Theorem rpnnen 16150

Description: The cardinality of the continuum is the same as the powerset of ω. This is a stronger statement than ruc 16166, which only asserts that ℝ is uncountable, i.e. has a cardinality larger than ω. The main proof is in two parts, rpnnen1 12894 and rpnnen2 16149, each showing an injection in one direction, and this last part uses sbth 9023 to prove that the sets are equinumerous. By constructing explicit injections, we avoid the use of AC. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpnnen	⊢ ℝ ≈ 𝒫 ℕ

Proof of Theorem rpnnen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 12149	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
2		qex 12872	. . . 4 ⊢ ℚ ∈ V
3	1, 2	rpnnen1 12894	. . 3 ⊢ ℝ ≼ (ℚ ↑m ℕ)
4		qnnen 16136	. . . . . . 7 ⊢ ℚ ≈ ℕ
5	1	canth2 9056	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≺ 𝒫 ℕ
6		ensdomtr 9039	. . . . . . 7 ⊢ ((ℚ ≈ ℕ ∧ ℕ ≺ 𝒫 ℕ) → ℚ ≺ 𝒫 ℕ)
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ ℚ ≺ 𝒫 ℕ
8		sdomdom 8915	. . . . . 6 ⊢ (ℚ ≺ 𝒫 ℕ → ℚ ≼ 𝒫 ℕ)
9		mapdom1 9068	. . . . . 6 ⊢ (ℚ ≼ 𝒫 ℕ → (ℚ ↑m ℕ) ≼ (𝒫 ℕ ↑m ℕ))
10	7, 8, 9	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (ℚ ↑m ℕ) ≼ (𝒫 ℕ ↑m ℕ)
11	1	pw2en 9010	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 ℕ ≈ (2o ↑m ℕ)
12	1	enref 8920	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≈ ℕ
13		mapen 9067	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 ℕ ≈ (2o ↑m ℕ) ∧ ℕ ≈ ℕ) → (𝒫 ℕ ↑m ℕ) ≈ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ))
14	11, 12, 13	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (𝒫 ℕ ↑m ℕ) ≈ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ)
15		domentr 8948	. . . . 5 ⊢ (((ℚ ↑m ℕ) ≼ (𝒫 ℕ ↑m ℕ) ∧ (𝒫 ℕ ↑m ℕ) ≈ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ)) → (ℚ ↑m ℕ) ≼ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ))
16	10, 14, 15	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (ℚ ↑m ℕ) ≼ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ)
17		2onn 8568	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
18		mapxpen 9069	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ ℕ ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ) ≈ (2o ↑m (ℕ × ℕ)))
19	17, 1, 1, 18	mp3an 1463	. . . . . 6 ⊢ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ) ≈ (2o ↑m (ℕ × ℕ))
20	17	elexi 3461	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ V
21	20	enref 8920	. . . . . . 7 ⊢ 2o ≈ 2o
22		xpnnen 16134	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
23		mapen 9067	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ≈ 2o ∧ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ) → (2o ↑m (ℕ × ℕ)) ≈ (2o ↑m ℕ))
24	21, 22, 23	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (2o ↑m (ℕ × ℕ)) ≈ (2o ↑m ℕ)
25	19, 24	entri 8943	. . . . 5 ⊢ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ) ≈ (2o ↑m ℕ)
26	25, 11	entr4i 8946	. . . 4 ⊢ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ) ≈ 𝒫 ℕ
27		domentr 8948	. . . 4 ⊢ (((ℚ ↑m ℕ) ≼ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ) ∧ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ) ≈ 𝒫 ℕ) → (ℚ ↑m ℕ) ≼ 𝒫 ℕ)
28	16, 26, 27	mp2an 692	. . 3 ⊢ (ℚ ↑m ℕ) ≼ 𝒫 ℕ
29		domtr 8942	. . 3 ⊢ ((ℝ ≼ (ℚ ↑m ℕ) ∧ (ℚ ↑m ℕ) ≼ 𝒫 ℕ) → ℝ ≼ 𝒫 ℕ)
30	3, 28, 29	mp2an 692	. 2 ⊢ ℝ ≼ 𝒫 ℕ
31		rpnnen2 16149	. . 3 ⊢ 𝒫 ℕ ≼ (0[,]1)
32		reex 11115	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
33		unitssre 13413	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
34		ssdomg 8935	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ V → ((0[,]1) ⊆ ℝ → (0[,]1) ≼ ℝ))
35	32, 33, 34	mp2 9	. . 3 ⊢ (0[,]1) ≼ ℝ
36		domtr 8942	. . 3 ⊢ ((𝒫 ℕ ≼ (0[,]1) ∧ (0[,]1) ≼ ℝ) → 𝒫 ℕ ≼ ℝ)
37	31, 35, 36	mp2an 692	. 2 ⊢ 𝒫 ℕ ≼ ℝ
38		sbth 9023	. 2 ⊢ ((ℝ ≼ 𝒫 ℕ ∧ 𝒫 ℕ ≼ ℝ) → ℝ ≈ 𝒫 ℕ)
39	30, 37, 38	mp2an 692	1 ⊢ ℝ ≈ 𝒫 ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4552   class class class wbr 5096   × cxp 5620  (class class class)co 7356  ωcom 7806  2_oc2o 8389   ↑_m cmap 8761   ≈ cen 8878   ≼ cdom 8879   ≺ csdm 8880  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025  ℕcn 12143  ℚcq 12859  [,]cicc 13262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-card 9849  df-acn 9852  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-ico 13265  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-limsup 15392  df-clim 15409  df-rlim 15410  df-sum 15608

This theorem is referenced by:  rexpen  16151  cpnnen  16152  rucALT  16153  cnso  16170  2ndcredom  23392  opnreen  24774