Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  en2pr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en2pr 40093
Description: A class is equinumerous to ordinal two iff it is a pair of distinct sets. (Contributed by RP, 11-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
en2pr (𝐴 ≈ 2o ↔ ∃𝑥𝑦(𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑥𝑦))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem en2pr
StepHypRef Expression
1 en2 8740 . . 3 (𝐴 ≈ 2o → ∃𝑥𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦})
21pm4.71ri 564 . 2 (𝐴 ≈ 2o ↔ (∃𝑥𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐴 ≈ 2o))
3 19.41vv 1952 . 2 (∃𝑥𝑦(𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐴 ≈ 2o) ↔ (∃𝑥𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐴 ≈ 2o))
4 breq1 5052 . . . . 5 (𝐴 = {𝑥, 𝑦} → (𝐴 ≈ 2o ↔ {𝑥, 𝑦} ≈ 2o))
5 pr2ne 9418 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝑥𝑦))
65el2v 3486 . . . . 5 ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝑥𝑦)
74, 6syl6bb 290 . . . 4 (𝐴 = {𝑥, 𝑦} → (𝐴 ≈ 2o𝑥𝑦))
87pm5.32i 578 . . 3 ((𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐴 ≈ 2o) ↔ (𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑥𝑦))
982exbii 1850 . 2 (∃𝑥𝑦(𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐴 ≈ 2o) ↔ ∃𝑥𝑦(𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑥𝑦))
102, 3, 93bitr2i 302 1 (𝐴 ≈ 2o ↔ ∃𝑥𝑦(𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑥𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wex 1781  wne 3013  Vcvv 3479  {cpr 4550   class class class wbr 5049  2oc2o 8081  cen 8491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-br 5050  df-opab 5112  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-om 7566  df-1o 8087  df-2o 8088  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator