Theorem ssclem 18006

Description: Lemma for ssc1 18008 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
isssc.1	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
ssclem	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ V ↔ 𝑆 ∈ V))

Proof of Theorem ssclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmxpid 5916	. . 3 ⊢ dom (𝑆 × 𝑆) = 𝑆
2		isssc.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
3	2	fndmd 6652	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝐻 = (𝑆 × 𝑆))
4	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 ∈ V) → dom 𝐻 = (𝑆 × 𝑆))
5		dmexg 7920	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ V → dom 𝐻 ∈ V)
6	5	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 ∈ V) → dom 𝐻 ∈ V)
7	4, 6	eqeltrrd 2864	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 ∈ V) → (𝑆 × 𝑆) ∈ V)
8	7	dmexd 7922	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 ∈ V) → dom (𝑆 × 𝑆) ∈ V)
9	1, 8	eqeltrrid 2868	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
10		sqxpexg 7776	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝑆 × 𝑆) ∈ V)
11		fnex 7230	. . 3 ⊢ ((𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆) ∧ (𝑆 × 𝑆) ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
12	2, 10, 11	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
13	9, 12	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ V ↔ 𝑆 ∈ V))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3453   × cxp 5652  dom cdm 5654   Fn wfn 6541

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554

This theorem is used by:  ssc1  18008