Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trsp2cyc Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem trsp2cyc 32889
Description: Exhibit the word a transposition corresponds to, as a cycle. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
trsp2cyc.t 𝑇 = ran (pmTrspβ€˜π·)
trsp2cyc.c 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
trsp2cyc ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐷 βˆƒπ‘— ∈ 𝐷 (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑖,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑇,𝑖,𝑗   𝑖,𝑉,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑖,𝑗)
Proof of Theorem trsp2cyc
Dummy variables 𝑝 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 767 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o})
2 breq1 5146 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑝 β†’ (𝑦 β‰ˆ 2o ↔ 𝑝 β‰ˆ 2o))
32elrab 3674 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 𝐷 ∧ 𝑝 β‰ˆ 2o))
41, 3sylib 217 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ (𝑝 ∈ 𝒫 𝐷 ∧ 𝑝 β‰ˆ 2o))
54simprd 494 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ 𝑝 β‰ˆ 2o)
6 en2 9304 . . . . 5 (𝑝 β‰ˆ 2o β†’ βˆƒπ‘–βˆƒπ‘— 𝑝 = {𝑖, 𝑗})
75, 6syl 17 . . . 4 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ βˆƒπ‘–βˆƒπ‘— 𝑝 = {𝑖, 𝑗})
84simpld 493 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ 𝒫 𝐷)
98elpwid 4607 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ 𝑝 βŠ† 𝐷)
109adantr 479 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑝 βŠ† 𝐷)
11 vex 3467 . . . . . . . . . 10 𝑖 ∈ V
1211prid1 4762 . . . . . . . . 9 𝑖 ∈ {𝑖, 𝑗}
13 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑝 = {𝑖, 𝑗})
1412, 13eleqtrrid 2832 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑖 ∈ 𝑝)
1510, 14sseldd 3973 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑖 ∈ 𝐷)
16 vex 3467 . . . . . . . . . 10 𝑗 ∈ V
1716prid2 4763 . . . . . . . . 9 𝑗 ∈ {𝑖, 𝑗}
1817, 13eleqtrrid 2832 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑗 ∈ 𝑝)
1910, 18sseldd 3973 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑗 ∈ 𝐷)
205adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑝 β‰ˆ 2o)
2113, 20eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ {𝑖, 𝑗} β‰ˆ 2o)
22 pr2ne 10027 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) β†’ ({𝑖, 𝑗} β‰ˆ 2o ↔ 𝑖 β‰  𝑗))
2322biimpa 475 . . . . . . . . 9 (((𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ {𝑖, 𝑗} β‰ˆ 2o) β†’ 𝑖 β‰  𝑗)
2415, 19, 21, 23syl21anc 836 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑖 β‰  𝑗)
25 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧)))
26 simp-4l 781 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
27 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (pmTrspβ€˜π·) = (pmTrspβ€˜π·)
2827pmtrval 19410 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑝 βŠ† 𝐷 ∧ 𝑝 β‰ˆ 2o) β†’ ((pmTrspβ€˜π·)β€˜π‘) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧)))
2926, 10, 20, 28syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ ((pmTrspβ€˜π·)β€˜π‘) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧)))
3013fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ ((pmTrspβ€˜π·)β€˜π‘) = ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝑖, 𝑗}))
3125, 29, 303eqtr2d 2771 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑃 = ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝑖, 𝑗}))
32 trsp2cyc.c . . . . . . . . . 10 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
3332, 26, 15, 19, 24, 27cycpm2tr 32885 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©) = ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝑖, 𝑗}))
3431, 33eqtr4d 2768 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©))
3524, 34jca 510 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©)))
3615, 19, 35jca31 513 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©))))
3736ex 411 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ (𝑝 = {𝑖, 𝑗} β†’ ((𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©)))))
38372eximdv 1914 . . . 4 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ (βˆƒπ‘–βˆƒπ‘— 𝑝 = {𝑖, 𝑗} β†’ βˆƒπ‘–βˆƒπ‘—((𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©)))))
397, 38mpd 15 . . 3 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ βˆƒπ‘–βˆƒπ‘—((𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©))))
40 r2ex 3186 . . 3 (βˆƒπ‘– ∈ 𝐷 βˆƒπ‘— ∈ 𝐷 (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©)) ↔ βˆƒπ‘–βˆƒπ‘—((𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©))))
4139, 40sylibr 233 . 2 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐷 βˆƒπ‘— ∈ 𝐷 (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©)))
42 simpr 483 . . . 4 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) β†’ 𝑃 ∈ 𝑇)
43 trsp2cyc.t . . . . 5 𝑇 = ran (pmTrspβ€˜π·)
4427pmtrfval 19409 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ (pmTrspβ€˜π·) = (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))))
4544adantr 479 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) β†’ (pmTrspβ€˜π·) = (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))))
4645rneqd 5934 . . . . 5 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) β†’ ran (pmTrspβ€˜π·) = ran (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))))
4743, 46eqtrid 2777 . . . 4 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) β†’ 𝑇 = ran (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))))
4842, 47eleqtrd 2827 . . 3 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) β†’ 𝑃 ∈ ran (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))))
49 eqid 2725 . . . . 5 (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) = (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧)))
5049elrnmpt 5952 . . . 4 (𝑃 ∈ 𝑇 β†’ (𝑃 ∈ ran (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ↔ βˆƒπ‘ ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))))
5150adantl 480 . . 3 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) β†’ (𝑃 ∈ ran (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ↔ βˆƒπ‘ ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))))
5248, 51mpbid 231 . 2 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) β†’ βˆƒπ‘ ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧)))
5341, 52r19.29a 3152 1 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐷 βˆƒπ‘— ∈ 𝐷 (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆƒwrex 3060  {crab 3419   βˆ– cdif 3936   βŠ† wss 3939  ifcif 4524  π’« cpw 4598  {csn 4624  {cpr 4626  βˆͺ cuni 4903   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  ran crn 5673  β€˜cfv 6543  2oc2o 8479   β‰ˆ cen 8959  βŸ¨β€œcs2 14824  pmTrspcpmtr 19400  toCycctocyc 32872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-hash 14322  df-word 14497  df-concat 14553  df-s1 14578  df-substr 14623  df-pfx 14653  df-csh 14771  df-s2 14831  df-pmtr 19401  df-tocyc 32873
This theorem is referenced by:  cyc3genpm  32918
  Copyright terms: Public domain W3C validator