Theorem aleph1min 44145

Description: (ℵ‘1_o) is the least uncountable ordinal. (Contributed by RP, 18-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
aleph1min	⊢ (ℵ‘1o) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ω ≺ 𝑥}

Proof of Theorem aleph1min

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 8441	. . 3 ⊢ 1o = suc ∅
2	1	fveq2i 6874	. 2 ⊢ (ℵ‘1o) = (ℵ‘suc ∅)
3		0elon 6405	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ On
4		alephsuc 10040	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ On → (ℵ‘suc ∅) = (har‘(ℵ‘∅)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℵ‘suc ∅) = (har‘(ℵ‘∅))
6		aleph0 10038	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘∅) = ω
7	6	fveq2i 6874	. . . 4 ⊢ (har‘(ℵ‘∅)) = (har‘ω)
8	5, 7	eqtri 2788	. . 3 ⊢ (ℵ‘suc ∅) = (har‘ω)
9		omelon 9603	. . . . 5 ⊢ ω ∈ On
10		onenon 9923	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ On → ω ∈ dom card)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ω ∈ dom card
12		harval2 9971	. . . 4 ⊢ (ω ∈ dom card → (har‘ω) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ω ≺ 𝑥})
13	11, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (har‘ω) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ω ≺ 𝑥}
14	8, 13	eqtri 2788	. 2 ⊢ (ℵ‘suc ∅) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ω ≺ 𝑥}
15	2, 14	eqtri 2788	1 ⊢ (ℵ‘1o) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ω ≺ 𝑥}

Syntax hints:   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {crab 3417  ∅c0 4288  ∩ cint 4908   class class class wbr 5105  dom cdm 5652  Oncon0 6350  suc csuc 6352  ‘cfv 6525  ωcom 7850  1_oc1o 8434   ≺ csdm 8930  harchar 9506  cardccrd 9909  ℵcale 9910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-oi 9460  df-har 9507  df-card 9913  df-aleph 9914

This theorem is referenced by: (None)