MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssclem 16906
Description: Lemma for ssc1 16908 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
isssc.1 (𝜑𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
Assertion
Ref Expression
ssclem (𝜑 → (𝐻 ∈ V ↔ 𝑆 ∈ V))

Proof of Theorem ssclem
StepHypRef Expression
1 dmxpid 5674 . . 3 dom (𝑆 × 𝑆) = 𝑆
2 isssc.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
3 fndm 6317 . . . . . . 7 (𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆) → dom 𝐻 = (𝑆 × 𝑆))
42, 3syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝐻 = (𝑆 × 𝑆))
54adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐻 ∈ V) → dom 𝐻 = (𝑆 × 𝑆))
6 dmexg 7460 . . . . . 6 (𝐻 ∈ V → dom 𝐻 ∈ V)
76adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝐻 ∈ V) → dom 𝐻 ∈ V)
85, 7eqeltrrd 2882 . . . 4 ((𝜑𝐻 ∈ V) → (𝑆 × 𝑆) ∈ V)
98dmexd 7462 . . 3 ((𝜑𝐻 ∈ V) → dom (𝑆 × 𝑆) ∈ V)
101, 9syl5eqelr 2886 . 2 ((𝜑𝐻 ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
11 sqxpexg 7325 . . 3 (𝑆 ∈ V → (𝑆 × 𝑆) ∈ V)
12 fnex 6837 . . 3 ((𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆) ∧ (𝑆 × 𝑆) ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
132, 11, 12syl2an 595 . 2 ((𝜑𝑆 ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
1410, 13impbida 797 1 (𝜑 → (𝐻 ∈ V ↔ 𝑆 ∈ V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1520  wcel 2079  Vcvv 3432   × cxp 5433  dom cdm 5435   Fn wfn 6212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-id 5340  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225
This theorem is referenced by:  ssc1  16908
  Copyright terms: Public domain W3C validator