Theorem pmtrrn2 19521

Description: For any transposition there are two points it is transposing. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrrn.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r	⊢ 𝑅 = ran 𝑇

Assertion

Ref	Expression
pmtrrn2	⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem pmtrrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrrn.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2		pmtrrn.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = ran 𝑇
3		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I )
4	1, 2, 3	pmtrfrn 19519	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))))
5	4	simpld 499	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))
6	5	simp3d 1160	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
7		en2 9228	. . . 4 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o → ∃𝑥∃𝑦dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦})
8	6, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → ∃𝑥∃𝑦dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦})
9	5	simp2d 1159	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
10	4	simprd 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))
11	9, 6, 10	jca32 524	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))))
12		sseq1 3964	. . . . . . 7 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷))
13		breq1 5108	. . . . . . . 8 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ↔ {𝑥, 𝑦} ≈ 2o))
14		fveq2 6871	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))
15	14	eqeq2d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → (𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ↔ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
16	13, 15	anbi12d 643	. . . . . . 7 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ((dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))) ↔ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))))
17	12, 16	anbi12d 643	. . . . . 6 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ((dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))))
18	11, 17	syl5ibcom 248	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))))
19		vex 3461	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
20		vex 3461	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
21	19, 20	prss 4781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
22	21	bicomi 227	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷))
23		pr2ne 9977	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o ↔ 𝑥 ≠ 𝑦))
24	23	el2v 3464	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o ↔ 𝑥 ≠ 𝑦)
25	24	anbi1i 635	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ≈ 2o ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
26	22, 25	anbi12i 639	. . . . 5 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))))
27	18, 26	imbitrdi 254	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))))
28	27	2eximdv 1942	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (∃𝑥∃𝑦dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))))
29	8, 28	mpd 16	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → ∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))))
30		r2ex 3202	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ↔ ∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))))
31	29, 30	sylibr 237	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563  ∃wex 1802   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∃wrex 3089  Vcvv 3457   ∖ cdif 3904   ⊆ wss 3907  {cpr 4587   class class class wbr 5105   I cid 5546  dom cdm 5652  ran crn 5653  ‘cfv 6525  2_oc2o 8435   ≈ cen 8928  pmTrspcpmtr 19502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-om 7851  df-1o 8441  df-2o 8442  df-en 8932  df-pmtr 19503

This theorem is referenced by:  mdetunilem7  22736