Theorem rpnnen 15401

Description: The cardinality of the continuum is the same as the powerset of ω. This is a stronger statement than ruc 15417, which only asserts that ℝ is uncountable, i.e. has a cardinality larger than ω. The main proof is in two parts, rpnnen1 12221 and rpnnen2 15400, each showing an injection in one direction, and this last part uses sbth 8474 to prove that the sets are equinumerous. By constructing explicit injections, we avoid the use of AC. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpnnen	⊢ ℝ ≈ 𝒫 ℕ

Proof of Theorem rpnnen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 11481	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
2		qex 12199	. . . 4 ⊢ ℚ ∈ V
3	1, 2	rpnnen1 12221	. . 3 ⊢ ℝ ≼ (ℚ ↑𝑚 ℕ)
4		qnnen 15387	. . . . . . 7 ⊢ ℚ ≈ ℕ
5	1	canth2 8507	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≺ 𝒫 ℕ
6		ensdomtr 8490	. . . . . . 7 ⊢ ((ℚ ≈ ℕ ∧ ℕ ≺ 𝒫 ℕ) → ℚ ≺ 𝒫 ℕ)
7	4, 5, 6	mp2an 688	. . . . . 6 ⊢ ℚ ≺ 𝒫 ℕ
8		sdomdom 8375	. . . . . 6 ⊢ (ℚ ≺ 𝒫 ℕ → ℚ ≼ 𝒫 ℕ)
9		mapdom1 8519	. . . . . 6 ⊢ (ℚ ≼ 𝒫 ℕ → (ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ (𝒫 ℕ ↑𝑚 ℕ))
10	7, 8, 9	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ (𝒫 ℕ ↑𝑚 ℕ)
11	1	pw2en 8461	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 ℕ ≈ (2o ↑𝑚 ℕ)
12	1	enref 8380	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≈ ℕ
13		mapen 8518	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 ℕ ≈ (2o ↑𝑚 ℕ) ∧ ℕ ≈ ℕ) → (𝒫 ℕ ↑𝑚 ℕ) ≈ ((2o ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ))
14	11, 12, 13	mp2an 688	. . . . 5 ⊢ (𝒫 ℕ ↑𝑚 ℕ) ≈ ((2o ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ)
15		domentr 8406	. . . . 5 ⊢ (((ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ (𝒫 ℕ ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝒫 ℕ ↑𝑚 ℕ) ≈ ((2o ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ)) → (ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ ((2o ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ))
16	10, 14, 15	mp2an 688	. . . 4 ⊢ (ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ ((2o ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ)
17		2onn 8107	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
18		mapxpen 8520	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ ℕ ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → ((2o ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ) ≈ (2o ↑𝑚 (ℕ × ℕ)))
19	17, 1, 1, 18	mp3an 1451	. . . . . 6 ⊢ ((2o ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ) ≈ (2o ↑𝑚 (ℕ × ℕ))
20	17	elexi 3451	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ V
21	20	enref 8380	. . . . . . 7 ⊢ 2o ≈ 2o
22		xpnnen 15385	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
23		mapen 8518	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ≈ 2o ∧ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ) → (2o ↑𝑚 (ℕ × ℕ)) ≈ (2o ↑𝑚 ℕ))
24	21, 22, 23	mp2an 688	. . . . . 6 ⊢ (2o ↑𝑚 (ℕ × ℕ)) ≈ (2o ↑𝑚 ℕ)
25	19, 24	entri 8401	. . . . 5 ⊢ ((2o ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ) ≈ (2o ↑𝑚 ℕ)
26	25, 11	entr4i 8404	. . . 4 ⊢ ((2o ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ) ≈ 𝒫 ℕ
27		domentr 8406	. . . 4 ⊢ (((ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ ((2o ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ) ∧ ((2o ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ) ≈ 𝒫 ℕ) → (ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ 𝒫 ℕ)
28	16, 26, 27	mp2an 688	. . 3 ⊢ (ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ 𝒫 ℕ
29		domtr 8400	. . 3 ⊢ ((ℝ ≼ (ℚ ↑𝑚 ℕ) ∧ (ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ 𝒫 ℕ) → ℝ ≼ 𝒫 ℕ)
30	3, 28, 29	mp2an 688	. 2 ⊢ ℝ ≼ 𝒫 ℕ
31		rpnnen2 15400	. . 3 ⊢ 𝒫 ℕ ≼ (0[,]1)
32		reex 10463	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
33		unitssre 12724	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
34		ssdomg 8393	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ V → ((0[,]1) ⊆ ℝ → (0[,]1) ≼ ℝ))
35	32, 33, 34	mp2 9	. . 3 ⊢ (0[,]1) ≼ ℝ
36		domtr 8400	. . 3 ⊢ ((𝒫 ℕ ≼ (0[,]1) ∧ (0[,]1) ≼ ℝ) → 𝒫 ℕ ≼ ℝ)
37	31, 35, 36	mp2an 688	. 2 ⊢ 𝒫 ℕ ≼ ℝ
38		sbth 8474	. 2 ⊢ ((ℝ ≼ 𝒫 ℕ ∧ 𝒫 ℕ ≼ ℝ) → ℝ ≈ 𝒫 ℕ)
39	30, 37, 38	mp2an 688	1 ⊢ ℝ ≈ 𝒫 ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2079  Vcvv 3432   ⊆ wss 3854  𝒫 cpw 4447   class class class wbr 4956   × cxp 5433  (class class class)co 7007  ωcom 7427  2_oc2o 7938   ↑_𝑚 cmap 8247   ≈ cen 8344   ≼ cdom 8345   ≺ csdm 8346  ℝcr 10371  0cc0 10372  1c1 10373  ℕcn 11475  ℚcq 12186  [,]cicc 12580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-inf2 8939  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-fal 1533  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-se 5395  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-isom 6226  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-2o 7945  df-oadd 7948  df-omul 7949  df-er 8130  df-map 8249  df-pm 8250  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-sup 8742  df-inf 8743  df-oi 8810  df-card 9203  df-acn 9206  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-n0 11735  df-z 11819  df-uz 12083  df-q 12187  df-rp 12229  df-ico 12583  df-icc 12584  df-fz 12732  df-fzo 12873  df-fl 13000  df-seq 13208  df-exp 13268  df-hash 13529  df-cj 14280  df-re 14281  df-im 14282  df-sqrt 14416  df-abs 14417  df-limsup 14650  df-clim 14667  df-rlim 14668  df-sum 14865

This theorem is referenced by:  rexpen  15402  cpnnen  15403  rucALT  15404  cnso  15421  2ndcredom  21730  opnreen  23110