Theorem ssclem 17781

Description: Lemma for ssc1 17783 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
isssc.1	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
ssclem	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ V ↔ 𝑆 ∈ V))

Proof of Theorem ssclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmxpid 5894	. . 3 ⊢ dom (𝑆 × 𝑆) = 𝑆
2		isssc.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
3	2	fndmd 6623	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝐻 = (𝑆 × 𝑆))
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 ∈ V) → dom 𝐻 = (𝑆 × 𝑆))
5		dmexg 7877	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ V → dom 𝐻 ∈ V)
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 ∈ V) → dom 𝐻 ∈ V)
7	4, 6	eqeltrrd 2829	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 ∈ V) → (𝑆 × 𝑆) ∈ V)
8	7	dmexd 7879	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 ∈ V) → dom (𝑆 × 𝑆) ∈ V)
9	1, 8	eqeltrrid 2833	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
10		sqxpexg 7731	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝑆 × 𝑆) ∈ V)
11		fnex 7191	. . 3 ⊢ ((𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆) ∧ (𝑆 × 𝑆) ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
12	2, 10, 11	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
13	9, 12	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ V ↔ 𝑆 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   × cxp 5636  dom cdm 5638   Fn wfn 6506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519

This theorem is referenced by:  ssc1  17783