Theorem rpnnen 16395

Description: The cardinality of the continuum is the same as the powerset of ω. This is a stronger statement than ruc 16411, which only asserts that ℝ is uncountable, i.e. has a cardinality larger than ω. The main proof is in two parts, rpnnen1 13111 and rpnnen2 16394, each showing an injection in one direction, and this last part uses sbth 9116 to prove that the sets are equinumerous. By constructing explicit injections, we avoid the use of AC. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpnnen	⊢ ℝ ≈ 𝒫 ℕ

Proof of Theorem rpnnen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 12341	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
2		qex 13088	. . . 4 ⊢ ℚ ∈ V
3	1, 2	rpnnen1 13111	. . 3 ⊢ ℝ ≼ (ℚ ↑m ℕ)
4		qnnen 16381	. . . . . . 7 ⊢ ℚ ≈ ℕ
5	1	canth2 9149	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≺ 𝒫 ℕ
6		ensdomtr 9132	. . . . . . 7 ⊢ ((ℚ ≈ ℕ ∧ ℕ ≺ 𝒫 ℕ) → ℚ ≺ 𝒫 ℕ)
7	4, 5, 6	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ℚ ≺ 𝒫 ℕ
8		sdomdom 9007	. . . . . 6 ⊢ (ℚ ≺ 𝒫 ℕ → ℚ ≼ 𝒫 ℕ)
9		mapdom1 9161	. . . . . 6 ⊢ (ℚ ≼ 𝒫 ℕ → (ℚ ↑m ℕ) ≼ (𝒫 ℕ ↑m ℕ))
10	7, 8, 9	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (ℚ ↑m ℕ) ≼ (𝒫 ℕ ↑m ℕ)
11	1	pw2en 9103	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 ℕ ≈ (2o ↑m ℕ)
12	1	enref 9012	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≈ ℕ
13		mapen 9160	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 ℕ ≈ (2o ↑m ℕ) ∧ ℕ ≈ ℕ) → (𝒫 ℕ ↑m ℕ) ≈ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ))
14	11, 12, 13	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (𝒫 ℕ ↑m ℕ) ≈ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ)
15		domentr 9040	. . . . 5 ⊢ (((ℚ ↑m ℕ) ≼ (𝒫 ℕ ↑m ℕ) ∧ (𝒫 ℕ ↑m ℕ) ≈ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ)) → (ℚ ↑m ℕ) ≼ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ))
16	10, 14, 15	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (ℚ ↑m ℕ) ≼ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ)
17		2onn 8651	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
18		mapxpen 9162	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ ℕ ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ) ≈ (2o ↑m (ℕ × ℕ)))
19	17, 1, 1, 18	mp3an 1490	. . . . . 6 ⊢ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ) ≈ (2o ↑m (ℕ × ℕ))
20	17	elexi 3472	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ V
21	20	enref 9012	. . . . . . 7 ⊢ 2o ≈ 2o
22		xpnnen 16379	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
23		mapen 9160	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ≈ 2o ∧ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ) → (2o ↑m (ℕ × ℕ)) ≈ (2o ↑m ℕ))
24	21, 22, 23	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (2o ↑m (ℕ × ℕ)) ≈ (2o ↑m ℕ)
25	19, 24	entri 9035	. . . . 5 ⊢ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ) ≈ (2o ↑m ℕ)
26	25, 11	entr4i 9038	. . . 4 ⊢ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ) ≈ 𝒫 ℕ
27		domentr 9040	. . . 4 ⊢ (((ℚ ↑m ℕ) ≼ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ) ∧ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ) ≈ 𝒫 ℕ) → (ℚ ↑m ℕ) ≼ 𝒫 ℕ)
28	16, 26, 27	mp2an 705	. . 3 ⊢ (ℚ ↑m ℕ) ≼ 𝒫 ℕ
29		domtr 9034	. . 3 ⊢ ((ℝ ≼ (ℚ ↑m ℕ) ∧ (ℚ ↑m ℕ) ≼ 𝒫 ℕ) → ℝ ≼ 𝒫 ℕ)
30	3, 28, 29	mp2an 705	. 2 ⊢ ℝ ≼ 𝒫 ℕ
31		rpnnen2 16394	. . 3 ⊢ 𝒫 ℕ ≼ (0[,]1)
32		reex 11291	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
33		unitssre 13630	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
34		ssdomg 9027	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ V → ((0[,]1) ⊆ ℝ → (0[,]1) ≼ ℝ))
35	32, 33, 34	mp2 9	. . 3 ⊢ (0[,]1) ≼ ℝ
36		domtr 9034	. . 3 ⊢ ((𝒫 ℕ ≼ (0[,]1) ∧ (0[,]1) ≼ ℝ) → 𝒫 ℕ ≼ ℝ)
37	31, 35, 36	mp2an 705	. 2 ⊢ 𝒫 ℕ ≼ ℝ
38		sbth 9116	. 2 ⊢ ((ℝ ≼ 𝒫 ℕ ∧ 𝒫 ℕ ≼ ℝ) → ℝ ≈ 𝒫 ℕ)
39	30, 37, 38	mp2an 705	1 ⊢ ℝ ≈ 𝒫 ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5102   × cxp 5648  (class class class)co 7420  ωcom 7877  2_oc2o 8470   ↑_m cmap 8847   ≈ cen 8970   ≼ cdom 8971   ≺ csdm 8972  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201  ℕcn 12335  ℚcq 13075  [,]cicc 13479

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-omul 8481  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-acn 10023  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854

This theorem is used by:  rexpen  16396  cpnnen  16397  rucALT  16398  cnso  16415  2ndcredom  23768  opnreen  25151