Theorem pr2eldif2 44499

Description: If an unordered pair is equinumerous to ordinal two, then a part is an element of the difference of the pair and the singleton of the other part. (Contributed by RP, 21-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
pr2eldif2	⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → 𝐵 ∈ ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐴}))

Proof of Theorem pr2eldif2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pren2 44497	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
2		prid2g 4721	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
3	2	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
4		necom 3008	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴)
5		nelsn 4626	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
6	4, 5	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
7	6	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
8	3, 7	eldifd 3909	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐴}))
9	1, 8	sylbi 220	1 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → 𝐵 ∈ ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐴}))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   ∖ cdif 3895  {csn 4583  {cpr 4585   class class class wbr 5102  2_oc2o 8448   ≈ cen 8948

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-ord 6354  df-on 6355  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-1o 8454  df-2o 8455  df-en 8952

This theorem is used by: (None)