Theorem aleph1 10494

Description: The set exponentiation of 2 to the aleph-zero has cardinality of at least aleph-one. (If we were to assume the Continuum Hypothesis, their cardinalities would be the same.) (Contributed by NM, 7-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
aleph1	⊢ (ℵ‘1o) ≼ (2o ↑m (ℵ‘∅))

Proof of Theorem aleph1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 8407	. . 3 ⊢ 1o = suc ∅
2	1	fveq2i 6845	. 2 ⊢ (ℵ‘1o) = (ℵ‘suc ∅)
3		alephsucpw 10493	. . 3 ⊢ (ℵ‘suc ∅) ≼ 𝒫 (ℵ‘∅)
4		fvex 6855	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘∅) ∈ V
5	4	pw2en 9024	. . . 4 ⊢ 𝒫 (ℵ‘∅) ≈ (2o ↑m (ℵ‘∅))
6		domen2 9060	. . . 4 ⊢ (𝒫 (ℵ‘∅) ≈ (2o ↑m (ℵ‘∅)) → ((ℵ‘suc ∅) ≼ 𝒫 (ℵ‘∅) ↔ (ℵ‘suc ∅) ≼ (2o ↑m (ℵ‘∅))))
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((ℵ‘suc ∅) ≼ 𝒫 (ℵ‘∅) ↔ (ℵ‘suc ∅) ≼ (2o ↑m (ℵ‘∅)))
8	3, 7	mpbi 230	. 2 ⊢ (ℵ‘suc ∅) ≼ (2o ↑m (ℵ‘∅))
9	2, 8	eqbrtri 5121	1 ⊢ (ℵ‘1o) ≼ (2o ↑m (ℵ‘∅))

Syntax hints:   ↔ wb 206  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5100  suc csuc 6327  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  1_oc1o 8400  2_oc2o 8401   ↑_m cmap 8775   ≈ cen 8892   ≼ cdom 8893  ℵcale 9860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-ac2 10385

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-oi 9427  df-har 9474  df-card 9863  df-aleph 9864  df-ac 10038

This theorem is referenced by: (None)