MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pw2eng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pw2eng 9029
Description: The power set of a set is equinumerous to set exponentiation with a base of ordinal 2o. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
pw2eng (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ (2om 𝐴))

Proof of Theorem pw2eng
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwexg 5338 . . 3 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
2 ovexd 7397 . . 3 (𝐴𝑉 → ({∅, {∅}} ↑m 𝐴) ∈ V)
3 id 22 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴𝑉)
4 0ex 5269 . . . . 5 ∅ ∈ V
54a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → ∅ ∈ V)
6 p0ex 5344 . . . . 5 {∅} ∈ V
76a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → {∅} ∈ V)
8 0nep0 5318 . . . . 5 ∅ ≠ {∅}
98a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → ∅ ≠ {∅})
10 eqid 2737 . . . 4 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝑧𝐴 ↦ if(𝑧𝑥, {∅}, ∅))) = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝑧𝐴 ↦ if(𝑧𝑥, {∅}, ∅)))
113, 5, 7, 9, 10pw2f1o 9028 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝑧𝐴 ↦ if(𝑧𝑥, {∅}, ∅))):𝒫 𝐴1-1-onto→({∅, {∅}} ↑m 𝐴))
12 f1oen2g 8915 . . 3 ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ ({∅, {∅}} ↑m 𝐴) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝑧𝐴 ↦ if(𝑧𝑥, {∅}, ∅))):𝒫 𝐴1-1-onto→({∅, {∅}} ↑m 𝐴)) → 𝒫 𝐴 ≈ ({∅, {∅}} ↑m 𝐴))
131, 2, 11, 12syl3anc 1372 . 2 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ ({∅, {∅}} ↑m 𝐴))
14 df2o2 8426 . . 3 2o = {∅, {∅}}
1514oveq1i 7372 . 2 (2om 𝐴) = ({∅, {∅}} ↑m 𝐴)
1613, 15breqtrrdi 5152 1 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ (2om 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  wne 2944  Vcvv 3448  c0 4287  ifcif 4491  𝒫 cpw 4565  {csn 4591  {cpr 4593   class class class wbr 5110  cmpt 5193  1-1-ontowf1o 6500  (class class class)co 7362  2oc2o 8411  m cmap 8772  cen 8887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1o 8417  df-2o 8418  df-map 8774  df-en 8891
This theorem is referenced by:  pw2en  9030  pwen  9101  mappwen  10055  pwdjuen  10124  ackbij1lem5  10167  hauspwdom  22868  enrelmap  42343
  Copyright terms: Public domain W3C validator