Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pren2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pren2d 43545
Description: A pair of two distinct sets is equinumerous to ordinal two. (Contributed by RP, 21-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
pren2d.a (𝜑𝐴𝑉)
pren2d.b (𝜑𝐵𝑊)
pren2d.aneb (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
pren2d (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Proof of Theorem pren2d
StepHypRef Expression
1 pren2d.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
21elexd 3501 . 2 (𝜑𝐴 ∈ V)
3 pren2d.b . . 3 (𝜑𝐵𝑊)
43elexd 3501 . 2 (𝜑𝐵 ∈ V)
5 pren2d.aneb . 2 (𝜑𝐴𝐵)
6 pren2 43542 . 2 ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵))
72, 4, 5, 6syl3anbrc 1342 1 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  wne 2937  Vcvv 3477  {cpr 4632   class class class wbr 5147  2oc2o 8498  cen 8980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-1o 8504  df-2o 8505  df-en 8984
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator