Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isprm2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isprm2lem 16019
 Description: Lemma for isprm2 16020. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
isprm2lem ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃}))
Distinct variable group:   𝑃,𝑛

Proof of Theorem isprm2lem
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o) → 𝑃 ≠ 1)
21necomd 3045 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o) → 1 ≠ 𝑃)
3 simpr 488 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o)
4 nnz 11996 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
5 1dvds 15620 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑃)
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → 1 ∥ 𝑃)
76ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o) → 1 ∥ 𝑃)
8 1nn 11640 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
9 breq1 5036 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → (𝑛𝑃 ↔ 1 ∥ 𝑃))
109elrab3 3632 . . . . . . 7 (1 ∈ ℕ → (1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ↔ 1 ∥ 𝑃))
118, 10ax-mp 5 . . . . . 6 (1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ↔ 1 ∥ 𝑃)
127, 11sylibr 237 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o) → 1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃})
13 iddvds 15619 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃𝑃)
144, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃𝑃)
1514ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o) → 𝑃𝑃)
16 breq1 5036 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑃 → (𝑛𝑃𝑃𝑃))
1716elrab3 3632 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ↔ 𝑃𝑃))
1817ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o) → (𝑃 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ↔ 𝑃𝑃))
1915, 18mpbird 260 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o) → 𝑃 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃})
20 en2eqpr 9422 . . . . 5 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o ∧ 1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ∧ 𝑃 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃}) → (1 ≠ 𝑃 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃}))
213, 12, 19, 20syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o) → (1 ≠ 𝑃 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃}))
222, 21mpd 15 . . 3 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃})
2322ex 416 . 2 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃}))
24 necom 3043 . . . 4 (1 ≠ 𝑃𝑃 ≠ 1)
25 pr2ne 9420 . . . . . 6 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ({1, 𝑃} ≈ 2o ↔ 1 ≠ 𝑃))
268, 25mpan 689 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℕ → ({1, 𝑃} ≈ 2o ↔ 1 ≠ 𝑃))
2726biimpar 481 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 ≠ 𝑃) → {1, 𝑃} ≈ 2o)
2824, 27sylan2br 597 . . 3 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → {1, 𝑃} ≈ 2o)
29 breq1 5036 . . 3 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃} → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o ↔ {1, 𝑃} ≈ 2o))
3028, 29syl5ibrcom 250 . 2 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃} → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o))
3123, 30impbid 215 1 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  {crab 3113  {cpr 4530   class class class wbr 5033  2oc2o 8083   ≈ cen 8493  1c1 10531  ℕcn 11629  ℤcz 11973   ∥ cdvds 15603 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-neg 10866  df-nn 11630  df-z 11974  df-dvds 15604 This theorem is referenced by:  isprm2  16020
 Copyright terms: Public domain W3C validator