Theorem pr2ne 9899

Description: If an unordered pair has two elements, then they are different. (Contributed by FL, 14-Feb-2010.) Avoid ax-pow 5304, ax-un 7671. (Revised by BTernaryTau, 30-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pr2ne	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))

Proof of Theorem pr2ne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snnen2o 9134	. . . 4 ⊢ ¬ {𝐴} ≈ 2o
2		dfsn2 4590	. . . . . 6 ⊢ {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
3		preq2 4686	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐴} = {𝐴, 𝐵})
4	2, 3	eqtr2id 2777	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
5	4	breq1d 5102	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ {𝐴} ≈ 2o))
6	1, 5	mtbiri 327	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
7	6	necon2ai 2954	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → 𝐴 ≠ 𝐵)
8		enpr2 9898	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
9	8	3expia 1121	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴 ≠ 𝐵 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
10	7, 9	impbid2 226	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {csn 4577  {cpr 4579   class class class wbr 5092  2_oc2o 8382   ≈ cen 8869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-1o 8388  df-2o 8389  df-en 8873

This theorem is referenced by:  prdom2  9900  isprm2lem  16592  pmtrrn2  19339  mdetunilem7  22503  trsp2cyc  33066  en2pr  43530  pr2cv  43531  pren2  43536