MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pw2eng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pw2eng 9077
Description: The power set of a set is equinumerous to set exponentiation with a base of ordinal 2o. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
pw2eng (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ (2om 𝐴))

Proof of Theorem pw2eng
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwexg 5369 . . 3 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
2 ovexd 7439 . . 3 (𝐴𝑉 → ({∅, {∅}} ↑m 𝐴) ∈ V)
3 id 22 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴𝑉)
4 0ex 5300 . . . . 5 ∅ ∈ V
54a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → ∅ ∈ V)
6 p0ex 5375 . . . . 5 {∅} ∈ V
76a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → {∅} ∈ V)
8 0nep0 5349 . . . . 5 ∅ ≠ {∅}
98a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → ∅ ≠ {∅})
10 eqid 2726 . . . 4 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝑧𝐴 ↦ if(𝑧𝑥, {∅}, ∅))) = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝑧𝐴 ↦ if(𝑧𝑥, {∅}, ∅)))
113, 5, 7, 9, 10pw2f1o 9076 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝑧𝐴 ↦ if(𝑧𝑥, {∅}, ∅))):𝒫 𝐴1-1-onto→({∅, {∅}} ↑m 𝐴))
12 f1oen2g 8963 . . 3 ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ ({∅, {∅}} ↑m 𝐴) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝑧𝐴 ↦ if(𝑧𝑥, {∅}, ∅))):𝒫 𝐴1-1-onto→({∅, {∅}} ↑m 𝐴)) → 𝒫 𝐴 ≈ ({∅, {∅}} ↑m 𝐴))
131, 2, 11, 12syl3anc 1368 . 2 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ ({∅, {∅}} ↑m 𝐴))
14 df2o2 8473 . . 3 2o = {∅, {∅}}
1514oveq1i 7414 . 2 (2om 𝐴) = ({∅, {∅}} ↑m 𝐴)
1613, 15breqtrrdi 5183 1 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ (2om 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2098  wne 2934  Vcvv 3468  c0 4317  ifcif 4523  𝒫 cpw 4597  {csn 4623  {cpr 4625   class class class wbr 5141  cmpt 5224  1-1-ontowf1o 6535  (class class class)co 7404  2oc2o 8458  m cmap 8819  cen 8935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1o 8464  df-2o 8465  df-map 8821  df-en 8939
This theorem is referenced by:  pw2en  9078  pwen  9149  mappwen  10106  pwdjuen  10175  ackbij1lem5  10218  hauspwdom  23356  enrelmap  43305
  Copyright terms: Public domain W3C validator