Theorem pren2d 43569

Description: A pair of two distinct sets is equinumerous to ordinal two. (Contributed by RP, 21-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
pren2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
pren2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
pren2d.aneb	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pren2d	⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Proof of Theorem pren2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pren2d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2	1	elexd 3504	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
3		pren2d.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
4	3	elexd 3504	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
5		pren2d.aneb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
6		pren2 43566	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
7	2, 4, 5, 6	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  Vcvv 3480  {cpr 4628   class class class wbr 5143  2_oc2o 8500   ≈ cen 8982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-1o 8506  df-2o 8507  df-en 8986

This theorem is referenced by: (None)