Theorem renegeulemv 43053

Description: Lemma for renegeu 43055 and similar. Derive existential uniqueness from existence. (Contributed by Steven Nguyen, 28-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegeulemv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
renegeulemv.1	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
renegeulemv	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem renegeulemv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegeulemv.1	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)
2		simprl 782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
3		simplrr 789	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)
4	3	eqcomd 2775	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 = (𝐵 + 𝑦))
5	4	eqeq2d 2780	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝑥) = (𝐵 + 𝑦)))
6		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
7		simplrl 788	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
8		renegeulemv.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		readdcan 11384	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝑥) = (𝐵 + 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
11	6, 7, 9, 10	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝑥) = (𝐵 + 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
12	5, 11	bitrd 282	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝑥) = 𝐴 ↔ 𝑥 = 𝑦))
13	12	ralrimiva 3163	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) → ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐵 + 𝑥) = 𝐴 ↔ 𝑥 = 𝑦))
14		reu6i 3700	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐵 + 𝑥) = 𝐴 ↔ 𝑥 = 𝑦)) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
15	2, 13, 14	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
16	1, 15	rexlimddv 3178	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  ∃!wreu 3374  (class class class)co 7411  ℝcr 11099   + caddc 11103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-addrcl 11161  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-ltxr 11248

This theorem is referenced by:  renegeulem  43054