Theorem pr2ne 9992

Description: If an unordered pair has two elements, then they are different. (Contributed by FL, 14-Feb-2010.) Avoid ax-pow 5340, ax-un 7736. (Revised by BTernaryTau, 30-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pr2ne	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))

Proof of Theorem pr2ne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snnen2o 9208	. . . 4 ⊢ ¬ {𝐴} ≈ 2o
2		dfsn2 4607	. . . . . 6 ⊢ {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
3		preq2 4705	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐴} = {𝐴, 𝐵})
4	2, 3	eqtr2id 2818	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
5	4	breq1d 5124	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ {𝐴} ≈ 2o))
6	1, 5	mtbiri 330	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
7	6	necon2ai 2994	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → 𝐴 ≠ 𝐵)
8		enpr2 9991	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
9	8	3expia 1137	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴 ≠ 𝐵 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
10	7, 9	impbid2 229	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2150   ≠ wne 2965  {csn 4594  {cpr 4596   class class class wbr 5114  2_oc2o 8450   ≈ cen 8943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5408

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-ne 2966  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rab 3424  df-v 3464  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-id 5560  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-1o 8456  df-2o 8457  df-en 8947

This theorem is referenced by:  prdom2  9993  isprm2lem  16742  pmtrrn2  19533  mdetunilem7  22758  trsp2cyc  33413  en2pr  44225  pr2cv  44226  pren2  44231