MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashpw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashpw 14343
Description: The size of the power set of a finite set is 2 raised to the power of the size of the set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashpw (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝐴) = (2↑(♯‘𝐴)))

Proof of Theorem hashpw
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pweq 4579 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
21fveq2d 6851 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘𝒫 𝐴))
3 fveq2 6847 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐴))
43oveq2d 7378 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (2↑(♯‘𝑥)) = (2↑(♯‘𝐴)))
52, 4eqeq12d 2753 . 2 (𝑥 = 𝐴 → ((♯‘𝒫 𝑥) = (2↑(♯‘𝑥)) ↔ (♯‘𝒫 𝐴) = (2↑(♯‘𝐴))))
6 vex 3452 . . . . 5 𝑥 ∈ V
76pw2en 9030 . . . 4 𝒫 𝑥 ≈ (2om 𝑥)
8 pwfi 9129 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
98biimpi 215 . . . . 5 (𝑥 ∈ Fin → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
10 df2o2 8426 . . . . . . 7 2o = {∅, {∅}}
11 prfi 9273 . . . . . . 7 {∅, {∅}} ∈ Fin
1210, 11eqeltri 2834 . . . . . 6 2o ∈ Fin
13 mapfi 9299 . . . . . 6 ((2o ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (2om 𝑥) ∈ Fin)
1412, 13mpan 689 . . . . 5 (𝑥 ∈ Fin → (2om 𝑥) ∈ Fin)
15 hashen 14254 . . . . 5 ((𝒫 𝑥 ∈ Fin ∧ (2om 𝑥) ∈ Fin) → ((♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘(2om 𝑥)) ↔ 𝒫 𝑥 ≈ (2om 𝑥)))
169, 14, 15syl2anc 585 . . . 4 (𝑥 ∈ Fin → ((♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘(2om 𝑥)) ↔ 𝒫 𝑥 ≈ (2om 𝑥)))
177, 16mpbiri 258 . . 3 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝑥) = (♯‘(2om 𝑥)))
18 hashmap 14342 . . . . 5 ((2o ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (♯‘(2om 𝑥)) = ((♯‘2o)↑(♯‘𝑥)))
1912, 18mpan 689 . . . 4 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘(2om 𝑥)) = ((♯‘2o)↑(♯‘𝑥)))
20 hash2 14312 . . . . 5 (♯‘2o) = 2
2120oveq1i 7372 . . . 4 ((♯‘2o)↑(♯‘𝑥)) = (2↑(♯‘𝑥))
2219, 21eqtrdi 2793 . . 3 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘(2om 𝑥)) = (2↑(♯‘𝑥)))
2317, 22eqtrd 2777 . 2 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝑥) = (2↑(♯‘𝑥)))
245, 23vtoclga 3537 1 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝒫 𝐴) = (2↑(♯‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  c0 4287  𝒫 cpw 4565  {csn 4591  {cpr 4593   class class class wbr 5110  cfv 6501  (class class class)co 7362  2oc2o 8411  m cmap 8772  cen 8887  Fincfn 8890  2c2 12215  cexp 13974  chash 14237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238
This theorem is referenced by:  ackbijnn  15720
  Copyright terms: Public domain W3C validator