Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trsp2cyc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trsp2cyc 31972
Description: Exhibit the word a transposition corresponds to, as a cycle. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
trsp2cyc.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
trsp2cyc.c 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
trsp2cyc ((𝐷𝑉𝑃𝑇) → ∃𝑖𝐷𝑗𝐷 (𝑖𝑗𝑃 = (𝐶‘⟨“𝑖𝑗”⟩)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑖,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑇,𝑖,𝑗   𝑖,𝑉,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem trsp2cyc
Dummy variables 𝑝 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 767 . . . . . . 7 ((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) → 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o})
2 breq1 5108 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑝 → (𝑦 ≈ 2o𝑝 ≈ 2o))
32elrab 3645 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o} ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 𝐷𝑝 ≈ 2o))
41, 3sylib 217 . . . . . 6 ((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) → (𝑝 ∈ 𝒫 𝐷𝑝 ≈ 2o))
54simprd 496 . . . . 5 ((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) → 𝑝 ≈ 2o)
6 en2 9225 . . . . 5 (𝑝 ≈ 2o → ∃𝑖𝑗 𝑝 = {𝑖, 𝑗})
75, 6syl 17 . . . 4 ((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) → ∃𝑖𝑗 𝑝 = {𝑖, 𝑗})
84simpld 495 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) → 𝑝 ∈ 𝒫 𝐷)
98elpwid 4569 . . . . . . . . 9 ((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) → 𝑝𝐷)
109adantr 481 . . . . . . . 8 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → 𝑝𝐷)
11 vex 3449 . . . . . . . . . 10 𝑖 ∈ V
1211prid1 4723 . . . . . . . . 9 𝑖 ∈ {𝑖, 𝑗}
13 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → 𝑝 = {𝑖, 𝑗})
1412, 13eleqtrrid 2845 . . . . . . . 8 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → 𝑖𝑝)
1510, 14sseldd 3945 . . . . . . 7 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → 𝑖𝐷)
16 vex 3449 . . . . . . . . . 10 𝑗 ∈ V
1716prid2 4724 . . . . . . . . 9 𝑗 ∈ {𝑖, 𝑗}
1817, 13eleqtrrid 2845 . . . . . . . 8 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → 𝑗𝑝)
1910, 18sseldd 3945 . . . . . . 7 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → 𝑗𝐷)
205adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → 𝑝 ≈ 2o)
2113, 20eqbrtrrd 5129 . . . . . . . . 9 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → {𝑖, 𝑗} ≈ 2o)
22 pr2ne 9940 . . . . . . . . . 10 ((𝑖𝐷𝑗𝐷) → ({𝑖, 𝑗} ≈ 2o𝑖𝑗))
2322biimpa 477 . . . . . . . . 9 (((𝑖𝐷𝑗𝐷) ∧ {𝑖, 𝑗} ≈ 2o) → 𝑖𝑗)
2415, 19, 21, 23syl21anc 836 . . . . . . . 8 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → 𝑖𝑗)
25 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧)))
26 simp-4l 781 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → 𝐷𝑉)
27 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (pmTrsp‘𝐷) = (pmTrsp‘𝐷)
2827pmtrval 19233 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷𝑉𝑝𝐷𝑝 ≈ 2o) → ((pmTrsp‘𝐷)‘𝑝) = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧)))
2926, 10, 20, 28syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → ((pmTrsp‘𝐷)‘𝑝) = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧)))
3013fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → ((pmTrsp‘𝐷)‘𝑝) = ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑖, 𝑗}))
3125, 29, 303eqtr2d 2782 . . . . . . . . 9 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → 𝑃 = ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑖, 𝑗}))
32 trsp2cyc.c . . . . . . . . . 10 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
3332, 26, 15, 19, 24, 27cycpm2tr 31968 . . . . . . . . 9 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → (𝐶‘⟨“𝑖𝑗”⟩) = ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑖, 𝑗}))
3431, 33eqtr4d 2779 . . . . . . . 8 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → 𝑃 = (𝐶‘⟨“𝑖𝑗”⟩))
3524, 34jca 512 . . . . . . 7 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → (𝑖𝑗𝑃 = (𝐶‘⟨“𝑖𝑗”⟩)))
3615, 19, 35jca31 515 . . . . . 6 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → ((𝑖𝐷𝑗𝐷) ∧ (𝑖𝑗𝑃 = (𝐶‘⟨“𝑖𝑗”⟩))))
3736ex 413 . . . . 5 ((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) → (𝑝 = {𝑖, 𝑗} → ((𝑖𝐷𝑗𝐷) ∧ (𝑖𝑗𝑃 = (𝐶‘⟨“𝑖𝑗”⟩)))))
38372eximdv 1922 . . . 4 ((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) → (∃𝑖𝑗 𝑝 = {𝑖, 𝑗} → ∃𝑖𝑗((𝑖𝐷𝑗𝐷) ∧ (𝑖𝑗𝑃 = (𝐶‘⟨“𝑖𝑗”⟩)))))
397, 38mpd 15 . . 3 ((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) → ∃𝑖𝑗((𝑖𝐷𝑗𝐷) ∧ (𝑖𝑗𝑃 = (𝐶‘⟨“𝑖𝑗”⟩))))
40 r2ex 3192 . . 3 (∃𝑖𝐷𝑗𝐷 (𝑖𝑗𝑃 = (𝐶‘⟨“𝑖𝑗”⟩)) ↔ ∃𝑖𝑗((𝑖𝐷𝑗𝐷) ∧ (𝑖𝑗𝑃 = (𝐶‘⟨“𝑖𝑗”⟩))))
4139, 40sylibr 233 . 2 ((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) → ∃𝑖𝐷𝑗𝐷 (𝑖𝑗𝑃 = (𝐶‘⟨“𝑖𝑗”⟩)))
42 simpr 485 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑃𝑇) → 𝑃𝑇)
43 trsp2cyc.t . . . . 5 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
4427pmtrfval 19232 . . . . . . 7 (𝐷𝑉 → (pmTrsp‘𝐷) = (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o} ↦ (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))))
4544adantr 481 . . . . . 6 ((𝐷𝑉𝑃𝑇) → (pmTrsp‘𝐷) = (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o} ↦ (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))))
4645rneqd 5893 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑃𝑇) → ran (pmTrsp‘𝐷) = ran (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o} ↦ (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))))
4743, 46eqtrid 2788 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑃𝑇) → 𝑇 = ran (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o} ↦ (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))))
4842, 47eleqtrd 2840 . . 3 ((𝐷𝑉𝑃𝑇) → 𝑃 ∈ ran (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o} ↦ (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))))
49 eqid 2736 . . . . 5 (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o} ↦ (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) = (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o} ↦ (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧)))
5049elrnmpt 5911 . . . 4 (𝑃𝑇 → (𝑃 ∈ ran (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o} ↦ (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ↔ ∃𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))))
5150adantl 482 . . 3 ((𝐷𝑉𝑃𝑇) → (𝑃 ∈ ran (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o} ↦ (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ↔ ∃𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))))
5248, 51mpbid 231 . 2 ((𝐷𝑉𝑃𝑇) → ∃𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧)))
5341, 52r19.29a 3159 1 ((𝐷𝑉𝑃𝑇) → ∃𝑖𝐷𝑗𝐷 (𝑖𝑗𝑃 = (𝐶‘⟨“𝑖𝑗”⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  {crab 3407  cdif 3907  wss 3910  ifcif 4486  𝒫 cpw 4560  {csn 4586  {cpr 4588   cuni 4865   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ran crn 5634  cfv 6496  2oc2o 8406  cen 8880  ⟨“cs2 14730  pmTrspcpmtr 19223  toCycctocyc 31955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-hash 14231  df-word 14403  df-concat 14459  df-s1 14484  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-csh 14677  df-s2 14737  df-pmtr 19224  df-tocyc 31956
This theorem is referenced by:  cyc3genpm  32001
  Copyright terms: Public domain W3C validator