Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trsp2cyc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trsp2cyc 32021
Description: Exhibit the word a transposition corresponds to, as a cycle. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
trsp2cyc.t 𝑇 = ran (pmTrspβ€˜π·)
trsp2cyc.c 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
trsp2cyc ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐷 βˆƒπ‘— ∈ 𝐷 (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑖,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑇,𝑖,𝑗   𝑖,𝑉,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem trsp2cyc
Dummy variables 𝑝 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o})
2 breq1 5109 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑝 β†’ (𝑦 β‰ˆ 2o ↔ 𝑝 β‰ˆ 2o))
32elrab 3646 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 𝐷 ∧ 𝑝 β‰ˆ 2o))
41, 3sylib 217 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ (𝑝 ∈ 𝒫 𝐷 ∧ 𝑝 β‰ˆ 2o))
54simprd 497 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ 𝑝 β‰ˆ 2o)
6 en2 9228 . . . . 5 (𝑝 β‰ˆ 2o β†’ βˆƒπ‘–βˆƒπ‘— 𝑝 = {𝑖, 𝑗})
75, 6syl 17 . . . 4 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ βˆƒπ‘–βˆƒπ‘— 𝑝 = {𝑖, 𝑗})
84simpld 496 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ 𝒫 𝐷)
98elpwid 4570 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ 𝑝 βŠ† 𝐷)
109adantr 482 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑝 βŠ† 𝐷)
11 vex 3448 . . . . . . . . . 10 𝑖 ∈ V
1211prid1 4724 . . . . . . . . 9 𝑖 ∈ {𝑖, 𝑗}
13 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑝 = {𝑖, 𝑗})
1412, 13eleqtrrid 2841 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑖 ∈ 𝑝)
1510, 14sseldd 3946 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑖 ∈ 𝐷)
16 vex 3448 . . . . . . . . . 10 𝑗 ∈ V
1716prid2 4725 . . . . . . . . 9 𝑗 ∈ {𝑖, 𝑗}
1817, 13eleqtrrid 2841 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑗 ∈ 𝑝)
1910, 18sseldd 3946 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑗 ∈ 𝐷)
205adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑝 β‰ˆ 2o)
2113, 20eqbrtrrd 5130 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ {𝑖, 𝑗} β‰ˆ 2o)
22 pr2ne 9945 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) β†’ ({𝑖, 𝑗} β‰ˆ 2o ↔ 𝑖 β‰  𝑗))
2322biimpa 478 . . . . . . . . 9 (((𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ {𝑖, 𝑗} β‰ˆ 2o) β†’ 𝑖 β‰  𝑗)
2415, 19, 21, 23syl21anc 837 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑖 β‰  𝑗)
25 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧)))
26 simp-4l 782 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
27 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (pmTrspβ€˜π·) = (pmTrspβ€˜π·)
2827pmtrval 19238 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑝 βŠ† 𝐷 ∧ 𝑝 β‰ˆ 2o) β†’ ((pmTrspβ€˜π·)β€˜π‘) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧)))
2926, 10, 20, 28syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ ((pmTrspβ€˜π·)β€˜π‘) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧)))
3013fveq2d 6847 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ ((pmTrspβ€˜π·)β€˜π‘) = ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝑖, 𝑗}))
3125, 29, 303eqtr2d 2779 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑃 = ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝑖, 𝑗}))
32 trsp2cyc.c . . . . . . . . . 10 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
3332, 26, 15, 19, 24, 27cycpm2tr 32017 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©) = ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝑖, 𝑗}))
3431, 33eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©))
3524, 34jca 513 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©)))
3615, 19, 35jca31 516 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©))))
3736ex 414 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ (𝑝 = {𝑖, 𝑗} β†’ ((𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©)))))
38372eximdv 1923 . . . 4 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ (βˆƒπ‘–βˆƒπ‘— 𝑝 = {𝑖, 𝑗} β†’ βˆƒπ‘–βˆƒπ‘—((𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©)))))
397, 38mpd 15 . . 3 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ βˆƒπ‘–βˆƒπ‘—((𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©))))
40 r2ex 3189 . . 3 (βˆƒπ‘– ∈ 𝐷 βˆƒπ‘— ∈ 𝐷 (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©)) ↔ βˆƒπ‘–βˆƒπ‘—((𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©))))
4139, 40sylibr 233 . 2 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐷 βˆƒπ‘— ∈ 𝐷 (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©)))
42 simpr 486 . . . 4 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) β†’ 𝑃 ∈ 𝑇)
43 trsp2cyc.t . . . . 5 𝑇 = ran (pmTrspβ€˜π·)
4427pmtrfval 19237 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ (pmTrspβ€˜π·) = (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))))
4544adantr 482 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) β†’ (pmTrspβ€˜π·) = (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))))
4645rneqd 5894 . . . . 5 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) β†’ ran (pmTrspβ€˜π·) = ran (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))))
4743, 46eqtrid 2785 . . . 4 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) β†’ 𝑇 = ran (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))))
4842, 47eleqtrd 2836 . . 3 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) β†’ 𝑃 ∈ ran (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))))
49 eqid 2733 . . . . 5 (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) = (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧)))
5049elrnmpt 5912 . . . 4 (𝑃 ∈ 𝑇 β†’ (𝑃 ∈ ran (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ↔ βˆƒπ‘ ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))))
5150adantl 483 . . 3 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) β†’ (𝑃 ∈ ran (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o} ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))) ↔ βˆƒπ‘ ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧))))
5248, 51mpbid 231 . 2 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) β†’ βˆƒπ‘ ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷 ∣ 𝑦 β‰ˆ 2o}𝑃 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑝, βˆͺ (𝑝 βˆ– {𝑧}), 𝑧)))
5341, 52r19.29a 3156 1 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝑇) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐷 βˆƒπ‘— ∈ 𝐷 (𝑖 β‰  𝑗 ∧ 𝑃 = (πΆβ€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  {crab 3406   βˆ– cdif 3908   βŠ† wss 3911  ifcif 4487  π’« cpw 4561  {csn 4587  {cpr 4589  βˆͺ cuni 4866   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ran crn 5635  β€˜cfv 6497  2oc2o 8407   β‰ˆ cen 8883  βŸ¨β€œcs2 14736  pmTrspcpmtr 19228  toCycctocyc 32004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-hash 14237  df-word 14409  df-concat 14465  df-s1 14490  df-substr 14535  df-pfx 14565  df-csh 14683  df-s2 14743  df-pmtr 19229  df-tocyc 32005
This theorem is referenced by:  cyc3genpm  32050
  Copyright terms: Public domain W3C validator