Theorem en2pr 44253

Description: A class is equinumerous to ordinal two iff it is a pair of distinct sets. (Contributed by RP, 11-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
en2pr	⊢ (𝐴 ≈ 2o ↔ ∃𝑥∃𝑦(𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem en2pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2 9241	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 2o → ∃𝑥∃𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦})
2	1	pm4.71ri 569	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 2o ↔ (∃𝑥∃𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐴 ≈ 2o))
3		19.41vv 1980	. 2 ⊢ (∃𝑥∃𝑦(𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐴 ≈ 2o) ↔ (∃𝑥∃𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐴 ≈ 2o))
4		breq1 5113	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑥, 𝑦} → (𝐴 ≈ 2o ↔ {𝑥, 𝑦} ≈ 2o))
5		pr2ne 9990	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o ↔ 𝑥 ≠ 𝑦))
6	5	el2v 3462	. . . . 5 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o ↔ 𝑥 ≠ 𝑦)
7	4, 6	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ (𝐴 = {𝑥, 𝑦} → (𝐴 ≈ 2o ↔ 𝑥 ≠ 𝑦))
8	7	pm5.32i 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐴 ≈ 2o) ↔ (𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
9	8	2exbii 1879	. 2 ⊢ (∃𝑥∃𝑦(𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝐴 ≈ 2o) ↔ ∃𝑥∃𝑦(𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
10	2, 3, 9	3bitr2i 302	1 ⊢ (𝐴 ≈ 2o ↔ ∃𝑥∃𝑦(𝐴 = {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570  ∃wex 1809   ≠ wne 2958  Vcvv 3455  {cpr 4592   class class class wbr 5110  2_oc2o 8448   ≈ cen 8941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-1o 8454  df-2o 8455  df-en 8945

This theorem is referenced by: (None)