Theorem aleph1min 42910

Description: (ℵ‘1_o) is the least uncountable ordinal. (Contributed by RP, 18-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
aleph1min	⊢ (ℵ‘1o) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ω ≺ 𝑥}

Proof of Theorem aleph1min

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 8480	. . 3 ⊢ 1o = suc ∅
2	1	fveq2i 6894	. 2 ⊢ (ℵ‘1o) = (ℵ‘suc ∅)
3		0elon 6417	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ On
4		alephsuc 10083	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ On → (ℵ‘suc ∅) = (har‘(ℵ‘∅)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℵ‘suc ∅) = (har‘(ℵ‘∅))
6		aleph0 10081	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘∅) = ω
7	6	fveq2i 6894	. . . 4 ⊢ (har‘(ℵ‘∅)) = (har‘ω)
8	5, 7	eqtri 2755	. . 3 ⊢ (ℵ‘suc ∅) = (har‘ω)
9		omelon 9661	. . . . 5 ⊢ ω ∈ On
10		onenon 9964	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ On → ω ∈ dom card)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ω ∈ dom card
12		harval2 10012	. . . 4 ⊢ (ω ∈ dom card → (har‘ω) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ω ≺ 𝑥})
13	11, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (har‘ω) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ω ≺ 𝑥}
14	8, 13	eqtri 2755	. 2 ⊢ (ℵ‘suc ∅) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ω ≺ 𝑥}
15	2, 14	eqtri 2755	1 ⊢ (ℵ‘1o) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ω ≺ 𝑥}

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3427  ∅c0 4318  ∩ cint 4944   class class class wbr 5142  dom cdm 5672  Oncon0 6363  suc csuc 6365  ‘cfv 6542  ωcom 7864  1_oc1o 8473   ≺ csdm 8954  harchar 9571  cardccrd 9950  ℵcale 9951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-oi 9525  df-har 9572  df-card 9954  df-aleph 9955

This theorem is referenced by: (None)