Theorem hashpw 14378

Description: The size of the power set of a finite set is 2 raised to the power of the size of the set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashpw	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝐴) = (2↑(♯‘𝐴)))

Proof of Theorem hashpw

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 4610	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
2	1	fveq2d 6882	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘𝒫 𝐴))
3		fveq2 6878	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐴))
4	3	oveq2d 7409	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (2↑(♯‘𝑥)) = (2↑(♯‘𝐴)))
5	2, 4	eqeq12d 2747	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((♯‘𝒫 𝑥) = (2↑(♯‘𝑥)) ↔ (♯‘𝒫 𝐴) = (2↑(♯‘𝐴))))
6		vex 3477	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	6	pw2en 9062	. . . 4 ⊢ 𝒫 𝑥 ≈ (2o ↑m 𝑥)
8		pwfi 9161	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
9	8	biimpi 215	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
10		df2o2 8457	. . . . . . 7 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
11		prfi 9305	. . . . . . 7 ⊢ {∅, {∅}} ∈ Fin
12	10, 11	eqeltri 2828	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ Fin
13		mapfi 9331	. . . . . 6 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (2o ↑m 𝑥) ∈ Fin)
14	12, 13	mpan 688	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (2o ↑m 𝑥) ∈ Fin)
15		hashen 14289	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 𝑥 ∈ Fin ∧ (2o ↑m 𝑥) ∈ Fin) → ((♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘(2o ↑m 𝑥)) ↔ 𝒫 𝑥 ≈ (2o ↑m 𝑥)))
16	9, 14, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → ((♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘(2o ↑m 𝑥)) ↔ 𝒫 𝑥 ≈ (2o ↑m 𝑥)))
17	7, 16	mpbiri 257	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘(2o ↑m 𝑥)))
18		hashmap 14377	. . . . 5 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (♯‘(2o ↑m 𝑥)) = ((♯‘2o)↑(♯‘𝑥)))
19	12, 18	mpan 688	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘(2o ↑m 𝑥)) = ((♯‘2o)↑(♯‘𝑥)))
20		hash2 14347	. . . . 5 ⊢ (♯‘2o) = 2
21	20	oveq1i 7403	. . . 4 ⊢ ((♯‘2o)↑(♯‘𝑥)) = (2↑(♯‘𝑥))
22	19, 21	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘(2o ↑m 𝑥)) = (2↑(♯‘𝑥)))
23	17, 22	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝑥) = (2↑(♯‘𝑥)))
24	5, 23	vtoclga 3562	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝐴) = (2↑(♯‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∅c0 4318  𝒫 cpw 4596  {csn 4622  {cpr 4624   class class class wbr 5141  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393  2_oc2o 8442   ↑_m cmap 8803   ≈ cen 8919  Fincfn 8922  2c2 12249  ↑cexp 14009  ♯chash 14272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-oadd 8452  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-dju 9878  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-fz 13467  df-seq 13949  df-exp 14010  df-hash 14273

This theorem is referenced by:  ackbijnn  15756