Theorem aleph1min 42763

Description: (ℵ‘1_o) is the least uncountable ordinal. (Contributed by RP, 18-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
aleph1min	⊢ (ℵ‘1o) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ω ≺ 𝑥}

Proof of Theorem aleph1min

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 8461	. . 3 ⊢ 1o = suc ∅
2	1	fveq2i 6884	. 2 ⊢ (ℵ‘1o) = (ℵ‘suc ∅)
3		0elon 6408	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ On
4		alephsuc 10058	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ On → (ℵ‘suc ∅) = (har‘(ℵ‘∅)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℵ‘suc ∅) = (har‘(ℵ‘∅))
6		aleph0 10056	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘∅) = ω
7	6	fveq2i 6884	. . . 4 ⊢ (har‘(ℵ‘∅)) = (har‘ω)
8	5, 7	eqtri 2752	. . 3 ⊢ (ℵ‘suc ∅) = (har‘ω)
9		omelon 9636	. . . . 5 ⊢ ω ∈ On
10		onenon 9939	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ On → ω ∈ dom card)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ω ∈ dom card
12		harval2 9987	. . . 4 ⊢ (ω ∈ dom card → (har‘ω) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ω ≺ 𝑥})
13	11, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (har‘ω) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ω ≺ 𝑥}
14	8, 13	eqtri 2752	. 2 ⊢ (ℵ‘suc ∅) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ω ≺ 𝑥}
15	2, 14	eqtri 2752	1 ⊢ (ℵ‘1o) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ω ≺ 𝑥}

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3424  ∅c0 4314  ∩ cint 4940   class class class wbr 5138  dom cdm 5666  Oncon0 6354  suc csuc 6356  ‘cfv 6533  ωcom 7848  1_oc1o 8454   ≺ csdm 8933  harchar 9546  cardccrd 9925  ℵcale 9926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-oi 9500  df-har 9547  df-card 9929  df-aleph 9930

This theorem is referenced by: (None)