Theorem ssclem 17900

Description: Lemma for ssc1 17902 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
isssc.1	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
ssclem	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ V ↔ 𝑆 ∈ V))

Proof of Theorem ssclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmxpid 5922	. . 3 ⊢ dom (𝑆 × 𝑆) = 𝑆
2		isssc.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
3	2	fndmd 6644	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝐻 = (𝑆 × 𝑆))
4	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 ∈ V) → dom 𝐻 = (𝑆 × 𝑆))
5		dmexg 7904	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ V → dom 𝐻 ∈ V)
6	5	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 ∈ V) → dom 𝐻 ∈ V)
7	4, 6	eqeltrrd 2866	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 ∈ V) → (𝑆 × 𝑆) ∈ V)
8	7	dmexd 7906	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 ∈ V) → dom (𝑆 × 𝑆) ∈ V)
9	1, 8	eqeltrrid 2870	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
10		sqxpexg 7760	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝑆 × 𝑆) ∈ V)
11		fnex 7222	. . 3 ⊢ ((𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆) ∧ (𝑆 × 𝑆) ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
12	2, 10, 11	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
13	9, 12	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ V ↔ 𝑆 ∈ V))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   × cxp 5661  dom cdm 5663   Fn wfn 6535

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548

This theorem is used by:  ssc1  17902