MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aleph1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aleph1 10565
Description: The set exponentiation of 2 to the aleph-zero has cardinality of at least aleph-one. (If we were to assume the Continuum Hypothesis, their cardinalities would be the same.) (Contributed by NM, 7-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
aleph1 (ℵ‘1o) ≼ (2om (ℵ‘∅))

Proof of Theorem aleph1
StepHypRef Expression
1 df-1o 8464 . . 3 1o = suc ∅
21fveq2i 6887 . 2 (ℵ‘1o) = (ℵ‘suc ∅)
3 alephsucpw 10564 . . 3 (ℵ‘suc ∅) ≼ 𝒫 (ℵ‘∅)
4 fvex 6897 . . . . 5 (ℵ‘∅) ∈ V
54pw2en 9078 . . . 4 𝒫 (ℵ‘∅) ≈ (2om (ℵ‘∅))
6 domen2 9119 . . . 4 (𝒫 (ℵ‘∅) ≈ (2om (ℵ‘∅)) → ((ℵ‘suc ∅) ≼ 𝒫 (ℵ‘∅) ↔ (ℵ‘suc ∅) ≼ (2om (ℵ‘∅))))
75, 6ax-mp 5 . . 3 ((ℵ‘suc ∅) ≼ 𝒫 (ℵ‘∅) ↔ (ℵ‘suc ∅) ≼ (2om (ℵ‘∅)))
83, 7mpbi 229 . 2 (ℵ‘suc ∅) ≼ (2om (ℵ‘∅))
92, 8eqbrtri 5162 1 (ℵ‘1o) ≼ (2om (ℵ‘∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  c0 4317  𝒫 cpw 4597   class class class wbr 5141  suc csuc 6359  cfv 6536  (class class class)co 7404  1oc1o 8457  2oc2o 8458  m cmap 8819  cen 8935  cdom 8936  cale 9930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-ac2 10457
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-oi 9504  df-har 9551  df-card 9933  df-aleph 9934  df-ac 10110
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator