Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trsp2cyc Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem trsp2cyc 32269
Description: Exhibit the word a transposition corresponds to, as a cycle. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
trsp2cyc.t 𝑇 = ran (pmTrspβ€˜π·)
trsp2cyc.c 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
trsp2cyc ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐷 βˆƒπ‘— ∈ 𝐷 (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑖,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑇,𝑖,𝑗   𝑖,𝑉,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑖,𝑗)
Proof of Theorem trsp2cyc
Dummy variables 𝑝 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 767 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o})
2 breq1 5150 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑝 β†’ (𝑦 β‰ˆ 2o ↔ 𝑝 β‰ˆ 2o))
32elrab 3682 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 𝐷 ∧ 𝑝 β‰ˆ 2o))
41, 3sylib 217 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ (𝑝 ∈ 𝒫 𝐷 ∧ 𝑝 β‰ˆ 2o))
54simprd 496 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ 𝑝 β‰ˆ 2o)
6 en2 9277 . . . . 5 (𝑝 β‰ˆ 2o β†’ βˆƒπ‘–βˆƒπ‘— 𝑝 = {𝑖, 𝑗})
75, 6syl 17 . . . 4 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ βˆƒπ‘–βˆƒπ‘— 𝑝 = {𝑖, 𝑗})
84simpld 495 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ 𝒫 𝐷)
98elpwid 4610 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ 𝑝 βŠ† 𝐷)
109adantr 481 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑝 βŠ† 𝐷)
11 vex 3478 . . . . . . . . . 10 𝑖 ∈ V
1211prid1 4765 . . . . . . . . 9 𝑖 ∈ {𝑖, 𝑗}
13 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑝 = {𝑖, 𝑗})
1412, 13eleqtrrid 2840 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑖 ∈ 𝑝)
1510, 14sseldd 3982 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑖 ∈ 𝐷)
16 vex 3478 . . . . . . . . . 10 𝑗 ∈ V
1716prid2 4766 . . . . . . . . 9 𝑗 ∈ {𝑖, 𝑗}
1817, 13eleqtrrid 2840 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑗 ∈ 𝑝)
1910, 18sseldd 3982 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑗 ∈ 𝐷)
205adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑝 β‰ˆ 2o)
2113, 20eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ {𝑖, 𝑗} β‰ˆ 2o)
22 pr2ne 9995 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) β†’ ({𝑖, 𝑗} β‰ˆ 2o ↔ 𝑖 β‰  𝑗))
2322biimpa 477 . . . . . . . . 9 (((𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ {𝑖, 𝑗} β‰ˆ 2o) β†’ 𝑖 β‰  𝑗)
2415, 19, 21, 23syl21anc 836 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑖 β‰  𝑗)
25 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧)))
26 simp-4l 781 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
27 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (pmTrspβ€˜π·) = (pmTrspβ€˜π·)
2827pmtrval 19313 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑝 βŠ† 𝐷 ∧ 𝑝 β‰ˆ 2o) β†’ ((pmTrspβ€˜π·)β€˜π‘) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧)))
2926, 10, 20, 28syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ ((pmTrspβ€˜π·)β€˜π‘) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧)))
3013fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ ((pmTrspβ€˜π·)β€˜π‘) = ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝑖, 𝑗}))
3125, 29, 303eqtr2d 2778 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑃 = ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝑖, 𝑗}))
32 trsp2cyc.c . . . . . . . . . 10 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
3332, 26, 15, 19, 24, 27cycpm2tr 32265 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©) = ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝑖, 𝑗}))
3431, 33eqtr4d 2775 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©))
3524, 34jca 512 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©)))
3615, 19, 35jca31 515 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©))))
3736ex 413 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ (𝑝 = {𝑖, 𝑗} β†’ ((𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©)))))
38372eximdv 1922 . . . 4 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ (βˆƒπ‘–βˆƒπ‘— 𝑝 = {𝑖, 𝑗} β†’ βˆƒπ‘–βˆƒπ‘—((𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©)))))
397, 38mpd 15 . . 3 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ βˆƒπ‘–βˆƒπ‘—((𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©))))
40 r2ex 3195 . . 3 (βˆƒπ‘– ∈ 𝐷 βˆƒπ‘— ∈ 𝐷 (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©)) ↔ βˆƒπ‘–βˆƒπ‘—((𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©))))
4139, 40sylibr 233 . 2 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐷 βˆƒπ‘— ∈ 𝐷 (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©)))
42 simpr 485 . . . 4 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) β†’ 𝑃 ∈ 𝑇)
43 trsp2cyc.t . . . . 5 𝑇 = ran (pmTrspβ€˜π·)
4427pmtrfval 19312 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ (pmTrspβ€˜π·) = (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))))
4544adantr 481 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) β†’ (pmTrspβ€˜π·) = (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))))
4645rneqd 5935 . . . . 5 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) β†’ ran (pmTrspβ€˜π·) = ran (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))))
4743, 46eqtrid 2784 . . . 4 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) β†’ 𝑇 = ran (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))))
4842, 47eleqtrd 2835 . . 3 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) β†’ 𝑃 ∈ ran (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))))
49 eqid 2732 . . . . 5 (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) = (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧)))
5049elrnmpt 5953 . . . 4 (𝑃 ∈ 𝑇 β†’ (𝑃 ∈ ran (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ↔ βˆƒπ‘ ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))))
5150adantl 482 . . 3 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) β†’ (𝑃 ∈ ran (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ↔ βˆƒπ‘ ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))))
5248, 51mpbid 231 . 2 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) β†’ βˆƒπ‘ ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧)))
5341, 52r19.29a 3162 1 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐷 βˆƒπ‘— ∈ 𝐷 (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  {crab 3432   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  ifcif 4527  π’« cpw 4601  {csn 4627  {cpr 4629  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676  β€˜cfv 6540  2oc2o 8456   β‰ˆ cen 8932  βŸ¨β€œcs2 14788  pmTrspcpmtr 19303  toCycctocyc 32252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-csh 14735  df-s2 14795  df-pmtr 19304  df-tocyc 32253
This theorem is referenced by:  cyc3genpm  32298
  Copyright terms: Public domain W3C validator