Theorem resubeu 40360

Description: Existential uniqueness of real differences. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
resubeu	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem resubeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rernegcl 40354	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
3	2	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
4		elre0re 40291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
5	4, 4	readdcld 11004	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + 0) ∈ ℝ)
6		rernegcl 40354	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + 0) ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 + 0)) ∈ ℝ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 + 0)) ∈ ℝ)
8	7	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 −ℝ (0 + 0)) ∈ ℝ)
9		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	8, 9	readdcld 11004	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵) ∈ ℝ)
11	3, 10	readdcld 11004	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵)) ∈ ℝ)
12		resubeulem2 40359	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵))) = 𝐵)
13		oveq2 7283	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵)) → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵))))
14	13	eqeq1d 2740	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝑥) = 𝐵 ↔ (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵))) = 𝐵))
15	14	rspcev 3561	. . 3 ⊢ ((((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵))) = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 𝐵)
16	11, 12, 15	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 𝐵)
17	1, 16	renegeulem 40352	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065  ∃!wreu 3066  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871   + caddc 10874   −_ℝ cresub 40348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-addrcl 10932  ax-addass 10936  ax-rnegex 10942  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-resub 40349

This theorem is referenced by:  rersubcl  40361  resubadd  40362  resubeqsub  40411