Mathbox for Richard Penner < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aleph1min Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aleph1min 39922
 Description: (ℵ‘1o) is the least uncountable ordinal. (Contributed by RP, 18-Nov-2023.)
Assertion
Ref Expression
aleph1min (ℵ‘1o) = {𝑥 ∈ On ∣ ω ≺ 𝑥}

Proof of Theorem aleph1min
StepHypRef Expression
1 df-1o 8105 . . 3 1o = suc ∅
21fveq2i 6676 . 2 (ℵ‘1o) = (ℵ‘suc ∅)
3 0elon 6247 . . . . 5 ∅ ∈ On
4 alephsuc 9497 . . . . 5 (∅ ∈ On → (ℵ‘suc ∅) = (har‘(ℵ‘∅)))
53, 4ax-mp 5 . . . 4 (ℵ‘suc ∅) = (har‘(ℵ‘∅))
6 aleph0 9495 . . . . 5 (ℵ‘∅) = ω
76fveq2i 6676 . . . 4 (har‘(ℵ‘∅)) = (har‘ω)
85, 7eqtri 2847 . . 3 (ℵ‘suc ∅) = (har‘ω)
9 omelon 9112 . . . . 5 ω ∈ On
10 onenon 9381 . . . . 5 (ω ∈ On → ω ∈ dom card)
119, 10ax-mp 5 . . . 4 ω ∈ dom card
12 harval2 9429 . . . 4 (ω ∈ dom card → (har‘ω) = {𝑥 ∈ On ∣ ω ≺ 𝑥})
1311, 12ax-mp 5 . . 3 (har‘ω) = {𝑥 ∈ On ∣ ω ≺ 𝑥}
148, 13eqtri 2847 . 2 (ℵ‘suc ∅) = {𝑥 ∈ On ∣ ω ≺ 𝑥}
152, 14eqtri 2847 1 (ℵ‘1o) = {𝑥 ∈ On ∣ ω ≺ 𝑥}
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  {crab 3145  ∅c0 4294  ∩ cint 4879   class class class wbr 5069  dom cdm 5558  Oncon0 6194  suc csuc 6196  ‘cfv 6358  ωcom 7583  1oc1o 8098   ≺ csdm 8511  harchar 9023  cardccrd 9367  ℵcale 9368 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-om 7584  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-oi 8977  df-har 9025  df-card 9371  df-aleph 9372 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator