Theorem renegeulem 43208

Description: Lemma for renegeu 43209 and similar. Remove a change in bound variables from renegeulemv 43207. (Contributed by Steven Nguyen, 28-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegeulemv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
renegeulemv.1	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
renegeulem	⊢ (𝜑 → ∃!𝑦 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝜑,𝑦

Proof of Theorem renegeulem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegeulemv.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		renegeulemv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)
3	1, 2	renegeulemv 43207	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4		reurex 3375	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
6	1, 5	renegeulemv 43207	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑦 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091  ∃!wreu 3369  (class class class)co 7420  ℝcr 11119   + caddc 11123

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-resscn 11177  ax-addrcl 11181  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7423  df-er 8701  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-ltxr 11268

This theorem is used by:  renegeu  43209  resubeu  43216