MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrrn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrrn2 19479
Description: For any transposition there are two points it is transposing. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrrn.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r 𝑅 = ran 𝑇
Assertion
Ref Expression
pmtrrn2 (𝐹𝑅 → ∃𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem pmtrrn2
StepHypRef Expression
1 pmtrrn.t . . . . . . 7 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2 pmtrrn.r . . . . . . 7 𝑅 = ran 𝑇
3 eqid 2736 . . . . . . 7 dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I )
41, 2, 3pmtrfrn 19477 . . . . . 6 (𝐹𝑅 → ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))))
54simpld 494 . . . . 5 (𝐹𝑅 → (𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))
65simp3d 1144 . . . 4 (𝐹𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
7 en2 9316 . . . 4 (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o → ∃𝑥𝑦dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦})
86, 7syl 17 . . 3 (𝐹𝑅 → ∃𝑥𝑦dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦})
95simp2d 1143 . . . . . . 7 (𝐹𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
104simprd 495 . . . . . . 7 (𝐹𝑅𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))
119, 6, 10jca32 515 . . . . . 6 (𝐹𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))))
12 sseq1 4008 . . . . . . 7 (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷))
13 breq1 5145 . . . . . . . 8 (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ↔ {𝑥, 𝑦} ≈ 2o))
14 fveq2 6905 . . . . . . . . 9 (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))
1514eqeq2d 2747 . . . . . . . 8 (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → (𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ↔ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
1613, 15anbi12d 632 . . . . . . 7 (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ((dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))) ↔ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))))
1712, 16anbi12d 632 . . . . . 6 (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ((dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))))
1811, 17syl5ibcom 245 . . . . 5 (𝐹𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))))
19 vex 3483 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
20 vex 3483 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
2119, 20prss 4819 . . . . . . 7 ((𝑥𝐷𝑦𝐷) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
2221bicomi 224 . . . . . 6 ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ↔ (𝑥𝐷𝑦𝐷))
23 pr2ne 10045 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝑥𝑦))
2423el2v 3486 . . . . . . 7 ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝑥𝑦)
2524anbi1i 624 . . . . . 6 (({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ↔ (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
2622, 25anbi12i 628 . . . . 5 (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))) ↔ ((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))))
2718, 26imbitrdi 251 . . . 4 (𝐹𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))))
28272eximdv 1918 . . 3 (𝐹𝑅 → (∃𝑥𝑦dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ∃𝑥𝑦((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))))
298, 28mpd 15 . 2 (𝐹𝑅 → ∃𝑥𝑦((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))))
30 r2ex 3195 . 2 (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ↔ ∃𝑥𝑦((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))))
3129, 30sylibr 234 1 (𝐹𝑅 → ∃𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wex 1778  wcel 2107  wne 2939  wrex 3069  Vcvv 3479  cdif 3947  wss 3950  {cpr 4627   class class class wbr 5142   I cid 5576  dom cdm 5684  ran crn 5685  cfv 6560  2oc2o 8501  cen 8983  pmTrspcpmtr 19460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-om 7889  df-1o 8507  df-2o 8508  df-en 8987  df-pmtr 19461
This theorem is referenced by:  mdetunilem7  22625
  Copyright terms: Public domain W3C validator