Theorem pw2eng 9018

Description: The power set of a set is equinumerous to set exponentiation with a base of ordinal 2_o. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pw2eng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑m 𝐴))

Proof of Theorem pw2eng

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 5314	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
2		ovexd 7398	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅, {∅}} ↑m 𝐴) ∈ V)
3		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		0ex 5236	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅ ∈ V)
6		p0ex 5320	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {∅} ∈ V)
8		0nep0 5293	. . . . 5 ⊢ ∅ ≠ {∅}
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅ ≠ {∅})
10		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑥, {∅}, ∅))) = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑥, {∅}, ∅)))
11	3, 5, 7, 9, 10	pw2f1o 9017	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑥, {∅}, ∅))):𝒫 𝐴–1-1-onto→({∅, {∅}} ↑m 𝐴))
12		f1oen2g 8912	. . 3 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ ({∅, {∅}} ↑m 𝐴) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑥, {∅}, ∅))):𝒫 𝐴–1-1-onto→({∅, {∅}} ↑m 𝐴)) → 𝒫 𝐴 ≈ ({∅, {∅}} ↑m 𝐴))
13	1, 2, 11, 12	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ ({∅, {∅}} ↑m 𝐴))
14		df2o2 8411	. . 3 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
15	14	oveq1i 7373	. 2 ⊢ (2o ↑m 𝐴) = ({∅, {∅}} ↑m 𝐴)
16	13, 15	breqtrrdi 5121	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑m 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  Vcvv 3432  ∅c0 4268  ifcif 4461  𝒫 cpw 4536  {csn 4562  {cpr 4564   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160  –1-1-onto→wf1o 6491  (class class class)co 7363  2_oc2o 8396   ↑_m cmap 8770   ≈ cen 8887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-1o 8402  df-2o 8403  df-map 8772  df-en 8891

This theorem is referenced by:  pw2en  9019  pwen  9085  mappwen  10032  pwdjuen  10102  ackbij1lem5  10143  hauspwdom  23491  enrelmap  44448