Theorem renegeulemv 43157

Description: Lemma for renegeu 43159 and similar. Derive existential uniqueness from existence. (Contributed by Steven Nguyen, 28-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegeulemv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
renegeulemv.1	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
renegeulemv	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem renegeulemv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegeulemv.1	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)
2		simprl 782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
3		simplrr 789	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)
4	3	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 = (𝐵 + 𝑦))
5	4	eqeq2d 2774	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝑥) = (𝐵 + 𝑦)))
6		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
7		simplrl 788	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
8		renegeulemv.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		readdcan 11388	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝑥) = (𝐵 + 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
11	6, 7, 9, 10	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝑥) = (𝐵 + 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
12	5, 11	bitrd 282	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝑥) = 𝐴 ↔ 𝑥 = 𝑦))
13	12	ralrimiva 3157	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) → ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐵 + 𝑥) = 𝐴 ↔ 𝑥 = 𝑦))
14		reu6i 3691	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐵 + 𝑥) = 𝐴 ↔ 𝑥 = 𝑦)) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
15	2, 13, 14	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
16	1, 15	rexlimddv 3172	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  ∃!wreu 3367  (class class class)co 7410  ℝcr 11103   + caddc 11107

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11161  ax-addrcl 11165  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252

This theorem is used by:  renegeulem  43158