Theorem aleph1 9646

Description: The set exponentiation of 2 to the aleph-zero has cardinality of at least aleph-one. (If we were to assume the Continuum Hypothesis, their cardinalities would be the same.) (Contributed by NM, 7-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
aleph1	⊢ (ℵ‘1𝑜) ≼ (2𝑜 ↑𝑚 (ℵ‘∅))

Proof of Theorem aleph1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 7764	. . 3 ⊢ 1𝑜 = suc ∅
2	1	fveq2i 6378	. 2 ⊢ (ℵ‘1𝑜) = (ℵ‘suc ∅)
3		alephsucpw 9645	. . 3 ⊢ (ℵ‘suc ∅) ≼ 𝒫 (ℵ‘∅)
4		fvex 6388	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘∅) ∈ V
5	4	pw2en 8274	. . . 4 ⊢ 𝒫 (ℵ‘∅) ≈ (2𝑜 ↑𝑚 (ℵ‘∅))
6		domen2 8310	. . . 4 ⊢ (𝒫 (ℵ‘∅) ≈ (2𝑜 ↑𝑚 (ℵ‘∅)) → ((ℵ‘suc ∅) ≼ 𝒫 (ℵ‘∅) ↔ (ℵ‘suc ∅) ≼ (2𝑜 ↑𝑚 (ℵ‘∅))))
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((ℵ‘suc ∅) ≼ 𝒫 (ℵ‘∅) ↔ (ℵ‘suc ∅) ≼ (2𝑜 ↑𝑚 (ℵ‘∅)))
8	3, 7	mpbi 221	. 2 ⊢ (ℵ‘suc ∅) ≼ (2𝑜 ↑𝑚 (ℵ‘∅))
9	2, 8	eqbrtri 4830	1 ⊢ (ℵ‘1𝑜) ≼ (2𝑜 ↑𝑚 (ℵ‘∅))

Syntax hints:   ↔ wb 197  ∅c0 4079  𝒫 cpw 4315   class class class wbr 4809  suc csuc 5910  ‘cfv 6068  (class class class)co 6842  1_𝑜c1o 7757  2_𝑜c2o 7758   ↑_𝑚 cmap 8060   ≈ cen 8157   ≼ cdom 8158  ℵcale 9013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-ac2 9538

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-oi 8622  df-har 8670  df-card 9016  df-aleph 9017  df-ac 9190

This theorem is referenced by: (None)