Theorem resubeu 43694

Description: Existential uniqueness of real differences. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
resubeu	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem resubeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rernegcl 43688	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
3	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
4		elre0re 43571	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
5	4, 4	readdcld 11377	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + 0) ∈ ℝ)
6		rernegcl 43688	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + 0) ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 + 0)) ∈ ℝ)
7	5, 6	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 + 0)) ∈ ℝ)
8	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 −ℝ (0 + 0)) ∈ ℝ)
9		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	8, 9	readdcld 11377	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵) ∈ ℝ)
11	3, 10	readdcld 11377	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵)) ∈ ℝ)
12		resubeulem2 43693	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵))) = 𝐵)
13		oveq2 7459	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵)) → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵))))
14	13	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝑥) = 𝐵 ↔ (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵))) = 𝐵))
15	14	rspcev 3580	. . 3 ⊢ ((((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ (0 + 0)) + 𝐵))) = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 𝐵)
16	11, 12, 15	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 𝐵)
17	1, 16	renegeulem 43686	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  ∃!wreu 3367  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  0cc0 11239   + caddc 11242   −_ℝ cresub 43682

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-addrcl 11300  ax-addass 11304  ax-rnegex 11310  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-ltxr 11387  df-resub 43683

This theorem is used by:  rersubcl  43695  resubadd  43696  resubeqsub  43747