertion

Ref	Expression
pr2ne	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))

Proof of Theorem pr2ne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq2 4670	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
2	1	eqcoms 2746	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
3		enpr1g 8810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴, 𝐴} ≈ 1o)
4		entr 8792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ≈ {𝐴, 𝐴} ∧ {𝐴, 𝐴} ≈ 1o) → {𝐴, 𝐵} ≈ 1o)
5		1sdom2 9021	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1o ≺ 2o
6		sdomnen 8769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1o ≺ 2o → ¬ 1o ≈ 2o)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 1o ≈ 2o
8		ensym 8789	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 1o → 1o ≈ {𝐴, 𝐵})
9		entr 8792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1o ≈ {𝐴, 𝐵} ∧ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o) → 1o ≈ 2o)
10	9	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1o ≈ {𝐴, 𝐵} → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → 1o ≈ 2o))
11	8, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 1o → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → 1o ≈ 2o))
12	7, 11	mtoi 198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 1o → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
13	12	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 1o → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
14	4, 13	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ≈ {𝐴, 𝐴} ∧ {𝐴, 𝐴} ≈ 1o) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
15	14	ex 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ {𝐴, 𝐴} → ({𝐴, 𝐴} ≈ 1o → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)))
16		prex 5355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
17		eqeng 8774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ V → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → {𝐴, 𝐵} ≈ {𝐴, 𝐴}))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → {𝐴, 𝐵} ≈ {𝐴, 𝐴})
19	15, 18	syl11 33	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴, 𝐴} ≈ 1o → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)))
20	19	a1dd 50	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴, 𝐴} ≈ 1o → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → (𝐵 ∈ 𝐷 → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))))
21	3, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → (𝐵 ∈ 𝐷 → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))))
22	21	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐷 → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))))
23	22	imp 407	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)))
24	23	pm2.43a 54	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
25	2, 24	syl5 34	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴 = 𝐵 → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
26	25	necon2ad 2958	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → 𝐴 ≠ 𝐵))
27		pr2nelem 9760	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
28	27	3expia 1120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴 ≠ 𝐵 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
29	26, 28	impbid 211	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3432  {cpr 4563   class class class wbr 5074  1_oc1o 8290  2_oc2o 8291   ≈ cen 8730   ≺ csdm 8732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-om 7713  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737

This theorem is referenced by:  prdom2  9762  isprm2lem  16386  pmtrrn2  19068  mdetunilem7  21767  trsp2cyc  31390  en2pr  41154  pr2cv  41155  pren2  41160