Theorem isprm2lem 16729

Description: Lemma for isprm2 16730. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
isprm2lem	⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃}))

Distinct variable group:   𝑃,𝑛

Proof of Theorem isprm2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 780	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → 𝑃 ≠ 1)
2	1	necomd 3015	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → 1 ≠ 𝑃)
3		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o)
4		nnz 12603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
5		1dvds 16318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑃)
6	4, 5	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 1 ∥ 𝑃)
7	6	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → 1 ∥ 𝑃)
8		1nn 12235	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
9		breq1 5108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 ∥ 𝑃 ↔ 1 ∥ 𝑃))
10	9	elrab3 3654	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℕ → (1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ↔ 1 ∥ 𝑃))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ↔ 1 ∥ 𝑃)
12	7, 11	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → 1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃})
13		iddvds 16317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∥ 𝑃)
14	4, 13	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∥ 𝑃)
15	14	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → 𝑃 ∥ 𝑃)
16		breq1 5108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑃 → (𝑛 ∥ 𝑃 ↔ 𝑃 ∥ 𝑃))
17	16	elrab3 3654	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ↔ 𝑃 ∥ 𝑃))
18	17	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → (𝑃 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ↔ 𝑃 ∥ 𝑃))
19	15, 18	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → 𝑃 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃})
20		en2eqpr 9979	. . . . 5 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o ∧ 1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ∧ 𝑃 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃}) → (1 ≠ 𝑃 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃}))
21	3, 12, 19, 20	syl3anc 1394	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → (1 ≠ 𝑃 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃}))
22	2, 21	mpd 16	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃})
23	22	ex 417	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃}))
24		necom 3013	. . . 4 ⊢ (1 ≠ 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 1)
25		pr2ne 9977	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ({1, 𝑃} ≈ 2o ↔ 1 ≠ 𝑃))
26	8, 25	mpan 702	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ({1, 𝑃} ≈ 2o ↔ 1 ≠ 𝑃))
27	26	biimpar 482	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 ≠ 𝑃) → {1, 𝑃} ≈ 2o)
28	24, 27	sylan2br 606	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → {1, 𝑃} ≈ 2o)
29		breq1 5108	. . 3 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃} → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o ↔ {1, 𝑃} ≈ 2o))
30	28, 29	syl5ibrcom 250	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃} → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o))
31	23, 30	impbid 215	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  {crab 3417  {cpr 4587   class class class wbr 5105  2_oc2o 8435   ≈ cen 8928  1c1 11089  ℕcn 12224  ℤcz 12582   ∥ cdvds 16300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-neg 11432  df-nn 12225  df-z 12583  df-dvds 16301

This theorem is referenced by:  isprm2  16730