Theorem snfiOLD 9084

Description: Obsolete version of snfi 9083 as of 13-Jan-2025. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
snfiOLD	⊢ {𝐴} ∈ Fin

Proof of Theorem snfiOLD

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 8678	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
2		ensn1g 9062	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ≈ 1o)
3		breq2 5147	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1o → ({𝐴} ≈ 𝑥 ↔ {𝐴} ≈ 1o))
4	3	rspcev 3622	. . . 4 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ {𝐴} ≈ 1o) → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
5	1, 2, 4	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
6		snprc 4717	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
7		en0 9058	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ≈ ∅ ↔ {𝐴} = ∅)
8		peano1 7910	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
9		breq2 5147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → ({𝐴} ≈ 𝑥 ↔ {𝐴} ≈ ∅))
10	9	rspcev 3622	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ {𝐴} ≈ ∅) → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
11	8, 10	mpan 690	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ≈ ∅ → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
12	7, 11	sylbir 235	. . . 4 ⊢ ({𝐴} = ∅ → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
13	6, 12	sylbi 217	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
14	5, 13	pm2.61i 182	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥
15		isfi 9016	. 2 ⊢ ({𝐴} ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
16	14, 15	mpbir 231	1 ⊢ {𝐴} ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070  Vcvv 3480  ∅c0 4333  {csn 4626   class class class wbr 5143  ωcom 7887  1_oc1o 8499   ≈ cen 8982  Fincfn 8985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-mo 2540  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-om 7888  df-1o 8506  df-en 8986  df-fin 8989

This theorem is referenced by: (None)