Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trsp2cyc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trsp2cyc 33126
Description: Exhibit the word a transposition corresponds to, as a cycle. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
trsp2cyc.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
trsp2cyc.c 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
trsp2cyc ((𝐷𝑉𝑃𝑇) → ∃𝑖𝐷𝑗𝐷 (𝑖𝑗𝑃 = (𝐶‘⟨“𝑖𝑗”⟩)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑖,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑇,𝑖,𝑗   𝑖,𝑉,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem trsp2cyc
Dummy variables 𝑝 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 769 . . . . . . 7 ((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) → 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o})
2 breq1 5151 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑝 → (𝑦 ≈ 2o𝑝 ≈ 2o))
32elrab 3695 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o} ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 𝐷𝑝 ≈ 2o))
41, 3sylib 218 . . . . . 6 ((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) → (𝑝 ∈ 𝒫 𝐷𝑝 ≈ 2o))
54simprd 495 . . . . 5 ((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) → 𝑝 ≈ 2o)
6 en2 9313 . . . . 5 (𝑝 ≈ 2o → ∃𝑖𝑗 𝑝 = {𝑖, 𝑗})
75, 6syl 17 . . . 4 ((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) → ∃𝑖𝑗 𝑝 = {𝑖, 𝑗})
84simpld 494 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) → 𝑝 ∈ 𝒫 𝐷)
98elpwid 4614 . . . . . . . . 9 ((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) → 𝑝𝐷)
109adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → 𝑝𝐷)
11 vex 3482 . . . . . . . . . 10 𝑖 ∈ V
1211prid1 4767 . . . . . . . . 9 𝑖 ∈ {𝑖, 𝑗}
13 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → 𝑝 = {𝑖, 𝑗})
1412, 13eleqtrrid 2846 . . . . . . . 8 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → 𝑖𝑝)
1510, 14sseldd 3996 . . . . . . 7 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → 𝑖𝐷)
16 vex 3482 . . . . . . . . . 10 𝑗 ∈ V
1716prid2 4768 . . . . . . . . 9 𝑗 ∈ {𝑖, 𝑗}
1817, 13eleqtrrid 2846 . . . . . . . 8 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → 𝑗𝑝)
1910, 18sseldd 3996 . . . . . . 7 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → 𝑗𝐷)
205adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → 𝑝 ≈ 2o)
2113, 20eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . 9 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → {𝑖, 𝑗} ≈ 2o)
22 pr2ne 10042 . . . . . . . . . 10 ((𝑖𝐷𝑗𝐷) → ({𝑖, 𝑗} ≈ 2o𝑖𝑗))
2322biimpa 476 . . . . . . . . 9 (((𝑖𝐷𝑗𝐷) ∧ {𝑖, 𝑗} ≈ 2o) → 𝑖𝑗)
2415, 19, 21, 23syl21anc 838 . . . . . . . 8 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → 𝑖𝑗)
25 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧)))
26 simp-4l 783 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → 𝐷𝑉)
27 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (pmTrsp‘𝐷) = (pmTrsp‘𝐷)
2827pmtrval 19484 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷𝑉𝑝𝐷𝑝 ≈ 2o) → ((pmTrsp‘𝐷)‘𝑝) = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧)))
2926, 10, 20, 28syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → ((pmTrsp‘𝐷)‘𝑝) = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧)))
3013fveq2d 6911 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → ((pmTrsp‘𝐷)‘𝑝) = ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑖, 𝑗}))
3125, 29, 303eqtr2d 2781 . . . . . . . . 9 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → 𝑃 = ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑖, 𝑗}))
32 trsp2cyc.c . . . . . . . . . 10 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
3332, 26, 15, 19, 24, 27cycpm2tr 33122 . . . . . . . . 9 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → (𝐶‘⟨“𝑖𝑗”⟩) = ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑖, 𝑗}))
3431, 33eqtr4d 2778 . . . . . . . 8 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → 𝑃 = (𝐶‘⟨“𝑖𝑗”⟩))
3524, 34jca 511 . . . . . . 7 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → (𝑖𝑗𝑃 = (𝐶‘⟨“𝑖𝑗”⟩)))
3615, 19, 35jca31 514 . . . . . 6 (((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ∧ 𝑝 = {𝑖, 𝑗}) → ((𝑖𝐷𝑗𝐷) ∧ (𝑖𝑗𝑃 = (𝐶‘⟨“𝑖𝑗”⟩))))
3736ex 412 . . . . 5 ((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) → (𝑝 = {𝑖, 𝑗} → ((𝑖𝐷𝑗𝐷) ∧ (𝑖𝑗𝑃 = (𝐶‘⟨“𝑖𝑗”⟩)))))
38372eximdv 1917 . . . 4 ((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) → (∃𝑖𝑗 𝑝 = {𝑖, 𝑗} → ∃𝑖𝑗((𝑖𝐷𝑗𝐷) ∧ (𝑖𝑗𝑃 = (𝐶‘⟨“𝑖𝑗”⟩)))))
397, 38mpd 15 . . 3 ((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) → ∃𝑖𝑗((𝑖𝐷𝑗𝐷) ∧ (𝑖𝑗𝑃 = (𝐶‘⟨“𝑖𝑗”⟩))))
40 r2ex 3194 . . 3 (∃𝑖𝐷𝑗𝐷 (𝑖𝑗𝑃 = (𝐶‘⟨“𝑖𝑗”⟩)) ↔ ∃𝑖𝑗((𝑖𝐷𝑗𝐷) ∧ (𝑖𝑗𝑃 = (𝐶‘⟨“𝑖𝑗”⟩))))
4139, 40sylibr 234 . 2 ((((𝐷𝑉𝑃𝑇) ∧ 𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}) ∧ 𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) → ∃𝑖𝐷𝑗𝐷 (𝑖𝑗𝑃 = (𝐶‘⟨“𝑖𝑗”⟩)))
42 simpr 484 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑃𝑇) → 𝑃𝑇)
43 trsp2cyc.t . . . . 5 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
4427pmtrfval 19483 . . . . . . 7 (𝐷𝑉 → (pmTrsp‘𝐷) = (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o} ↦ (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))))
4544adantr 480 . . . . . 6 ((𝐷𝑉𝑃𝑇) → (pmTrsp‘𝐷) = (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o} ↦ (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))))
4645rneqd 5952 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑃𝑇) → ran (pmTrsp‘𝐷) = ran (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o} ↦ (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))))
4743, 46eqtrid 2787 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑃𝑇) → 𝑇 = ran (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o} ↦ (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))))
4842, 47eleqtrd 2841 . . 3 ((𝐷𝑉𝑃𝑇) → 𝑃 ∈ ran (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o} ↦ (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))))
49 eqid 2735 . . . . 5 (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o} ↦ (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) = (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o} ↦ (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧)))
5049elrnmpt 5972 . . . 4 (𝑃𝑇 → (𝑃 ∈ ran (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o} ↦ (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ↔ ∃𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))))
5150adantl 481 . . 3 ((𝐷𝑉𝑃𝑇) → (𝑃 ∈ ran (𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o} ↦ (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) ↔ ∃𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))))
5248, 51mpbid 232 . 2 ((𝐷𝑉𝑃𝑇) → ∃𝑝 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐷𝑦 ≈ 2o}𝑃 = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧)))
5341, 52r19.29a 3160 1 ((𝐷𝑉𝑃𝑇) → ∃𝑖𝐷𝑗𝐷 (𝑖𝑗𝑃 = (𝐶‘⟨“𝑖𝑗”⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  {crab 3433  cdif 3960  wss 3963  ifcif 4531  𝒫 cpw 4605  {csn 4631  {cpr 4633   cuni 4912   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ran crn 5690  cfv 6563  2oc2o 8499  cen 8981  ⟨“cs2 14877  pmTrspcpmtr 19474  toCycctocyc 33109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-csh 14824  df-s2 14884  df-pmtr 19475  df-tocyc 33110
This theorem is referenced by:  cyc3genpm  33155
  Copyright terms: Public domain W3C validator