Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aleph1min Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aleph1min 39922
Description: (ℵ‘1o) is the least uncountable ordinal. (Contributed by RP, 18-Nov-2023.)
Assertion
Ref Expression
aleph1min (ℵ‘1o) = {𝑥 ∈ On ∣ ω ≺ 𝑥}

Proof of Theorem aleph1min
StepHypRef Expression
1 df-1o 8105 . . 3 1o = suc ∅
21fveq2i 6676 . 2 (ℵ‘1o) = (ℵ‘suc ∅)
3 0elon 6247 . . . . 5 ∅ ∈ On
4 alephsuc 9497 . . . . 5 (∅ ∈ On → (ℵ‘suc ∅) = (har‘(ℵ‘∅)))
53, 4ax-mp 5 . . . 4 (ℵ‘suc ∅) = (har‘(ℵ‘∅))
6 aleph0 9495 . . . . 5 (ℵ‘∅) = ω
76fveq2i 6676 . . . 4 (har‘(ℵ‘∅)) = (har‘ω)
85, 7eqtri 2847 . . 3 (ℵ‘suc ∅) = (har‘ω)
9 omelon 9112 . . . . 5 ω ∈ On
10 onenon 9381 . . . . 5 (ω ∈ On → ω ∈ dom card)
119, 10ax-mp 5 . . . 4 ω ∈ dom card
12 harval2 9429 . . . 4 (ω ∈ dom card → (har‘ω) = {𝑥 ∈ On ∣ ω ≺ 𝑥})
1311, 12ax-mp 5 . . 3 (har‘ω) = {𝑥 ∈ On ∣ ω ≺ 𝑥}
148, 13eqtri 2847 . 2 (ℵ‘suc ∅) = {𝑥 ∈ On ∣ ω ≺ 𝑥}
152, 14eqtri 2847 1 (ℵ‘1o) = {𝑥 ∈ On ∣ ω ≺ 𝑥}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1536  wcel 2113  {crab 3145  c0 4294   cint 4879   class class class wbr 5069  dom cdm 5558  Oncon0 6194  suc csuc 6196  cfv 6358  ωcom 7583  1oc1o 8098  csdm 8511  harchar 9023  cardccrd 9367  cale 9368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-om 7584  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-oi 8977  df-har 9025  df-card 9371  df-aleph 9372
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator