Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resubeu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resubeu 42407
Description: Existential uniqueness of real differences. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
resubeu ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem resubeu
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 rernegcl 42401 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (0 − 𝐴) ∈ ℝ)
32adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 − 𝐴) ∈ ℝ)
4 elre0re 42295 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
54, 4readdcld 11290 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (0 + 0) ∈ ℝ)
6 rernegcl 42401 . . . . . . 7 ((0 + 0) ∈ ℝ → (0 − (0 + 0)) ∈ ℝ)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (0 − (0 + 0)) ∈ ℝ)
87adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 − (0 + 0)) ∈ ℝ)
9 simpr 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
108, 9readdcld 11290 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 − (0 + 0)) + 𝐵) ∈ ℝ)
113, 10readdcld 11290 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 − 𝐴) + ((0 − (0 + 0)) + 𝐵)) ∈ ℝ)
12 resubeulem2 42406 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + ((0 − 𝐴) + ((0 − (0 + 0)) + 𝐵))) = 𝐵)
13 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑥 = ((0 − 𝐴) + ((0 − (0 + 0)) + 𝐵)) → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + ((0 − 𝐴) + ((0 − (0 + 0)) + 𝐵))))
1413eqeq1d 2739 . . . 4 (𝑥 = ((0 − 𝐴) + ((0 − (0 + 0)) + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝑥) = 𝐵 ↔ (𝐴 + ((0 − 𝐴) + ((0 − (0 + 0)) + 𝐵))) = 𝐵))
1514rspcev 3622 . . 3 ((((0 − 𝐴) + ((0 − (0 + 0)) + 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + ((0 − 𝐴) + ((0 − (0 + 0)) + 𝐵))) = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 𝐵)
1611, 12, 15syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 𝐵)
171, 16renegeulem 42399 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  ∃!wreu 3378  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158   cresub 42395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-addrcl 11216  ax-addass 11220  ax-rnegex 11226  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-resub 42396
This theorem is referenced by:  rersubcl  42408  resubadd  42409  resubeqsub  42459
  Copyright terms: Public domain W3C validator