Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trsp2cyc Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem trsp2cyc 32788
Description: Exhibit the word a transposition corresponds to, as a cycle. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
trsp2cyc.t 𝑇 = ran (pmTrspβ€˜π·)
trsp2cyc.c 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
trsp2cyc ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐷 βˆƒπ‘— ∈ 𝐷 (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑖,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑇,𝑖,𝑗   𝑖,𝑉,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑖,𝑗)
Proof of Theorem trsp2cyc
Dummy variables 𝑝 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 766 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o})
2 breq1 5144 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑝 β†’ (𝑦 β‰ˆ 2o ↔ 𝑝 β‰ˆ 2o))
32elrab 3678 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 𝐷 ∧ 𝑝 β‰ˆ 2o))
41, 3sylib 217 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ (𝑝 ∈ 𝒫 𝐷 ∧ 𝑝 β‰ˆ 2o))
54simprd 495 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ 𝑝 β‰ˆ 2o)
6 en2 9283 . . . . 5 (𝑝 β‰ˆ 2o β†’ βˆƒπ‘–βˆƒπ‘— 𝑝 = {𝑖, 𝑗})
75, 6syl 17 . . . 4 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ βˆƒπ‘–βˆƒπ‘— 𝑝 = {𝑖, 𝑗})
84simpld 494 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ 𝒫 𝐷)
98elpwid 4606 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ 𝑝 βŠ† 𝐷)
109adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑝 βŠ† 𝐷)
11 vex 3472 . . . . . . . . . 10 𝑖 ∈ V
1211prid1 4761 . . . . . . . . 9 𝑖 ∈ {𝑖, 𝑗}
13 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑝 = {𝑖, 𝑗})
1412, 13eleqtrrid 2834 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑖 ∈ 𝑝)
1510, 14sseldd 3978 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑖 ∈ 𝐷)
16 vex 3472 . . . . . . . . . 10 𝑗 ∈ V
1716prid2 4762 . . . . . . . . 9 𝑗 ∈ {𝑖, 𝑗}
1817, 13eleqtrrid 2834 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑗 ∈ 𝑝)
1910, 18sseldd 3978 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑗 ∈ 𝐷)
205adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑝 β‰ˆ 2o)
2113, 20eqbrtrrd 5165 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ {𝑖, 𝑗} β‰ˆ 2o)
22 pr2ne 10001 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) β†’ ({𝑖, 𝑗} β‰ˆ 2o ↔ 𝑖 β‰  𝑗))
2322biimpa 476 . . . . . . . . 9 (((𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ {𝑖, 𝑗} β‰ˆ 2o) β†’ 𝑖 β‰  𝑗)
2415, 19, 21, 23syl21anc 835 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑖 β‰  𝑗)
25 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧)))
26 simp-4l 780 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
27 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (pmTrspβ€˜π·) = (pmTrspβ€˜π·)
2827pmtrval 19371 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑝 βŠ† 𝐷 ∧ 𝑝 β‰ˆ 2o) β†’ ((pmTrspβ€˜π·)β€˜π‘) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧)))
2926, 10, 20, 28syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ ((pmTrspβ€˜π·)β€˜π‘) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧)))
3013fveq2d 6889 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ ((pmTrspβ€˜π·)β€˜π‘) = ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝑖, 𝑗}))
3125, 29, 303eqtr2d 2772 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑃 = ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝑖, 𝑗}))
32 trsp2cyc.c . . . . . . . . . 10 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
3332, 26, 15, 19, 24, 27cycpm2tr 32784 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©) = ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝑖, 𝑗}))
3431, 33eqtr4d 2769 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©))
3524, 34jca 511 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©)))
3615, 19, 35jca31 514 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©))))
3736ex 412 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ (𝑝 = {𝑖, 𝑗} β†’ ((𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©)))))
38372eximdv 1914 . . . 4 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ (βˆƒπ‘–βˆƒπ‘— 𝑝 = {𝑖, 𝑗} β†’ βˆƒπ‘–βˆƒπ‘—((𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©)))))
397, 38mpd 15 . . 3 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ βˆƒπ‘–βˆƒπ‘—((𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©))))
40 r2ex 3189 . . 3 (βˆƒπ‘– ∈ 𝐷 βˆƒπ‘— ∈ 𝐷 (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©)) ↔ βˆƒπ‘–βˆƒπ‘—((𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©))))
4139, 40sylibr 233 . 2 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐷 βˆƒπ‘— ∈ 𝐷 (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©)))
42 simpr 484 . . . 4 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) β†’ 𝑃 ∈ 𝑇)
43 trsp2cyc.t . . . . 5 𝑇 = ran (pmTrspβ€˜π·)
4427pmtrfval 19370 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ (pmTrspβ€˜π·) = (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))))
4544adantr 480 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) β†’ (pmTrspβ€˜π·) = (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))))
4645rneqd 5931 . . . . 5 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) β†’ ran (pmTrspβ€˜π·) = ran (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))))
4743, 46eqtrid 2778 . . . 4 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) β†’ 𝑇 = ran (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))))
4842, 47eleqtrd 2829 . . 3 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) β†’ 𝑃 ∈ ran (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))))
49 eqid 2726 . . . . 5 (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) = (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧)))
5049elrnmpt 5949 . . . 4 (𝑃 ∈ 𝑇 β†’ (𝑃 ∈ ran (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ↔ βˆƒπ‘ ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))))
5150adantl 481 . . 3 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) β†’ (𝑃 ∈ ran (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ↔ βˆƒπ‘ ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))))
5248, 51mpbid 231 . 2 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) β†’ βˆƒπ‘ ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧)))
5341, 52r19.29a 3156 1 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐷 βˆƒπ‘— ∈ 𝐷 (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064  {crab 3426   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  ifcif 4523  π’« cpw 4597  {csn 4623  {cpr 4625  βˆͺ cuni 4902   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ran crn 5670  β€˜cfv 6537  2oc2o 8461   β‰ˆ cen 8938  βŸ¨β€œcs2 14798  pmTrspcpmtr 19361  toCycctocyc 32771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-hash 14296  df-word 14471  df-concat 14527  df-s1 14552  df-substr 14597  df-pfx 14627  df-csh 14745  df-s2 14805  df-pmtr 19362  df-tocyc 32772
This theorem is referenced by:  cyc3genpm  32817
  Copyright terms: Public domain W3C validator