Theorem pw2eng 8996

Description: The power set of a set is equinumerous to set exponentiation with a base of ordinal 2_o. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pw2eng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑m 𝐴))

Proof of Theorem pw2eng

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 5316	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
2		ovexd 7381	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅, {∅}} ↑m 𝐴) ∈ V)
3		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		0ex 5245	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅ ∈ V)
6		p0ex 5322	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {∅} ∈ V)
8		0nep0 5296	. . . . 5 ⊢ ∅ ≠ {∅}
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅ ≠ {∅})
10		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑥, {∅}, ∅))) = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑥, {∅}, ∅)))
11	3, 5, 7, 9, 10	pw2f1o 8995	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑥, {∅}, ∅))):𝒫 𝐴–1-1-onto→({∅, {∅}} ↑m 𝐴))
12		f1oen2g 8891	. . 3 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ ({∅, {∅}} ↑m 𝐴) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑥, {∅}, ∅))):𝒫 𝐴–1-1-onto→({∅, {∅}} ↑m 𝐴)) → 𝒫 𝐴 ≈ ({∅, {∅}} ↑m 𝐴))
13	1, 2, 11, 12	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ ({∅, {∅}} ↑m 𝐴))
14		df2o2 8394	. . 3 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
15	14	oveq1i 7356	. 2 ⊢ (2o ↑m 𝐴) = ({∅, {∅}} ↑m 𝐴)
16	13, 15	breqtrrdi 5133	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑m 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  Vcvv 3436  ∅c0 4283  ifcif 4475  𝒫 cpw 4550  {csn 4576  {cpr 4578   class class class wbr 5091   ↦ cmpt 5172  –1-1-onto→wf1o 6480  (class class class)co 7346  2_oc2o 8379   ↑_m cmap 8750   ≈ cen 8866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1o 8385  df-2o 8386  df-map 8752  df-en 8870

This theorem is referenced by:  pw2en  8997  pwen  9063  mappwen  10000  pwdjuen  10070  ackbij1lem5  10111  hauspwdom  23414  enrelmap  44029