MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashpw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashpw 14396
Description: The size of the power set of a finite set is 2 raised to the power of the size of the set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashpw (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝐴) = (2↑(♯‘𝐴)))

Proof of Theorem hashpw
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pweq 4617 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
21fveq2d 6896 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘𝒫 𝐴))
3 fveq2 6892 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐴))
43oveq2d 7425 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (2↑(♯‘𝑥)) = (2↑(♯‘𝐴)))
52, 4eqeq12d 2749 . 2 (𝑥 = 𝐴 → ((♯‘𝒫 𝑥) = (2↑(♯‘𝑥)) ↔ (♯‘𝒫 𝐴) = (2↑(♯‘𝐴))))
6 vex 3479 . . . . 5 𝑥 ∈ V
76pw2en 9079 . . . 4 𝒫 𝑥 ≈ (2om 𝑥)
8 pwfi 9178 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
98biimpi 215 . . . . 5 (𝑥 ∈ Fin → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
10 df2o2 8475 . . . . . . 7 2o = {∅, {∅}}
11 prfi 9322 . . . . . . 7 {∅, {∅}} ∈ Fin
1210, 11eqeltri 2830 . . . . . 6 2o ∈ Fin
13 mapfi 9348 . . . . . 6 ((2o ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (2om 𝑥) ∈ Fin)
1412, 13mpan 689 . . . . 5 (𝑥 ∈ Fin → (2om 𝑥) ∈ Fin)
15 hashen 14307 . . . . 5 ((𝒫 𝑥 ∈ Fin ∧ (2om 𝑥) ∈ Fin) → ((♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘(2om 𝑥)) ↔ 𝒫 𝑥 ≈ (2om 𝑥)))
169, 14, 15syl2anc 585 . . . 4 (𝑥 ∈ Fin → ((♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘(2om 𝑥)) ↔ 𝒫 𝑥 ≈ (2om 𝑥)))
177, 16mpbiri 258 . . 3 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘(2om 𝑥)))
18 hashmap 14395 . . . . 5 ((2o ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (♯‘(2om 𝑥)) = ((♯‘2o)↑(♯‘𝑥)))
1912, 18mpan 689 . . . 4 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘(2om 𝑥)) = ((♯‘2o)↑(♯‘𝑥)))
20 hash2 14365 . . . . 5 (♯‘2o) = 2
2120oveq1i 7419 . . . 4 ((♯‘2o)↑(♯‘𝑥)) = (2↑(♯‘𝑥))
2219, 21eqtrdi 2789 . . 3 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘(2om 𝑥)) = (2↑(♯‘𝑥)))
2317, 22eqtrd 2773 . 2 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝑥) = (2↑(♯‘𝑥)))
245, 23vtoclga 3566 1 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝐴) = (2↑(♯‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  c0 4323  𝒫 cpw 4603  {csn 4629  {cpr 4631   class class class wbr 5149  cfv 6544  (class class class)co 7409  2oc2o 8460  m cmap 8820  cen 8936  Fincfn 8939  2c2 12267  cexp 14027  chash 14290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291
This theorem is referenced by:  ackbijnn  15774
  Copyright terms: Public domain W3C validator