Theorem isprm2lem 16641

Description: Lemma for isprm2 16642. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
isprm2lem	⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃}))

Distinct variable group:   𝑃,𝑛

Proof of Theorem isprm2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → 𝑃 ≠ 1)
2	1	necomd 2988	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → 1 ≠ 𝑃)
3		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o)
4		nnz 12536	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
5		1dvds 16230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑃)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 1 ∥ 𝑃)
7	6	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → 1 ∥ 𝑃)
8		1nn 12176	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
9		breq1 5089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 ∥ 𝑃 ↔ 1 ∥ 𝑃))
10	9	elrab3 3636	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℕ → (1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ↔ 1 ∥ 𝑃))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ↔ 1 ∥ 𝑃)
12	7, 11	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → 1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃})
13		iddvds 16229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∥ 𝑃)
14	4, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∥ 𝑃)
15	14	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → 𝑃 ∥ 𝑃)
16		breq1 5089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑃 → (𝑛 ∥ 𝑃 ↔ 𝑃 ∥ 𝑃))
17	16	elrab3 3636	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ↔ 𝑃 ∥ 𝑃))
18	17	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → (𝑃 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ↔ 𝑃 ∥ 𝑃))
19	15, 18	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → 𝑃 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃})
20		en2eqpr 9920	. . . . 5 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o ∧ 1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ∧ 𝑃 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃}) → (1 ≠ 𝑃 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃}))
21	3, 12, 19, 20	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → (1 ≠ 𝑃 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃}))
22	2, 21	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃})
23	22	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃}))
24		necom 2986	. . . 4 ⊢ (1 ≠ 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 1)
25		pr2ne 9918	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ({1, 𝑃} ≈ 2o ↔ 1 ≠ 𝑃))
26	8, 25	mpan 691	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ({1, 𝑃} ≈ 2o ↔ 1 ≠ 𝑃))
27	26	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 ≠ 𝑃) → {1, 𝑃} ≈ 2o)
28	24, 27	sylan2br 596	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → {1, 𝑃} ≈ 2o)
29		breq1 5089	. . 3 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃} → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o ↔ {1, 𝑃} ≈ 2o))
30	28, 29	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃} → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o))
31	23, 30	impbid 212	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3390  {cpr 4570   class class class wbr 5086  2_oc2o 8392   ≈ cen 8883  1c1 11030  ℕcn 12165  ℤcz 12515   ∥ cdvds 16212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-neg 11371  df-nn 12166  df-z 12516  df-dvds 16213

This theorem is referenced by:  isprm2  16642