Theorem aleph1 10524

Description: The set exponentiation of 2 to the aleph-zero has cardinality of at least aleph-one. (If we were to assume the Continuum Hypothesis, their cardinalities would be the same.) (Contributed by NM, 7-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
aleph1	⊢ (ℵ‘1o) ≼ (2o ↑m (ℵ‘∅))

Proof of Theorem aleph1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 8434	. . 3 ⊢ 1o = suc ∅
2	1	fveq2i 6861	. 2 ⊢ (ℵ‘1o) = (ℵ‘suc ∅)
3		alephsucpw 10523	. . 3 ⊢ (ℵ‘suc ∅) ≼ 𝒫 (ℵ‘∅)
4		fvex 6871	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘∅) ∈ V
5	4	pw2en 9048	. . . 4 ⊢ 𝒫 (ℵ‘∅) ≈ (2o ↑m (ℵ‘∅))
6		domen2 9084	. . . 4 ⊢ (𝒫 (ℵ‘∅) ≈ (2o ↑m (ℵ‘∅)) → ((ℵ‘suc ∅) ≼ 𝒫 (ℵ‘∅) ↔ (ℵ‘suc ∅) ≼ (2o ↑m (ℵ‘∅))))
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((ℵ‘suc ∅) ≼ 𝒫 (ℵ‘∅) ↔ (ℵ‘suc ∅) ≼ (2o ↑m (ℵ‘∅)))
8	3, 7	mpbi 230	. 2 ⊢ (ℵ‘suc ∅) ≼ (2o ↑m (ℵ‘∅))
9	2, 8	eqbrtri 5128	1 ⊢ (ℵ‘1o) ≼ (2o ↑m (ℵ‘∅))

Syntax hints:   ↔ wb 206  ∅c0 4296  𝒫 cpw 4563   class class class wbr 5107  suc csuc 6334  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  1_oc1o 8427  2_oc2o 8428   ↑_m cmap 8799   ≈ cen 8915   ≼ cdom 8916  ℵcale 9889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-ac2 10416

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-oi 9463  df-har 9510  df-card 9892  df-aleph 9893  df-ac 10069

This theorem is referenced by: (None)