Theorem pren2 42853

Description: An unordered pair is equinumerous to ordinal two iff both parts are sets not equal to each other. (Contributed by RP, 8-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
pren2	⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))

Proof of Theorem pren2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pr2ne 9996	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
2	1	pm5.32i 574	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
3		pr2cv 42848	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
4	3	pm4.71ri 560	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
5		df-3an 1086	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
6	2, 4, 5	3bitr4i 303	1 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  Vcvv 3466  {cpr 4623   class class class wbr 5139  2_oc2o 8456   ≈ cen 8933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-ord 6358  df-on 6359  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-1o 8462  df-2o 8463  df-en 8937

This theorem is referenced by:  pr2eldif1  42854  pr2eldif2  42855  pren2d  42856