Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  en2pr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en2pr 40838
Description: A class is equinumerous to ordinal two iff it is a pair of distinct sets. (Contributed by RP, 11-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
en2pr (𝐴 ≈ 2o ↔ ∃𝑥𝑦(𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑥𝑦))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem en2pr
StepHypRef Expression
1 en2 8915 . . 3 (𝐴 ≈ 2o → ∃𝑥𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦})
21pm4.71ri 564 . 2 (𝐴 ≈ 2o ↔ (∃𝑥𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐴 ≈ 2o))
3 19.41vv 1959 . 2 (∃𝑥𝑦(𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐴 ≈ 2o) ↔ (∃𝑥𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐴 ≈ 2o))
4 breq1 5061 . . . . 5 (𝐴 = {𝑥, 𝑦} → (𝐴 ≈ 2o ↔ {𝑥, 𝑦} ≈ 2o))
5 pr2ne 9624 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝑥𝑦))
65el2v 3421 . . . . 5 ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝑥𝑦)
74, 6bitrdi 290 . . . 4 (𝐴 = {𝑥, 𝑦} → (𝐴 ≈ 2o𝑥𝑦))
87pm5.32i 578 . . 3 ((𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐴 ≈ 2o) ↔ (𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑥𝑦))
982exbii 1856 . 2 (∃𝑥𝑦(𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐴 ≈ 2o) ↔ ∃𝑥𝑦(𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑥𝑦))
102, 3, 93bitr2i 302 1 (𝐴 ≈ 2o ↔ ∃𝑥𝑦(𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑥𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wex 1787  wne 2940  Vcvv 3413  {cpr 4548   class class class wbr 5058  2oc2o 8201  cen 8628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5197  ax-nul 5204  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7528
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3415  df-sbc 3700  df-csb 3817  df-dif 3874  df-un 3876  df-in 3878  df-ss 3888  df-pss 3890  df-nul 4243  df-if 4445  df-pw 4520  df-sn 4547  df-pr 4549  df-tp 4551  df-op 4553  df-uni 4825  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5141  df-tr 5167  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5562  df-rel 5563  df-cnv 5564  df-co 5565  df-dm 5566  df-rn 5567  df-res 5568  df-ima 5569  df-ord 6221  df-on 6222  df-lim 6223  df-suc 6224  df-iota 6343  df-fun 6387  df-fn 6388  df-f 6389  df-f1 6390  df-fo 6391  df-f1o 6392  df-fv 6393  df-om 7650  df-1o 8207  df-2o 8208  df-er 8396  df-en 8632  df-dom 8633  df-sdom 8634
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator