Theorem ssclem 17745

Description: Lemma for ssc1 17747 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
isssc.1	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
ssclem	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ V ↔ 𝑆 ∈ V))

Proof of Theorem ssclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmxpid 5918	. . 3 ⊢ dom (𝑆 × 𝑆) = 𝑆
2		isssc.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
3	2	fndmd 6640	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝐻 = (𝑆 × 𝑆))
4	3	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 ∈ V) → dom 𝐻 = (𝑆 × 𝑆))
5		dmexg 7873	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ V → dom 𝐻 ∈ V)
6	5	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 ∈ V) → dom 𝐻 ∈ V)
7	4, 6	eqeltrrd 2833	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 ∈ V) → (𝑆 × 𝑆) ∈ V)
8	7	dmexd 7875	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 ∈ V) → dom (𝑆 × 𝑆) ∈ V)
9	1, 8	eqeltrrid 2837	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
10		sqxpexg 7722	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝑆 × 𝑆) ∈ V)
11		fnex 7200	. . 3 ⊢ ((𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆) ∧ (𝑆 × 𝑆) ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
12	2, 10, 11	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
13	9, 12	impbida 799	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ V ↔ 𝑆 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3470   × cxp 5664  dom cdm 5666   Fn wfn 6524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-op 4626  df-uni 4899  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537

This theorem is referenced by:  ssc1  17747