Theorem rpnnen 16321

Description: The cardinality of the continuum is the same as the powerset of ω. This is a stronger statement than ruc 16337, which only asserts that ℝ is uncountable, i.e. has a cardinality larger than ω. The main proof is in two parts, rpnnen1 13037 and rpnnen2 16320, each showing an injection in one direction, and this last part uses sbth 9099 to prove that the sets are equinumerous. By constructing explicit injections, we avoid the use of AC. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpnnen	⊢ ℝ ≈ 𝒫 ℕ

Proof of Theorem rpnnen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 12267	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
2		qex 13014	. . . 4 ⊢ ℚ ∈ V
3	1, 2	rpnnen1 13037	. . 3 ⊢ ℝ ≼ (ℚ ↑m ℕ)
4		qnnen 16307	. . . . . . 7 ⊢ ℚ ≈ ℕ
5	1	canth2 9132	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≺ 𝒫 ℕ
6		ensdomtr 9115	. . . . . . 7 ⊢ ((ℚ ≈ ℕ ∧ ℕ ≺ 𝒫 ℕ) → ℚ ≺ 𝒫 ℕ)
7	4, 5, 6	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ℚ ≺ 𝒫 ℕ
8		sdomdom 8990	. . . . . 6 ⊢ (ℚ ≺ 𝒫 ℕ → ℚ ≼ 𝒫 ℕ)
9		mapdom1 9144	. . . . . 6 ⊢ (ℚ ≼ 𝒫 ℕ → (ℚ ↑m ℕ) ≼ (𝒫 ℕ ↑m ℕ))
10	7, 8, 9	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (ℚ ↑m ℕ) ≼ (𝒫 ℕ ↑m ℕ)
11	1	pw2en 9086	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 ℕ ≈ (2o ↑m ℕ)
12	1	enref 8995	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≈ ℕ
13		mapen 9143	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 ℕ ≈ (2o ↑m ℕ) ∧ ℕ ≈ ℕ) → (𝒫 ℕ ↑m ℕ) ≈ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ))
14	11, 12, 13	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (𝒫 ℕ ↑m ℕ) ≈ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ)
15		domentr 9023	. . . . 5 ⊢ (((ℚ ↑m ℕ) ≼ (𝒫 ℕ ↑m ℕ) ∧ (𝒫 ℕ ↑m ℕ) ≈ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ)) → (ℚ ↑m ℕ) ≼ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ))
16	10, 14, 15	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (ℚ ↑m ℕ) ≼ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ)
17		2onn 8634	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
18		mapxpen 9145	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ ℕ ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ) ≈ (2o ↑m (ℕ × ℕ)))
19	17, 1, 1, 18	mp3an 1490	. . . . . 6 ⊢ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ) ≈ (2o ↑m (ℕ × ℕ))
20	17	elexi 3475	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ V
21	20	enref 8995	. . . . . . 7 ⊢ 2o ≈ 2o
22		xpnnen 16305	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
23		mapen 9143	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ≈ 2o ∧ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ) → (2o ↑m (ℕ × ℕ)) ≈ (2o ↑m ℕ))
24	21, 22, 23	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (2o ↑m (ℕ × ℕ)) ≈ (2o ↑m ℕ)
25	19, 24	entri 9018	. . . . 5 ⊢ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ) ≈ (2o ↑m ℕ)
26	25, 11	entr4i 9021	. . . 4 ⊢ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ) ≈ 𝒫 ℕ
27		domentr 9023	. . . 4 ⊢ (((ℚ ↑m ℕ) ≼ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ) ∧ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ) ≈ 𝒫 ℕ) → (ℚ ↑m ℕ) ≼ 𝒫 ℕ)
28	16, 26, 27	mp2an 705	. . 3 ⊢ (ℚ ↑m ℕ) ≼ 𝒫 ℕ
29		domtr 9017	. . 3 ⊢ ((ℝ ≼ (ℚ ↑m ℕ) ∧ (ℚ ↑m ℕ) ≼ 𝒫 ℕ) → ℝ ≼ 𝒫 ℕ)
30	3, 28, 29	mp2an 705	. 2 ⊢ ℝ ≼ 𝒫 ℕ
31		rpnnen2 16320	. . 3 ⊢ 𝒫 ℕ ≼ (0[,]1)
32		reex 11219	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
33		unitssre 13556	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
34		ssdomg 9010	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ V → ((0[,]1) ⊆ ℝ → (0[,]1) ≼ ℝ))
35	32, 33, 34	mp2 9	. . 3 ⊢ (0[,]1) ≼ ℝ
36		domtr 9017	. . 3 ⊢ ((𝒫 ℕ ≼ (0[,]1) ∧ (0[,]1) ≼ ℝ) → 𝒫 ℕ ≼ ℝ)
37	31, 35, 36	mp2an 705	. 2 ⊢ 𝒫 ℕ ≼ ℝ
38		sbth 9099	. 2 ⊢ ((ℝ ≼ 𝒫 ℕ ∧ 𝒫 ℕ ≼ ℝ) → ℝ ≈ 𝒫 ℕ)
39	30, 37, 38	mp2an 705	1 ⊢ ℝ ≈ 𝒫 ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5107   × cxp 5657  (class class class)co 7417  ωcom 7866  2_oc2o 8453   ↑_m cmap 8830   ≈ cen 8953   ≼ cdom 8954   ≺ csdm 8955  ℝcr 11127  0cc0 11128  1c1 11129  ℕcn 12261  ℚcq 13001  [,]cicc 13405

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9948  df-acn 9951  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-ico 13408  df-icc 13409  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-limsup 15562  df-clim 15579  df-rlim 15580  df-sum 15778

This theorem is used by:  rexpen  16322  cpnnen  16323  rucALT  16324  cnso  16341  2ndcredom  23681  opnreen  25064