MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashpw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashpw 14472
Description: The size of the power set of a finite set is 2 raised to the power of the size of the set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashpw (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝐴) = (2↑(♯‘𝐴)))

Proof of Theorem hashpw
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pweq 4619 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
21fveq2d 6911 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘𝒫 𝐴))
3 fveq2 6907 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐴))
43oveq2d 7447 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (2↑(♯‘𝑥)) = (2↑(♯‘𝐴)))
52, 4eqeq12d 2751 . 2 (𝑥 = 𝐴 → ((♯‘𝒫 𝑥) = (2↑(♯‘𝑥)) ↔ (♯‘𝒫 𝐴) = (2↑(♯‘𝐴))))
6 vex 3482 . . . . 5 𝑥 ∈ V
76pw2en 9118 . . . 4 𝒫 𝑥 ≈ (2om 𝑥)
8 pwfi 9355 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
98biimpi 216 . . . . 5 (𝑥 ∈ Fin → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
10 df2o2 8514 . . . . . . 7 2o = {∅, {∅}}
11 prfi 9361 . . . . . . 7 {∅, {∅}} ∈ Fin
1210, 11eqeltri 2835 . . . . . 6 2o ∈ Fin
13 mapfi 9386 . . . . . 6 ((2o ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (2om 𝑥) ∈ Fin)
1412, 13mpan 690 . . . . 5 (𝑥 ∈ Fin → (2om 𝑥) ∈ Fin)
15 hashen 14383 . . . . 5 ((𝒫 𝑥 ∈ Fin ∧ (2om 𝑥) ∈ Fin) → ((♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘(2om 𝑥)) ↔ 𝒫 𝑥 ≈ (2om 𝑥)))
169, 14, 15syl2anc 584 . . . 4 (𝑥 ∈ Fin → ((♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘(2om 𝑥)) ↔ 𝒫 𝑥 ≈ (2om 𝑥)))
177, 16mpbiri 258 . . 3 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘(2om 𝑥)))
18 hashmap 14471 . . . . 5 ((2o ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (♯‘(2om 𝑥)) = ((♯‘2o)↑(♯‘𝑥)))
1912, 18mpan 690 . . . 4 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘(2om 𝑥)) = ((♯‘2o)↑(♯‘𝑥)))
20 hash2 14441 . . . . 5 (♯‘2o) = 2
2120oveq1i 7441 . . . 4 ((♯‘2o)↑(♯‘𝑥)) = (2↑(♯‘𝑥))
2219, 21eqtrdi 2791 . . 3 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘(2om 𝑥)) = (2↑(♯‘𝑥)))
2317, 22eqtrd 2775 . 2 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝑥) = (2↑(♯‘𝑥)))
245, 23vtoclga 3577 1 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝐴) = (2↑(♯‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1537  wcel 2106  c0 4339  𝒫 cpw 4605  {csn 4631  {cpr 4633   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  2oc2o 8499  m cmap 8865  cen 8981  Fincfn 8984  2c2 12319  cexp 14099  chash 14366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367
This theorem is referenced by:  ackbijnn  15861
  Copyright terms: Public domain W3C validator