Theorem renegeulemv 40351

Description: Lemma for renegeu 40353 and similar. Derive existential uniqueness from existence. (Contributed by Steven Nguyen, 28-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegeulemv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
renegeulemv.1	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
renegeulemv	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem renegeulemv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegeulemv.1	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)
2		simprl 768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
3		simplrr 775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)
4	3	eqcomd 2744	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 = (𝐵 + 𝑦))
5	4	eqeq2d 2749	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝑥) = (𝐵 + 𝑦)))
6		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
7		simplrl 774	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
8		renegeulemv.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		readdcan 11149	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝑥) = (𝐵 + 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
11	6, 7, 9, 10	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝑥) = (𝐵 + 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
12	5, 11	bitrd 278	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝑥) = 𝐴 ↔ 𝑥 = 𝑦))
13	12	ralrimiva 3103	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) → ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐵 + 𝑥) = 𝐴 ↔ 𝑥 = 𝑦))
14		reu6i 3663	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐵 + 𝑥) = 𝐴 ↔ 𝑥 = 𝑦)) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
15	2, 13, 14	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
16	1, 15	rexlimddv 3220	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  ∃!wreu 3066  (class class class)co 7275  ℝcr 10870   + caddc 10874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-addrcl 10932  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014

This theorem is referenced by:  renegeulem  40352