Theorem hashpw 14389

Description: The size of the power set of a finite set is 2 raised to the power of the size of the set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashpw	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝐴) = (2↑(♯‘𝐴)))

Proof of Theorem hashpw

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 4556	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
2	1	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘𝒫 𝐴))
3		fveq2 6834	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐴))
4	3	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (2↑(♯‘𝑥)) = (2↑(♯‘𝐴)))
5	2, 4	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((♯‘𝒫 𝑥) = (2↑(♯‘𝑥)) ↔ (♯‘𝒫 𝐴) = (2↑(♯‘𝐴))))
6		vex 3434	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	6	pw2en 9015	. . . 4 ⊢ 𝒫 𝑥 ≈ (2o ↑m 𝑥)
8		pwfi 9222	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
9	8	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
10		df2o2 8407	. . . . . . 7 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
11		prfi 9227	. . . . . . 7 ⊢ {∅, {∅}} ∈ Fin
12	10, 11	eqeltri 2833	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ Fin
13		mapfi 9251	. . . . . 6 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (2o ↑m 𝑥) ∈ Fin)
14	12, 13	mpan 691	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (2o ↑m 𝑥) ∈ Fin)
15		hashen 14300	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 𝑥 ∈ Fin ∧ (2o ↑m 𝑥) ∈ Fin) → ((♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘(2o ↑m 𝑥)) ↔ 𝒫 𝑥 ≈ (2o ↑m 𝑥)))
16	9, 14, 15	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → ((♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘(2o ↑m 𝑥)) ↔ 𝒫 𝑥 ≈ (2o ↑m 𝑥)))
17	7, 16	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘(2o ↑m 𝑥)))
18		hashmap 14388	. . . . 5 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (♯‘(2o ↑m 𝑥)) = ((♯‘2o)↑(♯‘𝑥)))
19	12, 18	mpan 691	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘(2o ↑m 𝑥)) = ((♯‘2o)↑(♯‘𝑥)))
20		hash2 14358	. . . . 5 ⊢ (♯‘2o) = 2
21	20	oveq1i 7370	. . . 4 ⊢ ((♯‘2o)↑(♯‘𝑥)) = (2↑(♯‘𝑥))
22	19, 21	eqtrdi 2788	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘(2o ↑m 𝑥)) = (2↑(♯‘𝑥)))
23	17, 22	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝑥) = (2↑(♯‘𝑥)))
24	5, 23	vtoclga 3521	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝐴) = (2↑(♯‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4542  {csn 4568  {cpr 4570   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  2_oc2o 8392   ↑_m cmap 8766   ≈ cen 8883  Fincfn 8886  2c2 12227  ↑cexp 14014  ♯chash 14283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284

This theorem is referenced by:  ackbijnn  15784