Theorem pren2d 41116

Description: A pair of two distinct sets is equinumerous to ordinal two. (Contributed by RP, 21-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sur0020.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sur0020.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
sur0020.aneb	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pren2d	⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Proof of Theorem pren2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sur0020.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2	1	elexd 3450	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
3		sur0020.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
4	3	elexd 3450	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
5		sur0020.aneb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
6		pren2 41113	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
7	2, 4, 5, 6	syl3anbrc 1341	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944  Vcvv 3430  {cpr 4568   class class class wbr 5078  2_oc2o 8275   ≈ cen 8704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-om 7701  df-1o 8281  df-2o 8282  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711

This theorem is referenced by: (None)