Theorem pmtrrn2 19374

Description: For any transposition there are two points it is transposing. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrrn.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r	⊢ 𝑅 = ran 𝑇

Assertion

Ref	Expression
pmtrrn2	⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem pmtrrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrrn.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2		pmtrrn.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = ran 𝑇
3		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I )
4	1, 2, 3	pmtrfrn 19372	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))))
5	4	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))
6	5	simp3d 1144	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
7		en2 9171	. . . 4 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o → ∃𝑥∃𝑦dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦})
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → ∃𝑥∃𝑦dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦})
9	5	simp2d 1143	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
10	4	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))
11	9, 6, 10	jca32 515	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))))
12		sseq1 3956	. . . . . . 7 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷))
13		breq1 5096	. . . . . . . 8 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ↔ {𝑥, 𝑦} ≈ 2o))
14		fveq2 6828	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))
15	14	eqeq2d 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → (𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ↔ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
16	13, 15	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ((dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))) ↔ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))))
17	12, 16	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ((dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))))
18	11, 17	syl5ibcom 245	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))))
19		vex 3441	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
20		vex 3441	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
21	19, 20	prss 4771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
22	21	bicomi 224	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷))
23		pr2ne 9903	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o ↔ 𝑥 ≠ 𝑦))
24	23	el2v 3444	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o ↔ 𝑥 ≠ 𝑦)
25	24	anbi1i 624	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ≈ 2o ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
26	22, 25	anbi12i 628	. . . . 5 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))))
27	18, 26	imbitrdi 251	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))))
28	27	2eximdv 1920	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (∃𝑥∃𝑦dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))))
29	8, 28	mpd 15	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → ∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))))
30		r2ex 3170	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ↔ ∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))))
31	29, 30	sylibr 234	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∃wrex 3057  Vcvv 3437   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  {cpr 4577   class class class wbr 5093   I cid 5513  dom cdm 5619  ran crn 5620  ‘cfv 6486  2_oc2o 8385   ≈ cen 8872  pmTrspcpmtr 19355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-om 7803  df-1o 8391  df-2o 8392  df-en 8876  df-pmtr 19356

This theorem is referenced by:  mdetunilem7  22534