MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashpw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashpw 14428
Description: The size of the power set of a finite set is 2 raised to the power of the size of the set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashpw (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝐴) = (2↑(♯‘𝐴)))

Proof of Theorem hashpw
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pweq 4617 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
21fveq2d 6901 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘𝒫 𝐴))
3 fveq2 6897 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐴))
43oveq2d 7436 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (2↑(♯‘𝑥)) = (2↑(♯‘𝐴)))
52, 4eqeq12d 2744 . 2 (𝑥 = 𝐴 → ((♯‘𝒫 𝑥) = (2↑(♯‘𝑥)) ↔ (♯‘𝒫 𝐴) = (2↑(♯‘𝐴))))
6 vex 3475 . . . . 5 𝑥 ∈ V
76pw2en 9104 . . . 4 𝒫 𝑥 ≈ (2om 𝑥)
8 pwfi 9203 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
98biimpi 215 . . . . 5 (𝑥 ∈ Fin → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
10 df2o2 8496 . . . . . . 7 2o = {∅, {∅}}
11 prfi 9347 . . . . . . 7 {∅, {∅}} ∈ Fin
1210, 11eqeltri 2825 . . . . . 6 2o ∈ Fin
13 mapfi 9373 . . . . . 6 ((2o ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (2om 𝑥) ∈ Fin)
1412, 13mpan 689 . . . . 5 (𝑥 ∈ Fin → (2om 𝑥) ∈ Fin)
15 hashen 14339 . . . . 5 ((𝒫 𝑥 ∈ Fin ∧ (2om 𝑥) ∈ Fin) → ((♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘(2om 𝑥)) ↔ 𝒫 𝑥 ≈ (2om 𝑥)))
169, 14, 15syl2anc 583 . . . 4 (𝑥 ∈ Fin → ((♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘(2om 𝑥)) ↔ 𝒫 𝑥 ≈ (2om 𝑥)))
177, 16mpbiri 258 . . 3 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘(2om 𝑥)))
18 hashmap 14427 . . . . 5 ((2o ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (♯‘(2om 𝑥)) = ((♯‘2o)↑(♯‘𝑥)))
1912, 18mpan 689 . . . 4 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘(2om 𝑥)) = ((♯‘2o)↑(♯‘𝑥)))
20 hash2 14397 . . . . 5 (♯‘2o) = 2
2120oveq1i 7430 . . . 4 ((♯‘2o)↑(♯‘𝑥)) = (2↑(♯‘𝑥))
2219, 21eqtrdi 2784 . . 3 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘(2om 𝑥)) = (2↑(♯‘𝑥)))
2317, 22eqtrd 2768 . 2 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝑥) = (2↑(♯‘𝑥)))
245, 23vtoclga 3563 1 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝐴) = (2↑(♯‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1534  wcel 2099  c0 4323  𝒫 cpw 4603  {csn 4629  {cpr 4631   class class class wbr 5148  cfv 6548  (class class class)co 7420  2oc2o 8481  m cmap 8845  cen 8961  Fincfn 8964  2c2 12298  cexp 14059  chash 14322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9925  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323
This theorem is referenced by:  ackbijnn  15807
  Copyright terms: Public domain W3C validator