Theorem renegeulemv 42361

Description: Lemma for renegeu 42363 and similar. Derive existential uniqueness from existence. (Contributed by Steven Nguyen, 28-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegeulemv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
renegeulemv.1	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
renegeulemv	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem renegeulemv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegeulemv.1	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)
2		simprl 770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
3		simplrr 777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)
4	3	eqcomd 2740	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 = (𝐵 + 𝑦))
5	4	eqeq2d 2745	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝑥) = (𝐵 + 𝑦)))
6		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
7		simplrl 776	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
8		renegeulemv.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		readdcan 11417	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝑥) = (𝐵 + 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
11	6, 7, 9, 10	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝑥) = (𝐵 + 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
12	5, 11	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝑥) = 𝐴 ↔ 𝑥 = 𝑦))
13	12	ralrimiva 3133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) → ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐵 + 𝑥) = 𝐴 ↔ 𝑥 = 𝑦))
14		reu6i 3716	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐵 + 𝑥) = 𝐴 ↔ 𝑥 = 𝑦)) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
15	2, 13, 14	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
16	1, 15	rexlimddv 3148	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  ∃!wreu 3361  (class class class)co 7413  ℝcr 11136   + caddc 11140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-resscn 11194  ax-addrcl 11198  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7416  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-ltxr 11282

This theorem is referenced by:  renegeulem  42362