Theorem rpnnen 16189

Description: The cardinality of the continuum is the same as the powerset of ω. This is a stronger statement than ruc 16205, which only asserts that ℝ is uncountable, i.e. has a cardinality larger than ω. The main proof is in two parts, rpnnen1 12928 and rpnnen2 16188, each showing an injection in one direction, and this last part uses sbth 9029 to prove that the sets are equinumerous. By constructing explicit injections, we avoid the use of AC. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpnnen	⊢ ℝ ≈ 𝒫 ℕ

Proof of Theorem rpnnen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 12175	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
2		qex 12906	. . . 4 ⊢ ℚ ∈ V
3	1, 2	rpnnen1 12928	. . 3 ⊢ ℝ ≼ (ℚ ↑m ℕ)
4		qnnen 16175	. . . . . . 7 ⊢ ℚ ≈ ℕ
5	1	canth2 9062	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≺ 𝒫 ℕ
6		ensdomtr 9045	. . . . . . 7 ⊢ ((ℚ ≈ ℕ ∧ ℕ ≺ 𝒫 ℕ) → ℚ ≺ 𝒫 ℕ)
7	4, 5, 6	mp2an 699	. . . . . 6 ⊢ ℚ ≺ 𝒫 ℕ
8		sdomdom 8921	. . . . . 6 ⊢ (ℚ ≺ 𝒫 ℕ → ℚ ≼ 𝒫 ℕ)
9		mapdom1 9074	. . . . . 6 ⊢ (ℚ ≼ 𝒫 ℕ → (ℚ ↑m ℕ) ≼ (𝒫 ℕ ↑m ℕ))
10	7, 8, 9	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (ℚ ↑m ℕ) ≼ (𝒫 ℕ ↑m ℕ)
11	1	pw2en 9016	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 ℕ ≈ (2o ↑m ℕ)
12	1	enref 8926	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≈ ℕ
13		mapen 9073	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 ℕ ≈ (2o ↑m ℕ) ∧ ℕ ≈ ℕ) → (𝒫 ℕ ↑m ℕ) ≈ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ))
14	11, 12, 13	mp2an 699	. . . . 5 ⊢ (𝒫 ℕ ↑m ℕ) ≈ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ)
15		domentr 8954	. . . . 5 ⊢ (((ℚ ↑m ℕ) ≼ (𝒫 ℕ ↑m ℕ) ∧ (𝒫 ℕ ↑m ℕ) ≈ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ)) → (ℚ ↑m ℕ) ≼ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ))
16	10, 14, 15	mp2an 699	. . . 4 ⊢ (ℚ ↑m ℕ) ≼ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ)
17		2onn 8572	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
18		mapxpen 9075	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ ℕ ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ) ≈ (2o ↑m (ℕ × ℕ)))
19	17, 1, 1, 18	mp3an 1470	. . . . . 6 ⊢ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ) ≈ (2o ↑m (ℕ × ℕ))
20	17	elexi 3455	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ V
21	20	enref 8926	. . . . . . 7 ⊢ 2o ≈ 2o
22		xpnnen 16173	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
23		mapen 9073	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ≈ 2o ∧ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ) → (2o ↑m (ℕ × ℕ)) ≈ (2o ↑m ℕ))
24	21, 22, 23	mp2an 699	. . . . . 6 ⊢ (2o ↑m (ℕ × ℕ)) ≈ (2o ↑m ℕ)
25	19, 24	entri 8949	. . . . 5 ⊢ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ) ≈ (2o ↑m ℕ)
26	25, 11	entr4i 8952	. . . 4 ⊢ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ) ≈ 𝒫 ℕ
27		domentr 8954	. . . 4 ⊢ (((ℚ ↑m ℕ) ≼ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ) ∧ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ) ≈ 𝒫 ℕ) → (ℚ ↑m ℕ) ≼ 𝒫 ℕ)
28	16, 26, 27	mp2an 699	. . 3 ⊢ (ℚ ↑m ℕ) ≼ 𝒫 ℕ
29		domtr 8948	. . 3 ⊢ ((ℝ ≼ (ℚ ↑m ℕ) ∧ (ℚ ↑m ℕ) ≼ 𝒫 ℕ) → ℝ ≼ 𝒫 ℕ)
30	3, 28, 29	mp2an 699	. 2 ⊢ ℝ ≼ 𝒫 ℕ
31		rpnnen2 16188	. . 3 ⊢ 𝒫 ℕ ≼ (0[,]1)
32		reex 11124	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
33		unitssre 13447	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
34		ssdomg 8941	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ V → ((0[,]1) ⊆ ℝ → (0[,]1) ≼ ℝ))
35	32, 33, 34	mp2 9	. . 3 ⊢ (0[,]1) ≼ ℝ
36		domtr 8948	. . 3 ⊢ ((𝒫 ℕ ≼ (0[,]1) ∧ (0[,]1) ≼ ℝ) → 𝒫 ℕ ≼ ℝ)
37	31, 35, 36	mp2an 699	. 2 ⊢ 𝒫 ℕ ≼ ℝ
38		sbth 9029	. 2 ⊢ ((ℝ ≼ 𝒫 ℕ ∧ 𝒫 ℕ ≼ ℝ) → ℝ ≈ 𝒫 ℕ)
39	30, 37, 38	mp2an 699	1 ⊢ ℝ ≈ 𝒫 ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433   ⊆ wss 3885  𝒫 cpw 4532   class class class wbr 5075   × cxp 5619  (class class class)co 7360  ωcom 7810  2_oc2o 8393   ↑_m cmap 8767   ≈ cen 8884   ≼ cdom 8885   ≺ csdm 8886  ℝcr 11032  0cc0 11033  1c1 11034  ℕcn 12169  ℚcq 12893  [,]cicc 13296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9858  df-acn 9861  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-limsup 15428  df-clim 15445  df-rlim 15446  df-sum 15644

This theorem is referenced by:  rexpen  16190  cpnnen  16191  rucALT  16192  cnso  16209  2ndcredom  23437  opnreen  24819