Theorem renegeulem 42855

Description: Lemma for renegeu 42856 and similar. Remove a change in bound variables from renegeulemv 42854. (Contributed by Steven Nguyen, 28-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegeulemv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
renegeulemv.1	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
renegeulem	⊢ (𝜑 → ∃!𝑦 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝜑,𝑦

Proof of Theorem renegeulem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegeulemv.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		renegeulemv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)
3	1, 2	renegeulemv 42854	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4		reurex 3348	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
6	1, 5	renegeulemv 42854	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑦 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063  ∃!wreu 3342  (class class class)co 7357  ℝcr 11029   + caddc 11033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-resscn 11087  ax-addrcl 11091  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7360  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-ltxr 11176

This theorem is referenced by:  renegeu  42856  resubeu  42863