Theorem pr2eldif2 44309

Description: If an unordered pair is equinumerous to ordinal two, then a part is an element of the difference of the pair and the singleton of the other part. (Contributed by RP, 21-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
pr2eldif2	⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → 𝐵 ∈ ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐴}))

Proof of Theorem pr2eldif2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pren2 44307	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
2		prid2g 4726	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
3	2	3ad2ant2 1151	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
4		necom 3010	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴)
5		nelsn 4631	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
6	4, 5	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
7	6	3ad2ant3 1152	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
8	3, 7	eldifd 3915	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐴}))
9	1, 8	sylbi 220	1 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → 𝐵 ∈ ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐴}))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1102   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  Vcvv 3454   ∖ cdif 3901  {csn 4588  {cpr 4590   class class class wbr 5108  2_oc2o 8445   ≈ cen 8938

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-1o 8451  df-2o 8452  df-en 8942

This theorem is used by: (None)