Theorem pw2en 9082

Description: The power set of a set is equinumerous to set exponentiation with a base of ordinal 2. Proposition 10.44 of [TakeutiZaring] p. 96. This is Metamath 100 proof #52. (Contributed by NM, 29-Jan-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pw2en.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
pw2en	⊢ 𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑m 𝐴)

Proof of Theorem pw2en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2en.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		pw2eng 9081	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑m 𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ 𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑m 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458  𝒫 cpw 4567   class class class wbr 5114  (class class class)co 7423  2_oc2o 8456   ↑_m cmap 8833   ≈ cen 8949

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-1o 8462  df-2o 8463  df-map 8835  df-en 8953

This theorem is used by:  aleph1  10574  alephexp1  10582  pwcfsdom  10586  cfpwsdom  10587  hashpw  14493  rpnnen  16308  rexpen  16309