Theorem aleph1 10600

Description: The set exponentiation of 2 to the aleph-zero has cardinality of at least aleph-one. (If we were to assume the Continuum Hypothesis, their cardinalities would be the same.) (Contributed by NM, 7-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
aleph1	⊢ (ℵ‘1o) ≼ (2o ↑m (ℵ‘∅))

Proof of Theorem aleph1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 8491	. . 3 ⊢ 1o = suc ∅
2	1	fveq2i 6903	. 2 ⊢ (ℵ‘1o) = (ℵ‘suc ∅)
3		alephsucpw 10599	. . 3 ⊢ (ℵ‘suc ∅) ≼ 𝒫 (ℵ‘∅)
4		fvex 6913	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘∅) ∈ V
5	4	pw2en 9108	. . . 4 ⊢ 𝒫 (ℵ‘∅) ≈ (2o ↑m (ℵ‘∅))
6		domen2 9149	. . . 4 ⊢ (𝒫 (ℵ‘∅) ≈ (2o ↑m (ℵ‘∅)) → ((ℵ‘suc ∅) ≼ 𝒫 (ℵ‘∅) ↔ (ℵ‘suc ∅) ≼ (2o ↑m (ℵ‘∅))))
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((ℵ‘suc ∅) ≼ 𝒫 (ℵ‘∅) ↔ (ℵ‘suc ∅) ≼ (2o ↑m (ℵ‘∅)))
8	3, 7	mpbi 229	. 2 ⊢ (ℵ‘suc ∅) ≼ (2o ↑m (ℵ‘∅))
9	2, 8	eqbrtri 5171	1 ⊢ (ℵ‘1o) ≼ (2o ↑m (ℵ‘∅))

Syntax hints:   ↔ wb 205  ∅c0 4324  𝒫 cpw 4604   class class class wbr 5150  suc csuc 6374  ‘cfv 6551  (class class class)co 7424  1_oc1o 8484  2_oc2o 8485   ↑_m cmap 8849   ≈ cen 8965   ≼ cdom 8966  ℵcale 9965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-inf2 9670  ax-ac2 10492

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-oi 9539  df-har 9586  df-card 9968  df-aleph 9969  df-ac 10145

This theorem is referenced by: (None)