MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrrn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrrn2 19328
Description: For any transposition there are two points it is transposing. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrrn.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r 𝑅 = ran 𝑇
Assertion
Ref Expression
pmtrrn2 (𝐹𝑅 → ∃𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem pmtrrn2
StepHypRef Expression
1 pmtrrn.t . . . . . . 7 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2 pmtrrn.r . . . . . . 7 𝑅 = ran 𝑇
3 eqid 2733 . . . . . . 7 dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I )
41, 2, 3pmtrfrn 19326 . . . . . 6 (𝐹𝑅 → ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))))
54simpld 496 . . . . 5 (𝐹𝑅 → (𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))
65simp3d 1145 . . . 4 (𝐹𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
7 en2 9281 . . . 4 (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o → ∃𝑥𝑦dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦})
86, 7syl 17 . . 3 (𝐹𝑅 → ∃𝑥𝑦dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦})
95simp2d 1144 . . . . . . 7 (𝐹𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
104simprd 497 . . . . . . 7 (𝐹𝑅𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))
119, 6, 10jca32 517 . . . . . 6 (𝐹𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))))
12 sseq1 4008 . . . . . . 7 (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷))
13 breq1 5152 . . . . . . . 8 (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ↔ {𝑥, 𝑦} ≈ 2o))
14 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))
1514eqeq2d 2744 . . . . . . . 8 (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → (𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ↔ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
1613, 15anbi12d 632 . . . . . . 7 (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ((dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))) ↔ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))))
1712, 16anbi12d 632 . . . . . 6 (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ((dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))))
1811, 17syl5ibcom 244 . . . . 5 (𝐹𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))))
19 vex 3479 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
20 vex 3479 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
2119, 20prss 4824 . . . . . . 7 ((𝑥𝐷𝑦𝐷) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
2221bicomi 223 . . . . . 6 ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ↔ (𝑥𝐷𝑦𝐷))
23 pr2ne 9999 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝑥𝑦))
2423el2v 3483 . . . . . . 7 ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝑥𝑦)
2524anbi1i 625 . . . . . 6 (({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ↔ (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
2622, 25anbi12i 628 . . . . 5 (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))) ↔ ((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))))
2718, 26imbitrdi 250 . . . 4 (𝐹𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))))
28272eximdv 1923 . . 3 (𝐹𝑅 → (∃𝑥𝑦dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ∃𝑥𝑦((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))))
298, 28mpd 15 . 2 (𝐹𝑅 → ∃𝑥𝑦((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))))
30 r2ex 3196 . 2 (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ↔ ∃𝑥𝑦((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))))
3129, 30sylibr 233 1 (𝐹𝑅 → ∃𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wne 2941  wrex 3071  Vcvv 3475  cdif 3946  wss 3949  {cpr 4631   class class class wbr 5149   I cid 5574  dom cdm 5677  ran crn 5678  cfv 6544  2oc2o 8460  cen 8936  pmTrspcpmtr 19309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-om 7856  df-1o 8466  df-2o 8467  df-en 8940  df-pmtr 19310
This theorem is referenced by:  mdetunilem7  22120
  Copyright terms: Public domain W3C validator