Theorem renegeulemv 42644

Description: Lemma for renegeu 42646 and similar. Derive existential uniqueness from existence. (Contributed by Steven Nguyen, 28-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegeulemv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
renegeulemv.1	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
renegeulemv	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem renegeulemv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegeulemv.1	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)
2		simprl 770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
3		simplrr 777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)
4	3	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 = (𝐵 + 𝑦))
5	4	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝑥) = (𝐵 + 𝑦)))
6		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
7		simplrl 776	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
8		renegeulemv.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		readdcan 11309	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝑥) = (𝐵 + 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
11	6, 7, 9, 10	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝑥) = (𝐵 + 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
12	5, 11	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝑥) = 𝐴 ↔ 𝑥 = 𝑦))
13	12	ralrimiva 3128	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) → ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐵 + 𝑥) = 𝐴 ↔ 𝑥 = 𝑦))
14		reu6i 3686	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐵 + 𝑥) = 𝐴 ↔ 𝑥 = 𝑦)) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
15	2, 13, 14	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑦) = 𝐴)) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
16	1, 15	rexlimddv 3143	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  ∃!wreu 3348  (class class class)co 7358  ℝcr 11027   + caddc 11031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11085  ax-addrcl 11089  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173

This theorem is referenced by:  renegeulem  42645