MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrrn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrrn2 18087
Description: For any transposition there are two points it is transposing. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrrn.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r 𝑅 = ran 𝑇
Assertion
Ref Expression
pmtrrn2 (𝐹𝑅 → ∃𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem pmtrrn2
StepHypRef Expression
1 pmtrrn.t . . . . . . 7 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2 pmtrrn.r . . . . . . 7 𝑅 = ran 𝑇
3 eqid 2771 . . . . . . 7 dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I )
41, 2, 3pmtrfrn 18085 . . . . . 6 (𝐹𝑅 → ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))))
54simpld 482 . . . . 5 (𝐹𝑅 → (𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜))
65simp3d 1138 . . . 4 (𝐹𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜)
7 en2 8356 . . . 4 (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 → ∃𝑥𝑦dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦})
86, 7syl 17 . . 3 (𝐹𝑅 → ∃𝑥𝑦dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦})
95simp2d 1137 . . . . . . 7 (𝐹𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
104simprd 483 . . . . . . 7 (𝐹𝑅𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))
119, 6, 10jca32 505 . . . . . 6 (𝐹𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))))
12 sseq1 3775 . . . . . . 7 (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷))
13 breq1 4790 . . . . . . . 8 (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ↔ {𝑥, 𝑦} ≈ 2𝑜))
14 fveq2 6333 . . . . . . . . 9 (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))
1514eqeq2d 2781 . . . . . . . 8 (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → (𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ↔ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
1613, 15anbi12d 616 . . . . . . 7 (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ((dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))) ↔ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2𝑜𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))))
1712, 16anbi12d 616 . . . . . 6 (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ((dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2𝑜𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))))
1811, 17syl5ibcom 235 . . . . 5 (𝐹𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2𝑜𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))))
19 vex 3354 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
20 vex 3354 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
2119, 20prss 4487 . . . . . . 7 ((𝑥𝐷𝑦𝐷) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
2221bicomi 214 . . . . . 6 ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ↔ (𝑥𝐷𝑦𝐷))
23 pr2ne 9032 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → ({𝑥, 𝑦} ≈ 2𝑜𝑥𝑦))
2419, 20, 23mp2an 672 . . . . . . 7 ({𝑥, 𝑦} ≈ 2𝑜𝑥𝑦)
2524anbi1i 610 . . . . . 6 (({𝑥, 𝑦} ≈ 2𝑜𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ↔ (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
2622, 25anbi12i 612 . . . . 5 (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2𝑜𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))) ↔ ((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))))
2718, 26syl6ib 241 . . . 4 (𝐹𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))))
28272eximdv 2000 . . 3 (𝐹𝑅 → (∃𝑥𝑦dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ∃𝑥𝑦((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))))
298, 28mpd 15 . 2 (𝐹𝑅 → ∃𝑥𝑦((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))))
30 r2ex 3209 . 2 (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ↔ ∃𝑥𝑦((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))))
3129, 30sylibr 224 1 (𝐹𝑅 → ∃𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥𝑦𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  wne 2943  wrex 3062  Vcvv 3351  cdif 3720  wss 3723  {cpr 4319   class class class wbr 4787   I cid 5157  dom cdm 5250  ran crn 5251  cfv 6030  2𝑜c2o 7711  cen 8110  pmTrspcpmtr 18068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-om 7217  df-1o 7717  df-2o 7718  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pmtr 18069
This theorem is referenced by:  mdetunilem7  20642
  Copyright terms: Public domain W3C validator