Theorem isprm2lem 16658

Description: Lemma for isprm2 16659. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
isprm2lem	⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃}))

Distinct variable group:   𝑃,𝑛

Proof of Theorem isprm2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → 𝑃 ≠ 1)
2	1	necomd 2981	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → 1 ≠ 𝑃)
3		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o)
4		nnz 12557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
5		1dvds 16247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑃)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 1 ∥ 𝑃)
7	6	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → 1 ∥ 𝑃)
8		1nn 12204	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
9		breq1 5113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 ∥ 𝑃 ↔ 1 ∥ 𝑃))
10	9	elrab3 3663	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℕ → (1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ↔ 1 ∥ 𝑃))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ↔ 1 ∥ 𝑃)
12	7, 11	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → 1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃})
13		iddvds 16246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∥ 𝑃)
14	4, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∥ 𝑃)
15	14	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → 𝑃 ∥ 𝑃)
16		breq1 5113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑃 → (𝑛 ∥ 𝑃 ↔ 𝑃 ∥ 𝑃))
17	16	elrab3 3663	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ↔ 𝑃 ∥ 𝑃))
18	17	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → (𝑃 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ↔ 𝑃 ∥ 𝑃))
19	15, 18	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → 𝑃 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃})
20		en2eqpr 9967	. . . . 5 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o ∧ 1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ∧ 𝑃 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃}) → (1 ≠ 𝑃 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃}))
21	3, 12, 19, 20	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → (1 ≠ 𝑃 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃}))
22	2, 21	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃})
23	22	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃}))
24		necom 2979	. . . 4 ⊢ (1 ≠ 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 1)
25		pr2ne 9964	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ({1, 𝑃} ≈ 2o ↔ 1 ≠ 𝑃))
26	8, 25	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ({1, 𝑃} ≈ 2o ↔ 1 ≠ 𝑃))
27	26	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 ≠ 𝑃) → {1, 𝑃} ≈ 2o)
28	24, 27	sylan2br 595	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → {1, 𝑃} ≈ 2o)
29		breq1 5113	. . 3 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃} → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o ↔ {1, 𝑃} ≈ 2o))
30	28, 29	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃} → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o))
31	23, 30	impbid 212	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  {crab 3408  {cpr 4594   class class class wbr 5110  2_oc2o 8431   ≈ cen 8918  1c1 11076  ℕcn 12193  ℤcz 12536   ∥ cdvds 16229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-neg 11415  df-nn 12194  df-z 12537  df-dvds 16230

This theorem is referenced by:  isprm2  16659