Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pr2eldif2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pr2eldif2 41807
Description: If an unordered pair is equinumerous to ordinal two, then a part is an element of the difference of the pair and the singleton of the other part. (Contributed by RP, 21-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
pr2eldif2 ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o𝐵 ∈ ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐴}))

Proof of Theorem pr2eldif2
StepHypRef Expression
1 pren2 41805 . 2 ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵))
2 prid2g 4721 . . . 4 (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
323ad2ant2 1134 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
4 necom 2996 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
5 nelsn 4625 . . . . 5 (𝐵𝐴 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
64, 5sylbi 216 . . . 4 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
763ad2ant3 1135 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
83, 7eldifd 3920 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐴}))
91, 8sylbi 216 1 ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o𝐵 ∈ ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐴}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1087  wcel 2106  wne 2942  Vcvv 3444  cdif 3906  {csn 4585  {cpr 4587   class class class wbr 5104  2oc2o 8403  cen 8877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pr 5383
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6319  df-on 6320  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-1o 8409  df-2o 8410  df-en 8881
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator