Theorem pw2eng 9072

Description: The power set of a set is equinumerous to set exponentiation with a base of ordinal 2_o. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pw2eng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑m 𝐴))

Proof of Theorem pw2eng

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 5351	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
2		ovexd 7447	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅, {∅}} ↑m 𝐴) ∈ V)
3		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		0ex 5271	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅ ∈ V)
6		p0ex 5357	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {∅} ∈ V)
8		0nep0 5330	. . . . 5 ⊢ ∅ ≠ {∅}
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅ ≠ {∅})
10		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑥, {∅}, ∅))) = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑥, {∅}, ∅)))
11	3, 5, 7, 9, 10	pw2f1o 9071	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑥, {∅}, ∅))):𝒫 𝐴–1-1-onto→({∅, {∅}} ↑m 𝐴))
12		f1oen2g 8966	. . 3 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ ({∅, {∅}} ↑m 𝐴) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑥, {∅}, ∅))):𝒫 𝐴–1-1-onto→({∅, {∅}} ↑m 𝐴)) → 𝒫 𝐴 ≈ ({∅, {∅}} ↑m 𝐴))
13	1, 2, 11, 12	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ ({∅, {∅}} ↑m 𝐴))
14		df2o2 8463	. . 3 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
15	14	oveq1i 7422	. 2 ⊢ (2o ↑m 𝐴) = ({∅, {∅}} ↑m 𝐴)
16	13, 15	breqtrrdi 5154	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑m 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  Vcvv 3455  ∅c0 4287  ifcif 4488  𝒫 cpw 4563  {csn 4590  {cpr 4592   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  –1-1-onto→wf1o 6537  (class class class)co 7412  2_oc2o 8448   ↑_m cmap 8825   ≈ cen 8941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1o 8454  df-2o 8455  df-map 8827  df-en 8945

This theorem is referenced by:  pw2en  9073  pwen  9139  mappwen  10097  pwdjuen  10166  ackbij1lem5  10207  hauspwdom  23639  enrelmap  44703