Theorem aleph1 10660

Description: The set exponentiation of 2 to the aleph-zero has cardinality of at least aleph-one. (If we were to assume the Continuum Hypothesis, their cardinalities would be the same.) (Contributed by NM, 7-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
aleph1	⊢ (ℵ‘1o) ≼ (2o ↑m (ℵ‘∅))

Proof of Theorem aleph1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 8480	. . 3 ⊢ 1o = suc ∅
2	1	fveq2i 6889	. 2 ⊢ (ℵ‘1o) = (ℵ‘suc ∅)
3		alephsucpw 10659	. . 3 ⊢ (ℵ‘suc ∅) ≼ 𝒫 (ℵ‘∅)
4		fvex 6899	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘∅) ∈ V
5	4	pw2en 9107	. . . 4 ⊢ 𝒫 (ℵ‘∅) ≈ (2o ↑m (ℵ‘∅))
6		domen2 9143	. . . 4 ⊢ (𝒫 (ℵ‘∅) ≈ (2o ↑m (ℵ‘∅)) → ((ℵ‘suc ∅) ≼ 𝒫 (ℵ‘∅) ↔ (ℵ‘suc ∅) ≼ (2o ↑m (ℵ‘∅))))
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((ℵ‘suc ∅) ≼ 𝒫 (ℵ‘∅) ↔ (ℵ‘suc ∅) ≼ (2o ↑m (ℵ‘∅)))
8	3, 7	mpbi 233	. 2 ⊢ (ℵ‘suc ∅) ≼ (2o ↑m (ℵ‘∅))
9	2, 8	eqbrtri 5125	1 ⊢ (ℵ‘1o) ≼ (2o ↑m (ℵ‘∅))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5102  suc csuc 6364  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  1_oc1o 8473  2_oc2o 8474   ↑_m cmap 8851   ≈ cen 8974   ≼ cdom 8975  ℵcale 10021

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-ac2 10545

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-oi 9508  df-har 9555  df-card 10024  df-aleph 10025  df-ac 10199

This theorem is used by: (None)