Theorem pren2d 44760

Description: A pair of two distinct sets is equinumerous to ordinal two. (Contributed by RP, 21-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
pren2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
pren2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
pren2d.aneb	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pren2d	⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Proof of Theorem pren2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pren2d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2	1	elexd 3477	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
3		pren2d.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
4	3	elexd 3477	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
5		pren2d.aneb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
6		pren2 44757	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
7	2, 4, 5, 6	syl3anbrc 1362	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454  {cpr 4590   class class class wbr 5106  2_oc2o 8501   ≈ cen 9001

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-ord 6386  df-on 6387  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-1o 8507  df-2o 8508  df-en 9005

This theorem is used by: (None)