Theorem ssclem 17771

Description: Lemma for ssc1 17773 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
isssc.1	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
ssclem	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ V ↔ 𝑆 ∈ V))

Proof of Theorem ssclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmxpid 5929	. . 3 ⊢ dom (𝑆 × 𝑆) = 𝑆
2		isssc.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
3	2	fndmd 6654	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝐻 = (𝑆 × 𝑆))
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 ∈ V) → dom 𝐻 = (𝑆 × 𝑆))
5		dmexg 7897	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ V → dom 𝐻 ∈ V)
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 ∈ V) → dom 𝐻 ∈ V)
7	4, 6	eqeltrrd 2833	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 ∈ V) → (𝑆 × 𝑆) ∈ V)
8	7	dmexd 7899	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 ∈ V) → dom (𝑆 × 𝑆) ∈ V)
9	1, 8	eqeltrrid 2837	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
10		sqxpexg 7745	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝑆 × 𝑆) ∈ V)
11		fnex 7221	. . 3 ⊢ ((𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆) ∧ (𝑆 × 𝑆) ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
12	2, 10, 11	syl2an 595	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
13	9, 12	impbida 798	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ V ↔ 𝑆 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   × cxp 5674  dom cdm 5676   Fn wfn 6538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551

This theorem is referenced by:  ssc1  17773