Theorem aleph1 10614

Description: The set exponentiation of 2 to the aleph-zero has cardinality of at least aleph-one. (If we were to assume the Continuum Hypothesis, their cardinalities would be the same.) (Contributed by NM, 7-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
aleph1	⊢ (ℵ‘1o) ≼ (2o ↑m (ℵ‘∅))

Proof of Theorem aleph1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 8496	. . 3 ⊢ 1o = suc ∅
2	1	fveq2i 6904	. 2 ⊢ (ℵ‘1o) = (ℵ‘suc ∅)
3		alephsucpw 10613	. . 3 ⊢ (ℵ‘suc ∅) ≼ 𝒫 (ℵ‘∅)
4		fvex 6914	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘∅) ∈ V
5	4	pw2en 9117	. . . 4 ⊢ 𝒫 (ℵ‘∅) ≈ (2o ↑m (ℵ‘∅))
6		domen2 9158	. . . 4 ⊢ (𝒫 (ℵ‘∅) ≈ (2o ↑m (ℵ‘∅)) → ((ℵ‘suc ∅) ≼ 𝒫 (ℵ‘∅) ↔ (ℵ‘suc ∅) ≼ (2o ↑m (ℵ‘∅))))
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((ℵ‘suc ∅) ≼ 𝒫 (ℵ‘∅) ↔ (ℵ‘suc ∅) ≼ (2o ↑m (ℵ‘∅)))
8	3, 7	mpbi 229	. 2 ⊢ (ℵ‘suc ∅) ≼ (2o ↑m (ℵ‘∅))
9	2, 8	eqbrtri 5174	1 ⊢ (ℵ‘1o) ≼ (2o ↑m (ℵ‘∅))

Syntax hints:   ↔ wb 205  ∅c0 4325  𝒫 cpw 4607   class class class wbr 5153  suc csuc 6378  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  1_oc1o 8489  2_oc2o 8490   ↑_m cmap 8855   ≈ cen 8971   ≼ cdom 8972  ℵcale 9979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-ac2 10506

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-oi 9553  df-har 9600  df-card 9982  df-aleph 9983  df-ac 10159

This theorem is referenced by: (None)