Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aleph1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aleph1 9995
 Description: The set exponentiation of 2 to the aleph-zero has cardinality of at least aleph-one. (If we were to assume the Continuum Hypothesis, their cardinalities would be the same.) (Contributed by NM, 7-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
aleph1 (ℵ‘1o) ≼ (2om (ℵ‘∅))

Proof of Theorem aleph1
StepHypRef Expression
1 df-1o 8104 . . 3 1o = suc ∅
21fveq2i 6675 . 2 (ℵ‘1o) = (ℵ‘suc ∅)
3 alephsucpw 9994 . . 3 (ℵ‘suc ∅) ≼ 𝒫 (ℵ‘∅)
4 fvex 6685 . . . . 5 (ℵ‘∅) ∈ V
54pw2en 8626 . . . 4 𝒫 (ℵ‘∅) ≈ (2om (ℵ‘∅))
6 domen2 8662 . . . 4 (𝒫 (ℵ‘∅) ≈ (2om (ℵ‘∅)) → ((ℵ‘suc ∅) ≼ 𝒫 (ℵ‘∅) ↔ (ℵ‘suc ∅) ≼ (2om (ℵ‘∅))))
75, 6ax-mp 5 . . 3 ((ℵ‘suc ∅) ≼ 𝒫 (ℵ‘∅) ↔ (ℵ‘suc ∅) ≼ (2om (ℵ‘∅)))
83, 7mpbi 232 . 2 (ℵ‘suc ∅) ≼ (2om (ℵ‘∅))
92, 8eqbrtri 5089 1 (ℵ‘1o) ≼ (2om (ℵ‘∅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 208  ∅c0 4293  𝒫 cpw 4541   class class class wbr 5068  suc csuc 6195  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  1oc1o 8097  2oc2o 8098   ↑m cmap 8408   ≈ cen 8508   ≼ cdom 8509  ℵcale 9367 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-ac2 9887 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-oi 8976  df-har 9024  df-card 9370  df-aleph 9371  df-ac 9544 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator