Theorem pren2 43577

Description: An unordered pair is equinumerous to ordinal two iff both parts are sets not equal to each other. (Contributed by RP, 8-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
pren2	⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))

Proof of Theorem pren2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pr2ne 10018	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
2	1	pm5.32i 574	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
3		pr2cv 43572	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
4	3	pm4.71ri 560	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
5		df-3an 1088	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
6	2, 4, 5	3bitr4i 303	1 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  Vcvv 3459  {cpr 4603   class class class wbr 5119  2_oc2o 8474   ≈ cen 8956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-ord 6355  df-on 6356  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-1o 8480  df-2o 8481  df-en 8960

This theorem is referenced by:  pr2eldif1  43578  pr2eldif2  43579  pren2d  43580