MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isprm2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isprm2lem 16562
Description: Lemma for isprm2 16563. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
isprm2lem ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃}))
Distinct variable group:   𝑃,𝑛

Proof of Theorem isprm2lem
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o) → 𝑃 ≠ 1)
21necomd 2996 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o) → 1 ≠ 𝑃)
3 simpr 486 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o)
4 nnz 12525 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
5 1dvds 16158 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑃)
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → 1 ∥ 𝑃)
76ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o) → 1 ∥ 𝑃)
8 1nn 12169 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
9 breq1 5109 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → (𝑛𝑃 ↔ 1 ∥ 𝑃))
109elrab3 3647 . . . . . . 7 (1 ∈ ℕ → (1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ↔ 1 ∥ 𝑃))
118, 10ax-mp 5 . . . . . 6 (1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ↔ 1 ∥ 𝑃)
127, 11sylibr 233 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o) → 1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃})
13 iddvds 16157 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃𝑃)
144, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃𝑃)
1514ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o) → 𝑃𝑃)
16 breq1 5109 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑃 → (𝑛𝑃𝑃𝑃))
1716elrab3 3647 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ↔ 𝑃𝑃))
1817ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o) → (𝑃 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ↔ 𝑃𝑃))
1915, 18mpbird 257 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o) → 𝑃 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃})
20 en2eqpr 9948 . . . . 5 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o ∧ 1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ∧ 𝑃 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃}) → (1 ≠ 𝑃 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃}))
213, 12, 19, 20syl3anc 1372 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o) → (1 ≠ 𝑃 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃}))
222, 21mpd 15 . . 3 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃})
2322ex 414 . 2 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃}))
24 necom 2994 . . . 4 (1 ≠ 𝑃𝑃 ≠ 1)
25 pr2ne 9945 . . . . . 6 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ({1, 𝑃} ≈ 2o ↔ 1 ≠ 𝑃))
268, 25mpan 689 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℕ → ({1, 𝑃} ≈ 2o ↔ 1 ≠ 𝑃))
2726biimpar 479 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 ≠ 𝑃) → {1, 𝑃} ≈ 2o)
2824, 27sylan2br 596 . . 3 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → {1, 𝑃} ≈ 2o)
29 breq1 5109 . . 3 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃} → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o ↔ {1, 𝑃} ≈ 2o))
3028, 29syl5ibrcom 247 . 2 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃} → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o))
3123, 30impbid 211 1 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  {crab 3406  {cpr 4589   class class class wbr 5106  2oc2o 8407  cen 8883  1c1 11057  cn 12158  cz 12504  cdvds 16141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-neg 11393  df-nn 12159  df-z 12505  df-dvds 16142
This theorem is referenced by:  isprm2  16563
  Copyright terms: Public domain W3C validator