Theorem en2pr 44135

Description: A class is equinumerous to ordinal two iff it is a pair of distinct sets. (Contributed by RP, 11-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
en2pr	⊢ (𝐴 ≈ 2o ↔ ∃𝑥∃𝑦(𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem en2pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2 9228	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 2o → ∃𝑥∃𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦})
2	1	pm4.71ri 569	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 2o ↔ (∃𝑥∃𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐴 ≈ 2o))
3		19.41vv 1973	. 2 ⊢ (∃𝑥∃𝑦(𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐴 ≈ 2o) ↔ (∃𝑥∃𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐴 ≈ 2o))
4		breq1 5108	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑥, 𝑦} → (𝐴 ≈ 2o ↔ {𝑥, 𝑦} ≈ 2o))
5		pr2ne 9977	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o ↔ 𝑥 ≠ 𝑦))
6	5	el2v 3464	. . . . 5 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o ↔ 𝑥 ≠ 𝑦)
7	4, 6	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ (𝐴 = {𝑥, 𝑦} → (𝐴 ≈ 2o ↔ 𝑥 ≠ 𝑦))
8	7	pm5.32i 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐴 ≈ 2o) ↔ (𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
9	8	2exbii 1872	. 2 ⊢ (∃𝑥∃𝑦(𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐴 ≈ 2o) ↔ ∃𝑥∃𝑦(𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
10	2, 3, 9	3bitr2i 302	1 ⊢ (𝐴 ≈ 2o ↔ ∃𝑥∃𝑦(𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563  ∃wex 1802   ≠ wne 2960  Vcvv 3457  {cpr 4587   class class class wbr 5105  2_oc2o 8435   ≈ cen 8928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-ord 6353  df-on 6354  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-1o 8441  df-2o 8442  df-en 8932

This theorem is referenced by: (None)