Theorem pren2d 43518

Description: A pair of two distinct sets is equinumerous to ordinal two. (Contributed by RP, 21-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
pren2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
pren2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
pren2d.aneb	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pren2d	⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Proof of Theorem pren2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pren2d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2	1	elexd 3468	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
3		pren2d.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
4	3	elexd 3468	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
5		pren2d.aneb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
6		pren2 43515	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
7	2, 4, 5, 6	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3444  {cpr 4587   class class class wbr 5102  2_oc2o 8405   ≈ cen 8892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6323  df-on 6324  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-1o 8411  df-2o 8412  df-en 8896

This theorem is referenced by: (None)