Theorem pren2 40252

Description: An unordered pair is equinumerous to ordinal two iff both parts are sets not equal to each other. (Contributed by RP, 8-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
pren2	⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))

Proof of Theorem pren2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pr2ne 9416	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
2	1	pm5.32i 578	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
3		pr2cv 40247	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
4	3	pm4.71ri 564	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
5		df-3an 1086	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
6	2, 4, 5	3bitr4i 306	1 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  Vcvv 3441  {cpr 4527   class class class wbr 5030  2_oc2o 8079   ≈ cen 8489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-om 7561  df-1o 8085  df-2o 8086  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496

This theorem is referenced by:  pr2eldif1  40253  pr2eldif2  40254  pren2d  40255