Theorem pw2eng 9023

Description: The power set of a set is equinumerous to set exponentiation with a base of ordinal 2_o. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pw2eng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑m 𝐴))

Proof of Theorem pw2eng

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 5325	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
2		ovexd 7403	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅, {∅}} ↑m 𝐴) ∈ V)
3		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		0ex 5254	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅ ∈ V)
6		p0ex 5331	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {∅} ∈ V)
8		0nep0 5305	. . . . 5 ⊢ ∅ ≠ {∅}
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅ ≠ {∅})
10		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑥, {∅}, ∅))) = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑥, {∅}, ∅)))
11	3, 5, 7, 9, 10	pw2f1o 9022	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑥, {∅}, ∅))):𝒫 𝐴–1-1-onto→({∅, {∅}} ↑m 𝐴))
12		f1oen2g 8917	. . 3 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ ({∅, {∅}} ↑m 𝐴) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑥, {∅}, ∅))):𝒫 𝐴–1-1-onto→({∅, {∅}} ↑m 𝐴)) → 𝒫 𝐴 ≈ ({∅, {∅}} ↑m 𝐴))
13	1, 2, 11, 12	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ ({∅, {∅}} ↑m 𝐴))
14		df2o2 8416	. . 3 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
15	14	oveq1i 7378	. 2 ⊢ (2o ↑m 𝐴) = ({∅, {∅}} ↑m 𝐴)
16	13, 15	breqtrrdi 5142	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑m 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3442  ∅c0 4287  ifcif 4481  𝒫 cpw 4556  {csn 4582  {cpr 4584   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  –1-1-onto→wf1o 6499  (class class class)co 7368  2_oc2o 8401   ↑_m cmap 8775   ≈ cen 8892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1o 8407  df-2o 8408  df-map 8777  df-en 8896

This theorem is referenced by:  pw2en  9024  pwen  9090  mappwen  10034  pwdjuen  10104  ackbij1lem5  10145  hauspwdom  23457  enrelmap  44347