Theorem aleph1min 43547

Description: (ℵ‘1_o) is the least uncountable ordinal. (Contributed by RP, 18-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
aleph1min	⊢ (ℵ‘1o) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ω ≺ 𝑥}

Proof of Theorem aleph1min

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 8505	. . 3 ⊢ 1o = suc ∅
2	1	fveq2i 6910	. 2 ⊢ (ℵ‘1o) = (ℵ‘suc ∅)
3		0elon 6440	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ On
4		alephsuc 10106	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ On → (ℵ‘suc ∅) = (har‘(ℵ‘∅)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℵ‘suc ∅) = (har‘(ℵ‘∅))
6		aleph0 10104	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘∅) = ω
7	6	fveq2i 6910	. . . 4 ⊢ (har‘(ℵ‘∅)) = (har‘ω)
8	5, 7	eqtri 2763	. . 3 ⊢ (ℵ‘suc ∅) = (har‘ω)
9		omelon 9684	. . . . 5 ⊢ ω ∈ On
10		onenon 9987	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ On → ω ∈ dom card)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ω ∈ dom card
12		harval2 10035	. . . 4 ⊢ (ω ∈ dom card → (har‘ω) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ω ≺ 𝑥})
13	11, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (har‘ω) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ω ≺ 𝑥}
14	8, 13	eqtri 2763	. 2 ⊢ (ℵ‘suc ∅) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ω ≺ 𝑥}
15	2, 14	eqtri 2763	1 ⊢ (ℵ‘1o) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ω ≺ 𝑥}

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {crab 3433  ∅c0 4339  ∩ cint 4951   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  Oncon0 6386  suc csuc 6388  ‘cfv 6563  ωcom 7887  1_oc1o 8498   ≺ csdm 8983  harchar 9594  cardccrd 9973  ℵcale 9974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-oi 9548  df-har 9595  df-card 9977  df-aleph 9978

This theorem is referenced by: (None)