MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrrn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrrn2 19493
Description: For any transposition there are two points it is transposing. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrrn.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r 𝑅 = ran 𝑇
Assertion
Ref Expression
pmtrrn2 (𝐹𝑅 → ∃𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem pmtrrn2
StepHypRef Expression
1 pmtrrn.t . . . . . . 7 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2 pmtrrn.r . . . . . . 7 𝑅 = ran 𝑇
3 eqid 2735 . . . . . . 7 dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I )
41, 2, 3pmtrfrn 19491 . . . . . 6 (𝐹𝑅 → ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))))
54simpld 494 . . . . 5 (𝐹𝑅 → (𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))
65simp3d 1143 . . . 4 (𝐹𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
7 en2 9313 . . . 4 (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o → ∃𝑥𝑦dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦})
86, 7syl 17 . . 3 (𝐹𝑅 → ∃𝑥𝑦dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦})
95simp2d 1142 . . . . . . 7 (𝐹𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
104simprd 495 . . . . . . 7 (𝐹𝑅𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))
119, 6, 10jca32 515 . . . . . 6 (𝐹𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))))
12 sseq1 4021 . . . . . . 7 (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷))
13 breq1 5151 . . . . . . . 8 (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ↔ {𝑥, 𝑦} ≈ 2o))
14 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))
1514eqeq2d 2746 . . . . . . . 8 (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → (𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ↔ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
1613, 15anbi12d 632 . . . . . . 7 (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ((dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))) ↔ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))))
1712, 16anbi12d 632 . . . . . 6 (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ((dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))))
1811, 17syl5ibcom 245 . . . . 5 (𝐹𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))))
19 vex 3482 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
20 vex 3482 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
2119, 20prss 4825 . . . . . . 7 ((𝑥𝐷𝑦𝐷) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
2221bicomi 224 . . . . . 6 ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ↔ (𝑥𝐷𝑦𝐷))
23 pr2ne 10042 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝑥𝑦))
2423el2v 3485 . . . . . . 7 ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝑥𝑦)
2524anbi1i 624 . . . . . 6 (({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ↔ (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
2622, 25anbi12i 628 . . . . 5 (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2o𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))) ↔ ((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))))
2718, 26imbitrdi 251 . . . 4 (𝐹𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))))
28272eximdv 1917 . . 3 (𝐹𝑅 → (∃𝑥𝑦dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ∃𝑥𝑦((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))))
298, 28mpd 15 . 2 (𝐹𝑅 → ∃𝑥𝑦((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))))
30 r2ex 3194 . 2 (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ↔ ∃𝑥𝑦((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))))
3129, 30sylibr 234 1 (𝐹𝑅 → ∃𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  Vcvv 3478  cdif 3960  wss 3963  {cpr 4633   class class class wbr 5148   I cid 5582  dom cdm 5689  ran crn 5690  cfv 6563  2oc2o 8499  cen 8981  pmTrspcpmtr 19474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-2o 8506  df-en 8985  df-pmtr 19475
This theorem is referenced by:  mdetunilem7  22640
  Copyright terms: Public domain W3C validator