Theorem hashpw 14408

Description: The size of the power set of a finite set is 2 raised to the power of the size of the set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashpw	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝐴) = (2↑(♯‘𝐴)))

Proof of Theorem hashpw

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 4580	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
2	1	fveq2d 6865	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘𝒫 𝐴))
3		fveq2 6861	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐴))
4	3	oveq2d 7406	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (2↑(♯‘𝑥)) = (2↑(♯‘𝐴)))
5	2, 4	eqeq12d 2746	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((♯‘𝒫 𝑥) = (2↑(♯‘𝑥)) ↔ (♯‘𝒫 𝐴) = (2↑(♯‘𝐴))))
6		vex 3454	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	6	pw2en 9053	. . . 4 ⊢ 𝒫 𝑥 ≈ (2o ↑m 𝑥)
8		pwfi 9275	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
9	8	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
10		df2o2 8446	. . . . . . 7 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
11		prfi 9281	. . . . . . 7 ⊢ {∅, {∅}} ∈ Fin
12	10, 11	eqeltri 2825	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ Fin
13		mapfi 9306	. . . . . 6 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (2o ↑m 𝑥) ∈ Fin)
14	12, 13	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (2o ↑m 𝑥) ∈ Fin)
15		hashen 14319	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 𝑥 ∈ Fin ∧ (2o ↑m 𝑥) ∈ Fin) → ((♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘(2o ↑m 𝑥)) ↔ 𝒫 𝑥 ≈ (2o ↑m 𝑥)))
16	9, 14, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → ((♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘(2o ↑m 𝑥)) ↔ 𝒫 𝑥 ≈ (2o ↑m 𝑥)))
17	7, 16	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘(2o ↑m 𝑥)))
18		hashmap 14407	. . . . 5 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (♯‘(2o ↑m 𝑥)) = ((♯‘2o)↑(♯‘𝑥)))
19	12, 18	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘(2o ↑m 𝑥)) = ((♯‘2o)↑(♯‘𝑥)))
20		hash2 14377	. . . . 5 ⊢ (♯‘2o) = 2
21	20	oveq1i 7400	. . . 4 ⊢ ((♯‘2o)↑(♯‘𝑥)) = (2↑(♯‘𝑥))
22	19, 21	eqtrdi 2781	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘(2o ↑m 𝑥)) = (2↑(♯‘𝑥)))
23	17, 22	eqtrd 2765	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝑥) = (2↑(♯‘𝑥)))
24	5, 23	vtoclga 3546	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝐴) = (2↑(♯‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4299  𝒫 cpw 4566  {csn 4592  {cpr 4594   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  2_oc2o 8431   ↑_m cmap 8802   ≈ cen 8918  Fincfn 8921  2c2 12248  ↑cexp 14033  ♯chash 14302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303

This theorem is referenced by:  ackbijnn  15801