Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  en2pr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en2pr 43008
Description: A class is equinumerous to ordinal two iff it is a pair of distinct sets. (Contributed by RP, 11-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
en2pr (𝐴 ≈ 2o ↔ ∃𝑥𝑦(𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑥𝑦))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem en2pr
StepHypRef Expression
1 en2 9312 . . 3 (𝐴 ≈ 2o → ∃𝑥𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦})
21pm4.71ri 559 . 2 (𝐴 ≈ 2o ↔ (∃𝑥𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐴 ≈ 2o))
3 19.41vv 1946 . 2 (∃𝑥𝑦(𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐴 ≈ 2o) ↔ (∃𝑥𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐴 ≈ 2o))
4 breq1 5155 . . . . 5 (𝐴 = {𝑥, 𝑦} → (𝐴 ≈ 2o ↔ {𝑥, 𝑦} ≈ 2o))
5 pr2ne 10035 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝑥𝑦))
65el2v 3481 . . . . 5 ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝑥𝑦)
74, 6bitrdi 286 . . . 4 (𝐴 = {𝑥, 𝑦} → (𝐴 ≈ 2o𝑥𝑦))
87pm5.32i 573 . . 3 ((𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐴 ≈ 2o) ↔ (𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑥𝑦))
982exbii 1843 . 2 (∃𝑥𝑦(𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐴 ≈ 2o) ↔ ∃𝑥𝑦(𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑥𝑦))
102, 3, 93bitr2i 298 1 (𝐴 ≈ 2o ↔ ∃𝑥𝑦(𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑥𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wex 1773  wne 2937  Vcvv 3473  {cpr 4634   class class class wbr 5152  2oc2o 8487  cen 8967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-1o 8493  df-2o 8494  df-en 8971
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator