Theorem en2pr 43992

Description: A class is equinumerous to ordinal two iff it is a pair of distinct sets. (Contributed by RP, 11-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
en2pr	⊢ (𝐴 ≈ 2o ↔ ∃𝑥∃𝑦(𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem en2pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2 9183	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 2o → ∃𝑥∃𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦})
2	1	pm4.71ri 560	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 2o ↔ (∃𝑥∃𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐴 ≈ 2o))
3		19.41vv 1952	. 2 ⊢ (∃𝑥∃𝑦(𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐴 ≈ 2o) ↔ (∃𝑥∃𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐴 ≈ 2o))
4		breq1 5089	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑥, 𝑦} → (𝐴 ≈ 2o ↔ {𝑥, 𝑦} ≈ 2o))
5		pr2ne 9918	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o ↔ 𝑥 ≠ 𝑦))
6	5	el2v 3437	. . . . 5 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o ↔ 𝑥 ≠ 𝑦)
7	4, 6	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (𝐴 = {𝑥, 𝑦} → (𝐴 ≈ 2o ↔ 𝑥 ≠ 𝑦))
8	7	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ ((𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐴 ≈ 2o) ↔ (𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
9	8	2exbii 1851	. 2 ⊢ (∃𝑥∃𝑦(𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐴 ≈ 2o) ↔ ∃𝑥∃𝑦(𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
10	2, 3, 9	3bitr2i 299	1 ⊢ (𝐴 ≈ 2o ↔ ∃𝑥∃𝑦(𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ≠ wne 2933  Vcvv 3430  {cpr 4570   class class class wbr 5086  2_oc2o 8392   ≈ cen 8883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-1o 8398  df-2o 8399  df-en 8887

This theorem is referenced by: (None)