Theorem resubeu 42410

Description: Existential uniqueness of real differences. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
resubeu	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem resubeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rernegcl 42404	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
3	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
4		elre0re 42287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
5	4, 4	readdcld 11136	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + 0) ∈ ℝ)
6		rernegcl 42404	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + 0) ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 + 0)) ∈ ℝ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 + 0)) ∈ ℝ)
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 −ℝ (0 + 0)) ∈ ℝ)
9		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	8, 9	readdcld 11136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵) ∈ ℝ)
11	3, 10	readdcld 11136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵)) ∈ ℝ)
12		resubeulem2 42409	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵))) = 𝐵)
13		oveq2 7349	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵)) → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵))))
14	13	eqeq1d 2733	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝑥) = 𝐵 ↔ (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵))) = 𝐵))
15	14	rspcev 3572	. . 3 ⊢ ((((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵))) = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 𝐵)
16	11, 12, 15	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 𝐵)
17	1, 16	renegeulem 42402	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056  ∃!wreu 3344  (class class class)co 7341  ℝcr 11000  0cc0 11001   + caddc 11004   −_ℝ cresub 42398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-addrcl 11062  ax-addass 11066  ax-rnegex 11072  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-ltxr 11146  df-resub 42399

This theorem is referenced by:  rersubcl  42411  resubadd  42412  resubeqsub  42463