Theorem pmtrrn2 19531

Description: For any transposition there are two points it is transposing. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrrn.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r	⊢ 𝑅 = ran 𝑇

Assertion

Ref	Expression
pmtrrn2	⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem pmtrrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrrn.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2		pmtrrn.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = ran 𝑇
3		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I )
4	1, 2, 3	pmtrfrn 19529	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))))
5	4	simpld 499	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))
6	5	simp3d 1162	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
7		en2 9241	. . . 4 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o → ∃𝑥∃𝑦dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦})
8	6, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → ∃𝑥∃𝑦dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦})
9	5	simp2d 1161	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
10	4	simprd 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))
11	9, 6, 10	jca32 524	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))))
12		sseq1 3963	. . . . . . 7 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷))
13		breq1 5113	. . . . . . . 8 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ↔ {𝑥, 𝑦} ≈ 2o))
14		fveq2 6883	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))
15	14	eqeq2d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → (𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ↔ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
16	13, 15	anbi12d 643	. . . . . . 7 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ((dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))) ↔ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))))
17	12, 16	anbi12d 643	. . . . . 6 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ((dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))))
18	11, 17	syl5ibcom 248	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))))
19		vex 3459	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
20		vex 3459	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
21	19, 20	prss 4787	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
22	21	bicomi 227	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷))
23		pr2ne 9990	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o ↔ 𝑥 ≠ 𝑦))
24	23	el2v 3462	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o ↔ 𝑥 ≠ 𝑦)
25	24	anbi1i 635	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ≈ 2o ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
26	22, 25	anbi12i 639	. . . . 5 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))))
27	18, 26	imbitrdi 254	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))))
28	27	2eximdv 1949	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (∃𝑥∃𝑦dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))))
29	8, 28	mpd 16	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → ∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))))
30		r2ex 3202	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ↔ ∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))))
31	29, 30	sylibr 237	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089  Vcvv 3455   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  {cpr 4592   class class class wbr 5110   I cid 5557  dom cdm 5663  ran crn 5664  ‘cfv 6538  2_oc2o 8448   ≈ cen 8941  pmTrspcpmtr 19512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-om 7864  df-1o 8454  df-2o 8455  df-en 8945  df-pmtr 19513

This theorem is referenced by:  mdetunilem7  22756