Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen 15574
 Description: The cardinality of the continuum is the same as the powerset of ω. This is a stronger statement than ruc 15590, which only asserts that ℝ is uncountable, i.e. has a cardinality larger than ω. The main proof is in two parts, rpnnen1 12372 and rpnnen2 15573, each showing an injection in one direction, and this last part uses sbth 8623 to prove that the sets are equinumerous. By constructing explicit injections, we avoid the use of AC. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
rpnnen ℝ ≈ 𝒫 ℕ

Proof of Theorem rpnnen
StepHypRef Expression
1 nnex 11633 . . . 4 ℕ ∈ V
2 qex 12350 . . . 4 ℚ ∈ V
31, 2rpnnen1 12372 . . 3 ℝ ≼ (ℚ ↑m ℕ)
4 qnnen 15560 . . . . . . 7 ℚ ≈ ℕ
51canth2 8656 . . . . . . 7 ℕ ≺ 𝒫 ℕ
6 ensdomtr 8639 . . . . . . 7 ((ℚ ≈ ℕ ∧ ℕ ≺ 𝒫 ℕ) → ℚ ≺ 𝒫 ℕ)
74, 5, 6mp2an 691 . . . . . 6 ℚ ≺ 𝒫 ℕ
8 sdomdom 8522 . . . . . 6 (ℚ ≺ 𝒫 ℕ → ℚ ≼ 𝒫 ℕ)
9 mapdom1 8668 . . . . . 6 (ℚ ≼ 𝒫 ℕ → (ℚ ↑m ℕ) ≼ (𝒫 ℕ ↑m ℕ))
107, 8, 9mp2b 10 . . . . 5 (ℚ ↑m ℕ) ≼ (𝒫 ℕ ↑m ℕ)
111pw2en 8609 . . . . . 6 𝒫 ℕ ≈ (2om ℕ)
121enref 8527 . . . . . 6 ℕ ≈ ℕ
13 mapen 8667 . . . . . 6 ((𝒫 ℕ ≈ (2om ℕ) ∧ ℕ ≈ ℕ) → (𝒫 ℕ ↑m ℕ) ≈ ((2om ℕ) ↑m ℕ))
1411, 12, 13mp2an 691 . . . . 5 (𝒫 ℕ ↑m ℕ) ≈ ((2om ℕ) ↑m ℕ)
15 domentr 8553 . . . . 5 (((ℚ ↑m ℕ) ≼ (𝒫 ℕ ↑m ℕ) ∧ (𝒫 ℕ ↑m ℕ) ≈ ((2om ℕ) ↑m ℕ)) → (ℚ ↑m ℕ) ≼ ((2om ℕ) ↑m ℕ))
1610, 14, 15mp2an 691 . . . 4 (ℚ ↑m ℕ) ≼ ((2om ℕ) ↑m ℕ)
17 2onn 8251 . . . . . . 7 2o ∈ ω
18 mapxpen 8669 . . . . . . 7 ((2o ∈ ω ∧ ℕ ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → ((2om ℕ) ↑m ℕ) ≈ (2om (ℕ × ℕ)))
1917, 1, 1, 18mp3an 1458 . . . . . 6 ((2om ℕ) ↑m ℕ) ≈ (2om (ℕ × ℕ))
2017elexi 3460 . . . . . . . 8 2o ∈ V
2120enref 8527 . . . . . . 7 2o ≈ 2o
22 xpnnen 15558 . . . . . . 7 (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
23 mapen 8667 . . . . . . 7 ((2o ≈ 2o ∧ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ) → (2om (ℕ × ℕ)) ≈ (2om ℕ))
2421, 22, 23mp2an 691 . . . . . 6 (2om (ℕ × ℕ)) ≈ (2om ℕ)
2519, 24entri 8548 . . . . 5 ((2om ℕ) ↑m ℕ) ≈ (2om ℕ)
2625, 11entr4i 8551 . . . 4 ((2om ℕ) ↑m ℕ) ≈ 𝒫 ℕ
27 domentr 8553 . . . 4 (((ℚ ↑m ℕ) ≼ ((2om ℕ) ↑m ℕ) ∧ ((2om ℕ) ↑m ℕ) ≈ 𝒫 ℕ) → (ℚ ↑m ℕ) ≼ 𝒫 ℕ)
2816, 26, 27mp2an 691 . . 3 (ℚ ↑m ℕ) ≼ 𝒫 ℕ
29 domtr 8547 . . 3 ((ℝ ≼ (ℚ ↑m ℕ) ∧ (ℚ ↑m ℕ) ≼ 𝒫 ℕ) → ℝ ≼ 𝒫 ℕ)
303, 28, 29mp2an 691 . 2 ℝ ≼ 𝒫 ℕ
31 rpnnen2 15573 . . 3 𝒫 ℕ ≼ (0[,]1)
32 reex 10619 . . . 4 ℝ ∈ V
33 unitssre 12879 . . . 4 (0[,]1) ⊆ ℝ
34 ssdomg 8540 . . . 4 (ℝ ∈ V → ((0[,]1) ⊆ ℝ → (0[,]1) ≼ ℝ))
3532, 33, 34mp2 9 . . 3 (0[,]1) ≼ ℝ
36 domtr 8547 . . 3 ((𝒫 ℕ ≼ (0[,]1) ∧ (0[,]1) ≼ ℝ) → 𝒫 ℕ ≼ ℝ)
3731, 35, 36mp2an 691 . 2 𝒫 ℕ ≼ ℝ
38 sbth 8623 . 2 ((ℝ ≼ 𝒫 ℕ ∧ 𝒫 ℕ ≼ ℝ) → ℝ ≈ 𝒫 ℕ)
3930, 37, 38mp2an 691 1 ℝ ≈ 𝒫 ℕ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  𝒫 cpw 4497   class class class wbr 5030   × cxp 5517  (class class class)co 7135  ωcom 7562  2oc2o 8081   ↑m cmap 8391   ≈ cen 8491   ≼ cdom 8492   ≺ csdm 8493  ℝcr 10527  0cc0 10528  1c1 10529  ℕcn 11627  ℚcq 12338  [,]cicc 12731 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-inf2 9090  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605  ax-pre-sup 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-2o 8088  df-oadd 8091  df-omul 8092  df-er 8274  df-map 8393  df-pm 8394  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-sup 8892  df-inf 8893  df-oi 8960  df-card 9354  df-acn 9357  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-div 11289  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-n0 11888  df-z 11972  df-uz 12234  df-q 12339  df-rp 12380  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12888  df-fzo 13031  df-fl 13159  df-seq 13367  df-exp 13428  df-hash 13689  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-limsup 14822  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037 This theorem is referenced by:  rexpen  15575  cpnnen  15576  rucALT  15577  cnso  15594  2ndcredom  22062  opnreen  23443
 Copyright terms: Public domain W3C validator