MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrrn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrrn2 19369
Description: For any transposition there are two points it is transposing. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrrn.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r 𝑅 = ran 𝑇
Assertion
Ref Expression
pmtrrn2 (𝐹𝑅 → ∃𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem pmtrrn2
StepHypRef Expression
1 pmtrrn.t . . . . . . 7 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2 pmtrrn.r . . . . . . 7 𝑅 = ran 𝑇
3 eqid 2732 . . . . . . 7 dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I )
41, 2, 3pmtrfrn 19367 . . . . . 6 (𝐹𝑅 → ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))))
54simpld 495 . . . . 5 (𝐹𝑅 → (𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))
65simp3d 1144 . . . 4 (𝐹𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
7 en2 9283 . . . 4 (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o → ∃𝑥𝑦dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦})
86, 7syl 17 . . 3 (𝐹𝑅 → ∃𝑥𝑦dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦})
95simp2d 1143 . . . . . . 7 (𝐹𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
104simprd 496 . . . . . . 7 (𝐹𝑅𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))
119, 6, 10jca32 516 . . . . . 6 (𝐹𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))))
12 sseq1 4007 . . . . . . 7 (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷))
13 breq1 5151 . . . . . . . 8 (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ↔ {𝑥, 𝑦} ≈ 2o))
14 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))
1514eqeq2d 2743 . . . . . . . 8 (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → (𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ↔ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
1613, 15anbi12d 631 . . . . . . 7 (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ((dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))) ↔ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))))
1712, 16anbi12d 631 . . . . . 6 (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ((dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))))
1811, 17syl5ibcom 244 . . . . 5 (𝐹𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))))
19 vex 3478 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
20 vex 3478 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
2119, 20prss 4823 . . . . . . 7 ((𝑥𝐷𝑦𝐷) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
2221bicomi 223 . . . . . 6 ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ↔ (𝑥𝐷𝑦𝐷))
23 pr2ne 10001 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝑥𝑦))
2423el2v 3482 . . . . . . 7 ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝑥𝑦)
2524anbi1i 624 . . . . . 6 (({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ↔ (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
2622, 25anbi12i 627 . . . . 5 (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))) ↔ ((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))))
2718, 26imbitrdi 250 . . . 4 (𝐹𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))))
28272eximdv 1922 . . 3 (𝐹𝑅 → (∃𝑥𝑦dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ∃𝑥𝑦((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))))
298, 28mpd 15 . 2 (𝐹𝑅 → ∃𝑥𝑦((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))))
30 r2ex 3195 . 2 (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ↔ ∃𝑥𝑦((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))))
3129, 30sylibr 233 1 (𝐹𝑅 → ∃𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2940  wrex 3070  Vcvv 3474  cdif 3945  wss 3948  {cpr 4630   class class class wbr 5148   I cid 5573  dom cdm 5676  ran crn 5677  cfv 6543  2oc2o 8462  cen 8938  pmTrspcpmtr 19350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7858  df-1o 8468  df-2o 8469  df-en 8942  df-pmtr 19351
This theorem is referenced by:  mdetunilem7  22340
  Copyright terms: Public domain W3C validator