Theorem hashpw 14485

Description: The size of the power set of a finite set is 2 raised to the power of the size of the set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashpw	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝐴) = (2↑(♯‘𝐴)))

Proof of Theorem hashpw

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 4636	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
2	1	fveq2d 6924	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘𝒫 𝐴))
3		fveq2 6920	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐴))
4	3	oveq2d 7464	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (2↑(♯‘𝑥)) = (2↑(♯‘𝐴)))
5	2, 4	eqeq12d 2756	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((♯‘𝒫 𝑥) = (2↑(♯‘𝑥)) ↔ (♯‘𝒫 𝐴) = (2↑(♯‘𝐴))))
6		vex 3492	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	6	pw2en 9145	. . . 4 ⊢ 𝒫 𝑥 ≈ (2o ↑m 𝑥)
8		pwfi 9385	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
9	8	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
10		df2o2 8531	. . . . . . 7 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
11		prfi 9391	. . . . . . 7 ⊢ {∅, {∅}} ∈ Fin
12	10, 11	eqeltri 2840	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ Fin
13		mapfi 9418	. . . . . 6 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (2o ↑m 𝑥) ∈ Fin)
14	12, 13	mpan 689	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (2o ↑m 𝑥) ∈ Fin)
15		hashen 14396	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 𝑥 ∈ Fin ∧ (2o ↑m 𝑥) ∈ Fin) → ((♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘(2o ↑m 𝑥)) ↔ 𝒫 𝑥 ≈ (2o ↑m 𝑥)))
16	9, 14, 15	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → ((♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘(2o ↑m 𝑥)) ↔ 𝒫 𝑥 ≈ (2o ↑m 𝑥)))
17	7, 16	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘(2o ↑m 𝑥)))
18		hashmap 14484	. . . . 5 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (♯‘(2o ↑m 𝑥)) = ((♯‘2o)↑(♯‘𝑥)))
19	12, 18	mpan 689	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘(2o ↑m 𝑥)) = ((♯‘2o)↑(♯‘𝑥)))
20		hash2 14454	. . . . 5 ⊢ (♯‘2o) = 2
21	20	oveq1i 7458	. . . 4 ⊢ ((♯‘2o)↑(♯‘𝑥)) = (2↑(♯‘𝑥))
22	19, 21	eqtrdi 2796	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘(2o ↑m 𝑥)) = (2↑(♯‘𝑥)))
23	17, 22	eqtrd 2780	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝑥) = (2↑(♯‘𝑥)))
24	5, 23	vtoclga 3589	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝐴) = (2↑(♯‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  {csn 4648  {cpr 4650   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  2_oc2o 8516   ↑_m cmap 8884   ≈ cen 9000  Fincfn 9003  2c2 12348  ↑cexp 14112  ♯chash 14379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380

This theorem is referenced by:  ackbijnn  15876