Theorem pren2 43938

Description: An unordered pair is equinumerous to ordinal two iff both parts are sets not equal to each other. (Contributed by RP, 8-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
pren2	⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))

Proof of Theorem pren2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pr2ne 9929	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
2	1	pm5.32i 574	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
3		pr2cv 43933	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
4	3	pm4.71ri 560	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
5		df-3an 1089	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
6	2, 4, 5	3bitr4i 303	1 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3442  {cpr 4584   class class class wbr 5100  2_oc2o 8403   ≈ cen 8894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5381

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6330  df-on 6331  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-1o 8409  df-2o 8410  df-en 8898

This theorem is referenced by:  pr2eldif1  43939  pr2eldif2  43940  pren2d  43941