Theorem pr2ne 9929

Description: If an unordered pair has two elements, then they are different. (Contributed by FL, 14-Feb-2010.) Avoid ax-pow 5314, ax-un 7692. (Revised by BTernaryTau, 30-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pr2ne	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))

Proof of Theorem pr2ne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snnen2o 9159	. . . 4 ⊢ ¬ {𝐴} ≈ 2o
2		dfsn2 4595	. . . . . 6 ⊢ {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
3		preq2 4693	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐴} = {𝐴, 𝐵})
4	2, 3	eqtr2id 2785	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
5	4	breq1d 5110	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ {𝐴} ≈ 2o))
6	1, 5	mtbiri 327	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
7	6	necon2ai 2962	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → 𝐴 ≠ 𝐵)
8		enpr2 9928	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
9	8	3expia 1122	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴 ≠ 𝐵 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
10	7, 9	impbid2 226	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {csn 4582  {cpr 4584   class class class wbr 5100  2_oc2o 8403   ≈ cen 8894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5381

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-1o 8409  df-2o 8410  df-en 8898

This theorem is referenced by:  prdom2  9930  isprm2lem  16622  pmtrrn2  19406  mdetunilem7  22579  trsp2cyc  33223  en2pr  43932  pr2cv  43933  pren2  43938