MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashpw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashpw 14378
Description: The size of the power set of a finite set is 2 raised to the power of the size of the set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashpw (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝐴) = (2↑(♯‘𝐴)))

Proof of Theorem hashpw
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pweq 4610 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
21fveq2d 6882 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘𝒫 𝐴))
3 fveq2 6878 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐴))
43oveq2d 7409 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (2↑(♯‘𝑥)) = (2↑(♯‘𝐴)))
52, 4eqeq12d 2747 . 2 (𝑥 = 𝐴 → ((♯‘𝒫 𝑥) = (2↑(♯‘𝑥)) ↔ (♯‘𝒫 𝐴) = (2↑(♯‘𝐴))))
6 vex 3477 . . . . 5 𝑥 ∈ V
76pw2en 9062 . . . 4 𝒫 𝑥 ≈ (2om 𝑥)
8 pwfi 9161 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
98biimpi 215 . . . . 5 (𝑥 ∈ Fin → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
10 df2o2 8457 . . . . . . 7 2o = {∅, {∅}}
11 prfi 9305 . . . . . . 7 {∅, {∅}} ∈ Fin
1210, 11eqeltri 2828 . . . . . 6 2o ∈ Fin
13 mapfi 9331 . . . . . 6 ((2o ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (2om 𝑥) ∈ Fin)
1412, 13mpan 688 . . . . 5 (𝑥 ∈ Fin → (2om 𝑥) ∈ Fin)
15 hashen 14289 . . . . 5 ((𝒫 𝑥 ∈ Fin ∧ (2om 𝑥) ∈ Fin) → ((♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘(2om 𝑥)) ↔ 𝒫 𝑥 ≈ (2om 𝑥)))
169, 14, 15syl2anc 584 . . . 4 (𝑥 ∈ Fin → ((♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘(2om 𝑥)) ↔ 𝒫 𝑥 ≈ (2om 𝑥)))
177, 16mpbiri 257 . . 3 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘(2om 𝑥)))
18 hashmap 14377 . . . . 5 ((2o ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (♯‘(2om 𝑥)) = ((♯‘2o)↑(♯‘𝑥)))
1912, 18mpan 688 . . . 4 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘(2om 𝑥)) = ((♯‘2o)↑(♯‘𝑥)))
20 hash2 14347 . . . . 5 (♯‘2o) = 2
2120oveq1i 7403 . . . 4 ((♯‘2o)↑(♯‘𝑥)) = (2↑(♯‘𝑥))
2219, 21eqtrdi 2787 . . 3 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘(2om 𝑥)) = (2↑(♯‘𝑥)))
2317, 22eqtrd 2771 . 2 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝑥) = (2↑(♯‘𝑥)))
245, 23vtoclga 3562 1 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝐴) = (2↑(♯‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1541  wcel 2106  c0 4318  𝒫 cpw 4596  {csn 4622  {cpr 4624   class class class wbr 5141  cfv 6532  (class class class)co 7393  2oc2o 8442  m cmap 8803  cen 8919  Fincfn 8922  2c2 12249  cexp 14009  chash 14272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-oadd 8452  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-dju 9878  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-fz 13467  df-seq 13949  df-exp 14010  df-hash 14273
This theorem is referenced by:  ackbijnn  15756
  Copyright terms: Public domain W3C validator