Theorem rpnnen 16348

Description: The cardinality of the continuum is the same as the powerset of ω. This is a stronger statement than ruc 16364, which only asserts that ℝ is uncountable, i.e. has a cardinality larger than ω. The main proof is in two parts, rpnnen1 13066 and rpnnen2 16347, each showing an injection in one direction, and this last part uses sbth 9095 to prove that the sets are equinumerous. By constructing explicit injections, we avoid the use of AC. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpnnen	⊢ ℝ ≈ 𝒫 ℕ

Proof of Theorem rpnnen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 12296	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
2		qex 13043	. . . 4 ⊢ ℚ ∈ V
3	1, 2	rpnnen1 13066	. . 3 ⊢ ℝ ≼ (ℚ ↑m ℕ)
4		qnnen 16334	. . . . . . 7 ⊢ ℚ ≈ ℕ
5	1	canth2 9128	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≺ 𝒫 ℕ
6		ensdomtr 9111	. . . . . . 7 ⊢ ((ℚ ≈ ℕ ∧ ℕ ≺ 𝒫 ℕ) → ℚ ≺ 𝒫 ℕ)
7	4, 5, 6	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ℚ ≺ 𝒫 ℕ
8		sdomdom 8986	. . . . . 6 ⊢ (ℚ ≺ 𝒫 ℕ → ℚ ≼ 𝒫 ℕ)
9		mapdom1 9140	. . . . . 6 ⊢ (ℚ ≼ 𝒫 ℕ → (ℚ ↑m ℕ) ≼ (𝒫 ℕ ↑m ℕ))
10	7, 8, 9	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (ℚ ↑m ℕ) ≼ (𝒫 ℕ ↑m ℕ)
11	1	pw2en 9082	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 ℕ ≈ (2o ↑m ℕ)
12	1	enref 8991	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≈ ℕ
13		mapen 9139	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 ℕ ≈ (2o ↑m ℕ) ∧ ℕ ≈ ℕ) → (𝒫 ℕ ↑m ℕ) ≈ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ))
14	11, 12, 13	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (𝒫 ℕ ↑m ℕ) ≈ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ)
15		domentr 9019	. . . . 5 ⊢ (((ℚ ↑m ℕ) ≼ (𝒫 ℕ ↑m ℕ) ∧ (𝒫 ℕ ↑m ℕ) ≈ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ)) → (ℚ ↑m ℕ) ≼ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ))
16	10, 14, 15	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (ℚ ↑m ℕ) ≼ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ)
17		2onn 8630	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
18		mapxpen 9141	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ ℕ ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ) ≈ (2o ↑m (ℕ × ℕ)))
19	17, 1, 1, 18	mp3an 1490	. . . . . 6 ⊢ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ) ≈ (2o ↑m (ℕ × ℕ))
20	17	elexi 3472	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ V
21	20	enref 8991	. . . . . . 7 ⊢ 2o ≈ 2o
22		xpnnen 16332	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
23		mapen 9139	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ≈ 2o ∧ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ) → (2o ↑m (ℕ × ℕ)) ≈ (2o ↑m ℕ))
24	21, 22, 23	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (2o ↑m (ℕ × ℕ)) ≈ (2o ↑m ℕ)
25	19, 24	entri 9014	. . . . 5 ⊢ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ) ≈ (2o ↑m ℕ)
26	25, 11	entr4i 9017	. . . 4 ⊢ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ) ≈ 𝒫 ℕ
27		domentr 9019	. . . 4 ⊢ (((ℚ ↑m ℕ) ≼ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ) ∧ ((2o ↑m ℕ) ↑m ℕ) ≈ 𝒫 ℕ) → (ℚ ↑m ℕ) ≼ 𝒫 ℕ)
28	16, 26, 27	mp2an 705	. . 3 ⊢ (ℚ ↑m ℕ) ≼ 𝒫 ℕ
29		domtr 9013	. . 3 ⊢ ((ℝ ≼ (ℚ ↑m ℕ) ∧ (ℚ ↑m ℕ) ≼ 𝒫 ℕ) → ℝ ≼ 𝒫 ℕ)
30	3, 28, 29	mp2an 705	. 2 ⊢ ℝ ≼ 𝒫 ℕ
31		rpnnen2 16347	. . 3 ⊢ 𝒫 ℕ ≼ (0[,]1)
32		reex 11248	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
33		unitssre 13585	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
34		ssdomg 9006	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ V → ((0[,]1) ⊆ ℝ → (0[,]1) ≼ ℝ))
35	32, 33, 34	mp2 9	. . 3 ⊢ (0[,]1) ≼ ℝ
36		domtr 9013	. . 3 ⊢ ((𝒫 ℕ ≼ (0[,]1) ∧ (0[,]1) ≼ ℝ) → 𝒫 ℕ ≼ ℝ)
37	31, 35, 36	mp2an 705	. 2 ⊢ 𝒫 ℕ ≼ ℝ
38		sbth 9095	. 2 ⊢ ((ℝ ≼ 𝒫 ℕ ∧ 𝒫 ℕ ≼ ℝ) → ℝ ≈ 𝒫 ℕ)
39	30, 37, 38	mp2an 705	1 ⊢ ℝ ≈ 𝒫 ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557   class class class wbr 5103   × cxp 5646  (class class class)co 7409  ωcom 7861  2_oc2o 8449   ↑_m cmap 8826   ≈ cen 8949   ≼ cdom 8950   ≺ csdm 8951  ℝcr 11156  0cc0 11157  1c1 11158  ℕcn 12290  ℚcq 13030  [,]cicc 13434

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-inf2 9620  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-q 13031  df-rp 13076  df-ico 13437  df-icc 13438  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-fl 13886  df-seq 14099  df-exp 14159  df-hash 14428  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-limsup 15591  df-clim 15608  df-rlim 15609  df-sum 15807

This theorem is used by:  rexpen  16349  cpnnen  16350  rucALT  16351  cnso  16368  2ndcredom  23715  opnreen  25098