Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trsp2cyc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trsp2cyc 33143
Description: Exhibit the word a transposition corresponds to, as a cycle. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
trsp2cyc.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
trsp2cyc.c 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
trsp2cyc ((𝐷𝑉𝑃𝑇) → ∃𝑖𝐷𝑗𝐷 (𝑖𝑗𝑃 = (𝐶‘⟨“𝑖𝑗”⟩)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑖,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑇,𝑖,𝑗   𝑖,𝑉,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem trsp2cyc
Dummy variables 𝑝 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 769 . . . . . . 7 ((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) → 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o})
2 breq1 5146 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑝 → (𝑦 ≈ 2o𝑝 ≈ 2o))
32elrab 3692 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o} ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 𝐷𝑝 ≈ 2o))
41, 3sylib 218 . . . . . 6 ((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) → (𝑝 ∈ 𝒫 𝐷𝑝 ≈ 2o))
54simprd 495 . . . . 5 ((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) → 𝑝 ≈ 2o)
6 en2 9315 . . . . 5 (𝑝 ≈ 2o → ∃𝑖𝑗 𝑝 = {𝑖, 𝑗})
75, 6syl 17 . . . 4 ((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) → ∃𝑖𝑗 𝑝 = {𝑖, 𝑗})
84simpld 494 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) → 𝑝 ∈ 𝒫 𝐷)
98elpwid 4609 . . . . . . . . 9 ((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) → 𝑝𝐷)
109adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → 𝑝𝐷)
11 vex 3484 . . . . . . . . . 10 𝑖 ∈ V
1211prid1 4762 . . . . . . . . 9 𝑖 ∈ {𝑖, 𝑗}
13 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → 𝑝 = {𝑖, 𝑗})
1412, 13eleqtrrid 2848 . . . . . . . 8 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → 𝑖𝑝)
1510, 14sseldd 3984 . . . . . . 7 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → 𝑖𝐷)
16 vex 3484 . . . . . . . . . 10 𝑗 ∈ V
1716prid2 4763 . . . . . . . . 9 𝑗 ∈ {𝑖, 𝑗}
1817, 13eleqtrrid 2848 . . . . . . . 8 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → 𝑗𝑝)
1910, 18sseldd 3984 . . . . . . 7 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → 𝑗𝐷)
205adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → 𝑝 ≈ 2o)
2113, 20eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . 9 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → {𝑖, 𝑗} ≈ 2o)
22 pr2ne 10044 . . . . . . . . . 10 ((𝑖𝐷𝑗𝐷) → ({𝑖, 𝑗} ≈ 2o𝑖𝑗))
2322biimpa 476 . . . . . . . . 9 (((𝑖𝐷𝑗𝐷) ∧ {𝑖, 𝑗} ≈ 2o) → 𝑖𝑗)
2415, 19, 21, 23syl21anc 838 . . . . . . . 8 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → 𝑖𝑗)
25 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧)))
26 simp-4l 783 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → 𝐷𝑉)
27 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (pmTrsp‘𝐷) = (pmTrsp‘𝐷)
2827pmtrval 19469 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷𝑉𝑝𝐷𝑝 ≈ 2o) → ((pmTrsp‘𝐷)‘𝑝) = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧)))
2926, 10, 20, 28syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → ((pmTrsp‘𝐷)‘𝑝) = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧)))
3013fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → ((pmTrsp‘𝐷)‘𝑝) = ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑖, 𝑗}))
3125, 29, 303eqtr2d 2783 . . . . . . . . 9 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → 𝑃 = ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑖, 𝑗}))
32 trsp2cyc.c . . . . . . . . . 10 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
3332, 26, 15, 19, 24, 27cycpm2tr 33139 . . . . . . . . 9 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → (𝐶‘⟨“𝑖𝑗”⟩) = ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑖, 𝑗}))
3431, 33eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → 𝑃 = (𝐶‘⟨“𝑖𝑗”⟩))
3524, 34jca 511 . . . . . . 7 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → (𝑖𝑗𝑃 = (𝐶‘⟨“𝑖𝑗”⟩)))
3615, 19, 35jca31 514 . . . . . 6 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → ((𝑖𝐷𝑗𝐷) ∧ (𝑖𝑗𝑃 = (𝐶‘⟨“𝑖𝑗”⟩))))
3736ex 412 . . . . 5 ((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) → (𝑝 = {𝑖, 𝑗} → ((𝑖𝐷𝑗𝐷) ∧ (𝑖𝑗𝑃 = (𝐶‘⟨“𝑖𝑗”⟩)))))
38372eximdv 1919 . . . 4 ((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) → (∃𝑖𝑗 𝑝 = {𝑖, 𝑗} → ∃𝑖𝑗((𝑖𝐷𝑗𝐷) ∧ (𝑖𝑗𝑃 = (𝐶‘⟨“𝑖𝑗”⟩)))))
397, 38mpd 15 . . 3 ((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) → ∃𝑖𝑗((𝑖𝐷𝑗𝐷) ∧ (𝑖𝑗𝑃 = (𝐶‘⟨“𝑖𝑗”⟩))))
40 r2ex 3196 . . 3 (∃𝑖𝐷𝑗𝐷 (𝑖𝑗𝑃 = (𝐶‘⟨“𝑖𝑗”⟩)) ↔ ∃𝑖𝑗((𝑖𝐷𝑗𝐷) ∧ (𝑖𝑗𝑃 = (𝐶‘⟨“𝑖𝑗”⟩))))
4139, 40sylibr 234 . 2 ((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) → ∃𝑖𝐷𝑗𝐷 (𝑖𝑗𝑃 = (𝐶‘⟨“𝑖𝑗”⟩)))
42 simpr 484 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑃𝑇) → 𝑃𝑇)
43 trsp2cyc.t . . . . 5 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
4427pmtrfval 19468 . . . . . . 7 (𝐷𝑉 → (pmTrsp‘𝐷) = (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o} ↦ (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))))
4544adantr 480 . . . . . 6 ((𝐷𝑉𝑃𝑇) → (pmTrsp‘𝐷) = (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o} ↦ (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))))
4645rneqd 5949 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑃𝑇) → ran (pmTrsp‘𝐷) = ran (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o} ↦ (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))))
4743, 46eqtrid 2789 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑃𝑇) → 𝑇 = ran (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o} ↦ (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))))
4842, 47eleqtrd 2843 . . 3 ((𝐷𝑉𝑃𝑇) → 𝑃 ∈ ran (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o} ↦ (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))))
49 eqid 2737 . . . . 5 (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o} ↦ (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) = (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o} ↦ (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧)))
5049elrnmpt 5969 . . . 4 (𝑃𝑇 → (𝑃 ∈ ran (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o} ↦ (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ↔ ∃𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))))
5150adantl 481 . . 3 ((𝐷𝑉𝑃𝑇) → (𝑃 ∈ ran (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o} ↦ (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ↔ ∃𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))))
5248, 51mpbid 232 . 2 ((𝐷𝑉𝑃𝑇) → ∃𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧)))
5341, 52r19.29a 3162 1 ((𝐷𝑉𝑃𝑇) → ∃𝑖𝐷𝑗𝐷 (𝑖𝑗𝑃 = (𝐶‘⟨“𝑖𝑗”⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  {crab 3436  cdif 3948  wss 3951  ifcif 4525  𝒫 cpw 4600  {csn 4626  {cpr 4628   cuni 4907   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ran crn 5686  cfv 6561  2oc2o 8500  cen 8982  ⟨“cs2 14880  pmTrspcpmtr 19459  toCycctocyc 33126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-csh 14827  df-s2 14887  df-pmtr 19460  df-tocyc 33127
This theorem is referenced by:  cyc3genpm  33172
  Copyright terms: Public domain W3C validator